2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6节 双曲线 教案.doc

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1、1 第六节第六节 双曲线双曲线 最新考纲 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程， 知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用 1双曲线的定义 (1)平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c0. 当 2a|F1F2|时，M 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(a0，b0) y2a2x2b21(a0，b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR 对

2、称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 ybax yabx 2 离心率 eca，e(1，) 实、虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2a2b2(ca0，cb0) 常用结论 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线 (3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率 e 2双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系) (4)

3、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a (5)过双曲线焦点 F1的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另一个焦点 F2构成的ABF2的周长为 4a2|AB| (6)双曲线的离心率公式可表示为 e1b2a2 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线( ) (2)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) (3)双曲线x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案

4、 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 3 1若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B5 C. 2 D2 A 由题意可知 b2a， eca1b2a2 5，故选 A. 2以椭圆x24y231 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( ) Ax2y231 B.x23y21 Cx2y221 D.x24y231 A 设所求的双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由椭圆x24y231，得椭圆焦点为( 1，0)，在 x 轴上的顶点为( 2，0)所以双曲线的顶点为( 1，0)，焦点为( 2，0). 所以 a1，c2，

5、所以 b2c2a23，所以双曲线标准方程为 x2y231. 3若方程x22my2m11 表示双曲线，则 m 的取值范围是_ (，2)(1，) 因为方程x22my2m11 表示双曲线，所以(2m)(m1)0，即 m1 或 m2. 4已知双曲线 x2y2161 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 4，那么点 P到另一个焦点的距离等于_ 6 设双曲线的焦点为 F1，F2，|PF1|4，则|PF1|PF2|2，故|PF2|6 或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 ca 171，故|PF2|6. 考点 1 双曲线的定义及其应用 双曲线定义的主要应用 4 (1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的

6、轨迹是否为双曲线 (2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题 (1)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_ (2)已知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点， A(1， 4)， P 是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_ (3)已知 F1，F2为双曲线 C：x2y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|2|PF2|，则 cosF1PF2_ (1)x2y281(x1) (2)9 (3)34 (1)如图所示，设动圆 M与圆 C1及圆 C2分别外切于点

7、 A 和 B. 根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|. 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点 C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义， 得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离小)，其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y281(x1) (2)设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义，可知|PF|4|PF1|，所以当|PF1|PA|最小时满足|PF|PA|最小由双曲线的图象，可知当点 A

8、，P，F1共线时，满足|PF1|PA|最小，|AF1|即|PF1|PA|的最小值又|AF1|5，故所求的最小值为 9. (3)因为由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2 2， 所以|PF1|2|PF2|4 2， 所以 cosF1PF2 5 |PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2| （4 2）2（2 2）24224 22 234. 母题探究 1将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260” ，则F1PF2的面积是多少？ 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|PF2|2a2 2， 在F1PF2中，由余弦定理，得 cosF1PF2|PF1

9、|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|12， |PF1|PF2|8， SF1PF212|PF1| |PF2|sin 602 3. 2将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“PF1PF20”，则F1PF2的面积是多少？ 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|PF2|2a2 2， PF1PF20，PF1PF2， 在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|216， |PF1|PF2|4， SF1PF212|PF1|PF2|2. 在“焦点三角形”中， 常利用正弦定理、 余弦定理， 结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，

10、建立与|PF1|PF2|的联系 1.虚轴长为 2，离心率 e3 的双曲线的两焦点为 F1，F2，过 F1作直线交双曲线的一支于 A，B 两点，且|AB|8，则ABF2的周长为( ) A3 B16 2 6 C12 2 D24 B 由于 2b2，eca3，b1，c3a， 9a2a21，a24. 由双曲线的定义知，|AF2|AF1|2a22， |BF2|BF1|22， 得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|) 2， 又|AF1|BF1|AB|8， |AF2|BF2|8 2， 则ABF2的周长为 16 2，故选 B. 2(2019 洛阳模拟)已知双曲线 x2y24，F1是左焦点，P1，P2是右支上的

11、两个动点，则|F1P1|F1P2|P1P2|的最小值是_ 8 设双曲线的右焦点为 F2，|F1P1|2a|F2P1|，|F1P2|2a|F2P2|，|F1P1|F1P2|P1P2|2a|F2P1|2a|F2P2|P1P2|8(|F2P1|F2P2|P1P2|)8(当且仅当 P1，P2，F2三点共线时，取等号)，|F1P1|F1P2|P1P2|的最小值是 8. 考点 2 双曲线的标准方程 求双曲线标准方程的方法 (1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出 a2，b2，得双曲线方程 (2)待定系数法：即“先定位，后定量” 焦点位置不确定时，设 Ax2By21(AB0)； 与x2a2y2b21

12、 共渐近线的设为x2a2y2b2(0)； 与x2a2y2b21 共焦点的设为x2a2ky2b2k1(b2k0，b0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF2与 x 轴垂直，PF1F230，且虚轴长为 2 2，则双曲线的标准方程为( ) 7 Ax24y221 Bx23y221 Cx24y281 Dx2y221 (2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： 虚轴长为 12，离心率为54； 渐近线方程为 y12x，焦距为 10； 经过两点 P(3，2 7)和 Q(6 2，7)； (1)D (1)由题意可知|PF1|4 3c3，|PF2|2 3c3，2b2 2，由双曲线的定义可得4 3c32 3c32a，

13、即 c 3a.又 b 2，c2a2b2，a1，双曲线的标准方程为 x2y221，故选 D. (2)解 设双曲线的标准方程为 x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0) 由题意知，2b12，eca54，b6，c10，a8. 双曲线的标准方程为x264y2361 或y264x2361. 设所求双曲线方程为x24y2(0)， 当 0 时，双曲线标准方程为x24y21， c 5. 55，5； 当 0) 8 9m28n1，72m49n1，解之得m175，n125. 双曲线方程为y225x2751. (1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点： 距离之差的绝对值；2a|F1F2|；焦点所在坐标

14、轴的位置(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论 1.(2019 荆州模拟)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0， b0)过点( 2， 3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线 C 的标准方程是( ) A.x212y21 B.x29y231 Cx2y231 D.x223y2321 C 由双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)过点( 2， 3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得2a23b21，ba 3，解得a1，b 3，双曲线 C 的标准方程是 x2y231，故选 C. 2已知双曲线的渐近线方程为 3x 4y0，

15、焦点坐标为( 5，0)，则双曲线的方程为_ x216y291 将 3x 4y0 化为x4y30，设以x4y30 为渐近线的双曲线方程为x216y29(0)，因为该双曲线的焦点坐标为( 5，0)，所以 16925，解得 1，即双曲线的方程为x216y291. 考点 3 双曲线的几何性质 9 双曲线的渐近线 求双曲线的渐近线的方法 求双曲线x2a2y2b21(a0，b0)或y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于 0，即令x2a2y2b20，得 ybax；或令y2a2x2b20，得 yabx.反之，已知渐近线方程为 ybax，可设双曲线方程为x2a2y2b2(a0，b0

16、，0) 1.一题多解(2018 全国卷)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) Ay 2x By 3x Cy22x Dy32x A 法一： (直接法)由题意知， eca 3， 所以 c 3a， 所以 b c2a22a，即ba 2，所以该双曲线的渐近线方程为 ybax 2x. 法二：(公式法)由 eca1ba2 3，得ba 2，所以该双曲线的渐近线方程为 ybax 2x. 2(2019 揭阳一模)已知双曲线 mx2y21 的一条渐近线方程为 2xy0，则 m 的值为( ) A14 B1 C2 D4 D 因为 m0， 则双曲线为： y2x21m1， 渐近线方程为

17、： mxy0， 所以 m2，解得 m4，故选 D. 3(2019 郑州模拟)设 F1，F2分别是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点， P是C上一点， 若|PF1|PF2|6a， 且PF1F2的最小内角的大小为30，则双曲线 C 的渐近线方程是( ) 10 Ax 2y0 B. 2x y0 Cx2y0 D2xy0 B 假设点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|PF2|6a，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a. |F1F2|2c2a，PF1F2最短的边是 PF2， PF1F2的最小内角为PF1F2. 在PF1F2中，由余弦定理得 4a216a24c224a

18、2ccos 30， c22 3ac3a20， e22 3e30，e 3，ca 3， c23a2，a2b23a2，b22a2，ba 2， 双曲线的渐近线方程为 2x y0，故选 B. 4(2019 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_ y 2x 双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，3216b21，解得 b22，即 b 2. 又 a1，该双曲线的渐近线方程是 y 2x. 双曲线的离心率 求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求 a，b，c 的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求 e. (2)列出含有

19、a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解 (1)已知点 F 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 作垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) 11 A(1，) B(1，2) C(2，1 2) D(1，1 2) (2)(2019 全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1， F2， 过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A， B 两点 若F1AAB， F1B F2B0

20、，则 C 的离心率为_ (1)B (2)2 (1)若ABE 是锐角三角形，只需AEF45，在 RtAFE中，|AF|b2a，|FE|ac，则b2aac，即 b2a2ac，即 2a2c2ac0，则e2e20，解得1e2，又 e1，则 1e2，故选 B. (2)如图，由F1AAB，得 F1AAB. 又 OF1OF2， 所以 OA是三角形 F1F2B 的中位线， 即 BF2/OA， BF22OA. 由F1BF2B0，得 F1BF2B，OAF1A， 则 OBOF1，所以AOBAOF1， 又 OA 与 OB 都是渐近线，得BOF2AOF1， 又BOF2AOBAOF1， 得BOF2AOF1BOA60， 又

21、渐近线 OB 的斜率为batan 60 3， 所以该双曲线的离心率为 eca1（ba）21（ 3）22. 双曲线的渐近线的斜率 k 与离心率 e 的关系：kbac2a2ac2a21 e21. 1.(2019 衡水模拟)已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)，圆 C2：x2y22ax34a20，若双曲线 C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1的离心率的取值范围是( ) 12 A1，2 33 B2 33， C(1，2) D(2，) A 由双曲线方程可得其渐近线方程为 ybax，即 bx ay0，圆 C2：x2y22ax34a20 可化为(xa)2y214a2，圆心

22、C2的坐标为(a，0)，半径 r12a，由双曲线 C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，得|ab|a2b22b，即 c24b2，又知 b2c2a2，所以 c24(c2a2)，即 c243a2，所以 eca1，所以双曲线 C1的离心率的取值范围为1，2 33. 2(2019 济南模拟)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_ 2 由已知得|AB|CD|2b2a， |BC|AD|F1F2|2c.因为 2|AB|3|BC|， 所以4b2a6c， 又 b2c2a2，所以 2e23e20， 解得 e2，或 e12(舍去)