2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3讲　二项式定理.doc

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1、 第 3 讲 二项式定理 一、知识梳理 1二项式定理 (1)定理： (ab)nC0nanC1nan1bCknankbkCnnbn(nN*) (2)通项： 第 k1 项为 Tk1Cknankbk (3)二项式系数： 二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn(k0，1，2，n) 2二项式系数的性质 常用结论 1两个常用公式 (1)C0nC1nC2nCnn2n. (2)C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n1. 2二项展开式的三个重要特征 (1)字母 a 的指数按降幂排列由 n 到 0. (2)字母 b 的指数按升幂排列由 0 到 n. (3)每一项字母 a 的指数与字母 b 的指数的和等于 n.

2、二、教材衍化 1(12x)5的展开式中，x2的系数为_ 解析：Tk1Ck5(2x)kCk52kxk，当 k2 时，x2的系数为 C252240. 答案：40 2若x1xn展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为_ 解析：二项式系数之和 2n64，所以 n6，Tk1Ck6x6k1xkCk6x62k，当 62k0，即当 k3 时为常数项，T4C3620. 答案：20 3若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a2a4的值为_ 解析：令 x1，则 a0a1a2a3a40，令 x1，则 a0a1a2a3a416，两式相加得 a0a2a48. 答案：8 一、思考辨析 判断正误(

3、正确的打“”，错误的打“”) (1)(ab)n的展开式中的第 r 项是 Crnanrbr.( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项( ) (3)在(ab)n的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关( ) (4)通项 Tr1Crnanrbr中的 a 和 b 不能互换( ) (5)(ab)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区| (1)混淆“二项式系数”与“系数”致误； (2)配凑不当致误 1在二项式x22xn，的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为_ 解析：由题意

4、得 2n32，所以 n5.令 x1，得各项系数的和为(12)51. 答案：1 2已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则 a8_ 解析：因为(1x)102(1x)10，所以其展开式的通项为 Tr1(1)r210rCr10(1x)r，令 r8，得 a84C810180. 答案：180 3(x1)5(x2)的展开式中 x2的系数为_ 解析：(x1)5(x2)x(x1)52(x1)5展开式中含有 x2的项为20 x25x215x2.故 x2的系数为15. 答案：15 考点一 二项展开式的特定项(系数)(基础型) 复习指导| 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用

5、二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 核心素养：数学抽象、数学运算 角度一 求解形如(ab)n(nN*)的展开式中与 特定项相关的量 (1)在x12 x5的展开式中，x2的系数为_ (2)在二项式ax21x5的展开式中，若常数项为10，则 a_ 【解析】 (1)x12 x5的展开式的通项 Tr1Cr5x5r12 xr12rCr5x53r2，令 532r2，得 r2，所以 x2的系数为 C2512252. (2)ax21x5的展开式的通项 Tr1Cr5(ax2)5r1xrCr5a5rx105r2，令 105r20，得 r4，所以 C45a5410，解得 a2. 【答案】 (1)52 (2)2

6、 求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤 (1)利用通项将 Tk1项写出并化简 (2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k. (3)代回通项得所求 角度二 求解形如(ab)m(cd)n(m，nN*)的 展开式中与特定项相关的量 (1)(2019 高考全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为( ) A12 B16 C20 D24 (2)(2020 南昌模拟)已知(x1)(ax1)6的展开式中含 x2项的系数为 0，则正实数 a_ 【解析】 (1)展开式中含 x3的项可以由“1 与 x3”和“2x2与 x”的乘积组成，则 x3的系数为 C34

7、2C144812. (2)(ax1)6的展开式中 x2项的系数为 C46a2，x 项的系数为 C56a，由(x1)(ax1)6的展开式中含 x2项的系数为 0，可得C46a2C56a0，因为 a 为正实数，所以 15a6，所以 a25. 【答案】 (1)A (2)25 求解形如(ab)m(cd)n的展开式问题的思路 (1)若 m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(ab)2(cd)n(a22abb2)(cd)n，然后分别求解 (2)观察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2. (3)分别得到(ab)m，(cd)n的通项，综合考

8、虑 角度三 求解形如(abc)n(nN*)的展开式 中与特定项相关的量 (1)(x2x1)10的展开式中 x3项的系数为( ) A210 B210 C30 D30 (2)(x2xy)5的展开式中 x5y2的系数为( ) A10 B20 C30 D60 【解析】 (1)(x2x1)10 x2(x1)10C010(x2)10C110(x2)9(x1)C910 x2(x1)9C1010(x1)10， 所以含 x3项的系数为：C910C89C1010(C710)210. (2)(x2xy)5的展开式的通项为 Tr1Cr5(x2x)5ryr，令 r2，则 T3C25(x2x)3y2，又(x2x)3的展开

9、式的通项为 Tk1Ck3(x2)3kxkCk3x6k，令 6k5，则 k1，所以(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为 C25C1330，故选 C 【答案】 (1)A (2)C 三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法 (1)通常将三项式转化为二项式积的形式， 然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解 (2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形 1已知(1x)(1x)2(1x)na0a1xa2x2anxn(nN*)，若 a0a1an62，则 logn25 等于_ 解析：令 x1 可得 a0a1a2an222232n2

10、(2n1)212n1262， 解得 n5，所以 logn252. 答案：2 2在x1x(2x1)6的展开式中，x3的系数是_(用数字作答) 解析： 由题意得，x1x(2x1)6的展开式中含x3的项为xC46(2x)2(1)41xC26 (2x)4(1)2180 x3，所以展开式中 x3的系数为180. 答案：180 3.3x123x10的展开式中所有的有理项为_ 解析：二项展开式的通项为 Tk1Ck1012kx102k3，由题意102k3Z，且 0k10，kN.令102k3r(rZ)，则 102k3r，k532r，因为 kN，所以 r 应为偶数所以 r可取 2，0，2，即 k 可取 2，5，8

11、，所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为454x2，638，45256x2. 答案：454x2，638，45256x2 考点二 二项展开式中的系数和问题(综合型) 复习指导| 求二项展开式的所有项的系数和(或差)问题，常用赋值法赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法 (1)在x3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 641，则 x3的系数为( ) A15 B45 C135 D405 (2)若(1x)9a0a1xa2x2a9x9，则|a1|a2|a3|a9|( ) A1 B513 C512 D511 【解析】 (1)由题意知4n2n64，得 n6，展开式的通项为

12、Tr1Cr6x6r3xr3rCr6x63r2， 令 63r23，得 r2， 则 x3的系数为 32C26135.故选 C (2)令 x0，得 a01，令 x1， 得|a1|a2|a3|a9|1(1)91291511. 【答案】 (1)C (2)D 赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可 (2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，偶次项系数之和为

13、 a0a2a4f(1)f(1)2，奇次项系数之和为 a1a3a5f(1)f(1)2.令 x0，可得 a0f(0) 1 若(1x)(12x)8a0a1xa9x9， xR， 则 a1 2a2 22a9 29的值为( ) A29 B291 C39 D391 解析：选 D(1x)(12x)8a0a1xa2x2a9x9，令 x0，得 a01；令 x2，得 a0a12a222a92939，所以 a12a222a929391.故选 D 2(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_ 解析：设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令 x1，得 16(a1)

14、a0a1a2a3a4a5， 令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5. ，得 16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1a3a58(a1)， 所以 8(a1)32， 解得 a3. 答案：3 考点三 二项展开式中的系数最值问题(综合型) 复习指导| 求解此类题的关键：一是方程引入，利用已知二项式系数的最大值，求出参数的值； 二是公式应用， 即利用二项展开式的通项公式， 即可求出指定项或指定项的系数 (y2x2)6的展开式中二项式系数最大的项为第_项，系数最大的项为_ 【解析】 因为(y2x2)6的展开式中二项式系数的最大值为 C36，所以二项式系数最大的项为第

15、 4 项因为(y2x2)6的展开式的通项公式为 Tr1Cr6y6r(2x2)rCr6(2)rx2ry6r， 所以展开式中系数最大的项为奇数项 法一：设第 r1 项的系数最大，则 Cr6(2)rCr26(2)r2，Cr6(2)rCr26(2)r2， 因为 rZ，0r6，且 r 为偶数，所以 r4， 则 T5C46(2)4x8y2240 x8y2， 所以展开式中系数最大的项为 240 x8y2， 法二：展开式中第 1，3，5，7 项的系数分别为 C06(2)0，C26(2)2，C46(2)4，C66(2)6，即 1，60，240，64，所以展开式中系数最大的项为 240 x8y2. 【答案】 4

16、240 x8y2 求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步， 求系数的最大值问题， 要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个； 第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(ab)n中 n 的奇偶及二项式系数的性质求解若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数的是离散型变量，设展开式各项的系数分别为 A1，A2，An1，且第 k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组AkAk1，AkAk1即得结果 在x213xn的展开式中， 只有第 5 项的二项式系数最大， 则展开式的常数项是( ) A

17、7 B7 C28 D28 解析：选 B因为只有第 5 项的二项式系数 C4n最大，所以n24，即 n8.x213x8的展开式的通项公式为 Tr1Cr8x28r13xr(1)rCr828rx843r，令 843r0，解得 r6，故常数项为 T7(1)6C68227.故选 B 基础题组练 1.2x2x43的展开式中的常数项为( ) A3 2 B3 2 C6 D6 解析：选 D通项 Tr1Cr32x23r(x4)rCr3( 2)3r(1)rx66r，当66r0，即r1 时为常数项，T26，故选 D 2(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中 x4的系数为( ) A50 B55 C45 D60 解析：

18、 选 B (1x)5(1x)6(1x)7的展开式中 x4的系数是 C45C46C4755.故选 B 3(多选)在二项式3x22x5的展开式中，有( ) A含 x 的项 B含1x2的项 C含 x4的项 D含1x4的项 解析：选 ABC二项式3x22x5的展开式的通项公式为 Tr1Cr535r(2)rx103r，r0，1，2，3，4，5，故展开式中含 x 的项为 x103r，结合所给的选项，知 ABC 的项都含有 4在x3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 321，则 x2的系数为( ) A50 B70 C90 D120 解析：选 C令 x1，则x3xn4n，所以x3xn的展开式中，各

19、项系数和为 4n，又二项式系数和为 2n，所以4n2n2n32，解得 n5.二项展开式的通项 Tr1Cr5x5r3xrCr53rx532r，令 532r2，得 r2，所以 x2的系数为 C253290，故选 C 51(1x)(1x)2(1x)n的展开式的各项系数之和为( ) A2n1 B2n1 C2n11 D2n 解析：选 C令 x1，得 12222n1(2n11)212n11. 6.x13xn的展开式中各项系数之和大于 8，但小于 32，则展开式中系数最大的项是( ) A63x B4x C4x6x D4x或 4x6x 解析：选 A令 x1，可得x13xn的展开式中各项系数之和为 2n，即 8

20、2n32，解得 n4，故第 3 项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是 C24( x)213x263x. 7(x22)1x15展开式中的常数项是( ) A12 B12 C8 D8 解析：选 B1x15展开式的通项公式为 Tr1Cr51x5r(1)r(1)rCr5xr5，当 r52 或 r50， 即 r3 或 r5 时， 展开式的常数项是(1)3C352(1)5C5512.故选 B 8.x1x15展开式中的常数项为( ) A1 B21 C31 D51 解析：选 D因为x1x15(x1)1x5 C05(x1)5C15(x1)41xC25(x1)31x2C35(x1)21x3C45(x1)11x4

21、C551x5. 所以x1x15展开式中的常数项为 C05C5515C15C3413C25C131251.故选 D 9已知(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则|a0|a1|a5|( ) A1 B243 C121 D122 解析：选 B令 x1，得 a5a4a3a2a1a01， 令 x1，得a5a4a3a2a1a0243， ，得 2(a4a2a0)242， 即 a4a2a0121. ，得 2(a5a3a1)244， 即 a5a3a1122. 所以|a0|a1|a5|122121243.故选 B 10(2020 海口调研)若(x2a)x1x10的展开式中 x6的系数为 30，则

22、 a 等于( ) A13 B12 C1 D2 解析：选 D由题意得x1x10的展开式的通项公式是 Tk1Ck10 x10k1xkCk10 x102k，x1x10的展开式中含 x4(当 k3 时)，x6(当 k2 时)项的系数分别为 C310，C210，因此由题意得 C310aC21012045a30，由此解得 a2，故选 D 11若(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则 a0a2a4a2n等于( ) A2n B3n12 C2n1 D3n12 解析：选 D设 f(x)(1xx2)n， 则 f(1)3na0a1a2a2n， f(1)1a0a1a2a3a2n， 由得 2(a0a2a4a2n

23、)f(1)f(1)， 所以 a0a2a4a2nf(1)f(1)23n12. 12已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9，则(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2的值为( ) A39 B310 C311 D312 解析： 选 D 对(x2)9 a0a1xa2x2a9x9两边同时求导， 得 9(x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8，令 x1，得 a12a23a38a89a9310，令 x1，得a12a23a38a89a932.所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a23a38a89a9)(a12a23a38a89a9)

24、312，故选 D 13(x yy x)4的展开式中，x3y3项的系数为_ 解析：二项展开式的通项是 Tk1Ck4(x y)4k(y x)k(1)kCk4x4k2y2k2，令 4k22k23，解得 k2，故展开式中 x3y3的系数为(1)2C246. 答案：6 14(2019 高考浙江卷)在二项式( 2x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_ 解析：二项式( 2x)9展开式的通项为 Tr1Cr9( 2)9rxr.令 r0，得常数项为 C09( 2)916 2.当 r1，3，5，7，9 时，系数为有理数，共 5 项 答案：16 2 5 15设 m 为正整数，(xy)2m展开式的二项

25、式系数的最大值为 a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a7b，则 m_ 解析：(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为 Cm2m，所以 aCm2m. 同理，bCm12m1. 因为 13a7b，所以 13 Cm2m7 Cm12m1. 所以 13(2m)！m！m！7(2m1)！(m1)！m！. 所以 m6. 答案：6 综合题组练 1 已知C0n4C1n42C2n43C3n(1)n4nCnn729， 则C1nC2nCnn的值等于( ) A64 B32 C63 D31 解析：选 C因为 C0n4C1n42C2n43C3n(1)n4nCnn729，所以(14)n36，所以n6，因

26、此 C1nC2nCnn2n126163，故选 C 2设 aZ，且 0a13，若 512 018a 能被 13 整除，则 a( ) A0 B1 C11 D12 解析：选 D512 018a(521)2 018a C02 018522 018C12 018522 017C2 0172 01852(1)2 017C2 0182 018(1)2 018a.因为 52 能被13 整除，所以只需 C2 0182 018(1)2 018a 能被 13 整除，即 a1 能被 13 整除，所以 a12. 3已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列 a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一个单

27、调递增数列，则 k 的最大值是_ 解析：由二项式定理知，anCn110(n1，2，3，11)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第 6 项，所以 a6C510，则 k 的最大值为 6. 答案：6 4已知(2x2)(1ax)3的展开式的所有项系数之和为 27，则实数 a_，展开式中含 x2的项的系数是_ 解析：由已知可得，(212)(1a)327，则 a2.所以(2x2)(1ax)3(2x2)(12x)3(2x2)(16x12x28x3)，所以展开式中含 x2的项的系数是 212123. 答案：2 23 5已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求： (1)a1a2a7； (2)a1a3

28、a5a7； (3)a0a2a4a6； (4)|a0|a1|a2|a7|. 解：令 x1， 则 a0a1a2a3a4a5a6a71. 令 x1， 则 a0a1a2a3a4a5a6a737. (1)因为 a0C071， 所以 a1a2a3a72. (2)() 2，得 a1a3a5a713721 094. (3)() 2，得 a0a2a4a613721 093. (4)因为(12x)7的展开式中 a0，a2，a4，a6大于零，而 a1，a3，a5，a7小于零， 所以|a0|a1|a2|a7| (a0a2a4a6)(a1a3a5a7) 1 093(1 094)2 187. 6已知x124xn的展开式中

29、，前三项的系数成等差数列 (1)求 n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项 解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为 C0n，12C1n，14C2n，由已知得 212C1nC0n14C2n， 解得 n8(n1 舍去) (2)x124x8的展开式的通项 Tr1Cr8( x)8r124xr2rCr8x43r4(r0，1，8)， 要求有理项，则 43r4必为整数，即 r0，4，8，共 3 项，这 3 项分别是 T1x4，T5358x，T91256x2. (3)设第 r1 项的系数为 ar1最大，则 ar12rCr8， 则ar1ar2rCr82(r1)Cr189r2r1， ar1ar22rCr82(r1)Cr182(r1)8r1，解得 2r3. 当 r2 时，a322C287，当 r3 时，a423C387， 因此，第 3 项和第 4 项的系数最大， 故系数最大的项为 T37x52，T47x74.