2022届高三数学一轮复习(原卷版)考点22 利用导数研究函数的极值和最值(解析版).docx
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1、考点22 利用导数研究函数的极值和最值【命题解读】从高考对导数的要求看,考查分三个层次,一是考查导数公式,求导法则与导数的几何意义;二是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;三是综合考查,如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题,同时在小题中也加以考查,难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合,设计综合题,考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力【基础知识回顾】 1、函数的极值(1)函数的极小值:函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f(a)0;而且在点x
2、a附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点a叫做函数yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值:函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,f(b)0;而且在点xb附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点b叫做函数yf(x)的极大值点,f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值2、函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则
3、f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值3、常用结论1若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值2若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值3若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点1、函数f(x)x2ln x的最小值为()A1ln 2 B1ln 2C. D.【答案】C【解析】 因为f(x)x2ln x(x>0),所以f(x)2x,令2x0得x,令f(x)>0,则 x>;令f(x)<0,则0<x<.所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的极小值(也是最小
4、值)为2ln,故选C.2、函数f (x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f (x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点【答案】C【解析】设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1,x2,x3,x4.当x<x1时,f(x)>0,f (x)为增函数,当x1<x<x2时,f(x)<0,f (x)为减函数,则xx1为极大值点,同理,xx3为极大值点,xx2,xx4为极小值点,故选C.3、设函数f (x)ln x,则()Ax为f (x)的极大值点Bx为f (
5、x)的极小值点Cx2为f (x)的极大值点Dx2为f (x)的极小值点【答案】D【解析】因为f (x)ln x,所以f(x),x>0.当x>2时,f(x)>0,f (x)为增函数;当0<x<2时,f(x)<0,f (x)为减函数,所以x2为f (x)的极小值点,故选D.4、已知a为函数f (x)x312x的极小值点,则a等于()A4 B2 C4 D2【答案】D【解析】由题意得f(x)3x212,由f(x)0得x±2,当x(,2)时,f(x)>0,函数f (x)单调递增,当x(2,2)时,f(x)<0,函数f (x)单调递减,当x(2,)
6、时,f(x)>0,函数f (x)单调递增,所以a2.5、函数的极大值是正数,极小值是负数,则的取值范围是_【答案】:(,)【解析】:f(x)3x23a23(xa)(xa),由f(x)0得x±a,当a<x<a时,f(x)<0,函数递减;当x>a或x<a时,f(x)>0,函数递增f(a)a33a3a>0且f(a)a33a3a<0,解得a>.a的取值范围是(,)考向一利用导数研究函数的极值例1、已知函数,求函数的极大值与极小值【解析】:由题设知a0,f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.当a>0时,随着x的变化,
7、f(x)与f(x)的变化情况如下:x(,0)0(0,)(,)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1,f(x)极小值1.当a<0时,随着x的变化,f(x)与f(x)的变化情况如下:x(,)(,0)0(0,)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)极大值f(0)1,f(x)极小值1.综上,f(x)极大值f(0)1,f(x)极小值1.变式1、已知函数f(x)lnx,求函数f(x)的极值【解析】f(x)lnx,f(x),令f(x)0,得x1,列表:x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增x1是f(x)的极小值点,f(x)的极小值为1,无极大值方法总结:(1
8、)求函数极值的步骤:确定函数的定义域;求导数;解方程,求出函数定义域内的所有根;列表检验在的根左右两侧值的符号,如果左正右负,那么在处取极大值,如果左负右正,那么在处取极小值(2)若函数在区间内有极值,那么在内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值考向二 利用导数研究函数的最值例2、(2020届山东省潍坊市高三上期中)已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数处有极小值,求函数在区间上的最大值【答案】(1);(2).【解析】(1)当时,所以,又,所以曲线在点处切线方程为,即.(2)因为,因为函数处有极小值,所以,所以由,得或,当或时,当时,所以在,上是增函数,在上是减函数,
9、因为,所以的最大值为.变式1、已知,函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求在区间上的最小值【解析】:(1)当a1时,f(x)ln x1,x(0,),所以f(x),x(0,)因此f(2),即曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为.又f(2)ln 2,所以曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y(ln 2)(x2),即x4y4ln 240.(2)因为f(x)ln x1,所以f(x).令f(x)0,得xa.若a0,则f(x)>0,f(x)在区间(0,e上单调递增,此时函数f(x)无最小值若0<a<e,当x(0,a)时,f(x)<0,函数f(x)在区
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