2022届高三数学一轮复习（原卷版）第五节 对数与对数函数 教案.doc

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1、 1 第五节第五节 对数与对数函数对数与对数函数 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养 2与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养素养 3与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养和数学运

2、算的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1对数对数 概念概念 如果如果 axN(a0，且，且 a1)，那么数，那么数 x 叫做以叫做以 a 为底为底 N 的的对数对数，记作记作 xlogaN，其中，其中 a 叫做对数的叫做对数的底数，底数，N 叫做真数，叫做真数，logaN 叫叫做对数式做对数式 性质性质 对数式与指数式的互化：对数式与指数式的互化：axNxlogaN loga10，logaa1，alogaNN 运算运算 法则法则 loga(M N)logaMlogaN a0，且且 a1，M0，N0 logaMNlogaMlogaN logaMnnlogaM(nR R) 换底换底 公式公式 l

3、ogablogcblogca(a0，且且 a1，c0，且且 c1，b0) 2对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质 ylogax a1 0a1 时时，y0； 当当 x1 时，时，y0； 2 当当 0 x1 时，时，y0 当当 0 x0 在区间在区间(0，)上是上是增增函数函数 在区间在区间(0，)上是上是减减函数函数 3底数的大小决定了底数的大小决定了图象相对位置的高低图象相对位置的高低 不论是不论是 a1 还是还是 0a1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，大，如图，0cd1a0 且且 a1)与对数函数与

4、对数函数 ylogax(a0 且且 a1)互为反函数， 它们的图象关于互为反函数， 它们的图象关于直线直线 yx 对称对称 澄清盲点误点澄清盲点误点 一一、关键点练明、关键点练明 1(对数式的计算对数式的计算)计算：计算：2312loglg 832lg 25 92512_. 答案：答案：5 2(换底公式的应用换底公式的应用)log225 log34 log59_. 答案：答案：8 3 (对数函数图象过定点问题对数函数图象过定点问题)已知函数已知函数 yloga(x3)1 的图象恒过定点的图象恒过定点 P， 则点， 则点 P 的坐标的坐标是是_ 答案：答案：(4，1) 4(对数函数的定义域对数函

5、数的定义域)函数函数 y log2x1的定义域为的定义域为_ 答案：答案：2，) 5(对数型函数的单调性对数型函数的单调性)函数函数 ylog12(3x1)的单调递减区间为的单调递减区间为_ 答案：答案： 13， 二、易错点练清二、易错点练清 1(对数的运算性质不熟悉对数的运算性质不熟悉)有下列结论：有下列结论：lg(lg 10)0；lg(ln e)0；若若 lg x1，则，则 x10；若若 log22x，则，则 x1；若若 logmn log3m2，则，则 n9.其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是 3 _ 答案：答案： 2(忽视真数大于零忽视真数大于零)已知已知 lg xlg y2lg

6、(x2y)，则，则xy_. 答案：答案：4 3(忽视对底数的讨论忽视对底数的讨论)若函数若函数 ylogax(a0，a1)在在2,4上的最大值与最小值的差是上的最大值与最小值的差是 1，则则 a_. 答案：答案：2 或或12 考点一考点一 对数式的化简与求值对数式的化简与求值 典例典例 (1)(2020 全国卷全国卷)设设 alog342，则，则 4a( ) A.116 B.19 C.18 D16 (2)计算下列各式的值：计算下列各式的值： log5352log122log5150log514； (1log63)2log62 log618 log64. 解析解析 (1)选选 B 因为因为 al

7、og342，所，所以以 log34a2， 则有则有 4a329，所以，所以 4a14a19，故选，故选 B. (2)原式原式log535log550log5142log12212 log5355014log122log55312. 原式原式(log66log63)2log62 log6(2 32) log64 log6632log62 log62log632 log622 (log62)2(log62)22log62 log63 2log62 log62log63log6(23)1. 方法技巧方法技巧 解决对数运算问题的常用方法解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行

8、化简将真数化为底数的指数幂的形式进行化简 (2)将同底对数的和、差、倍合并将同底对数的和、差、倍合并 4 (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用变形应用 (4)利用常用对数中的利用常用对数中的 lg 2lg 51. 针对训练针对训练 1(多选多选)(2021 山东临沂期末山东临沂期末)若若 10a4,10b25，则，则( ) Aab2 Bba1 Cab8lg22 Dbalg 6 解析：解析：选选 ACD 由由 10a4,10b25，得，得 alg 4，blg 25，a

9、blg 4lg 25lg 1002，故故 A 正确；正确；balg 25lg 4lg254，lg 101lg254lg 6，1balg 6，故，故 B 错误，错误，D正确；正确；ab4lg 2 lg 54lg 2 lg 48lg22，故，故 C 正确故选正确故选 A、C、D. 2计算：计算： 1log63 2log62 log618log64_. 解析：解析：原式原式12log63 log63 2log663log6 63 log64 12log63 log63 21 log63 2log64 2 1log63 2log62log66log63log62log62log621. 答案：答案：1

10、 3已知已知 log23a,3b7，则，则 log372 21的值为的值为_ 解析：解析：由题意由题意 3b7，所以，所以 log37b. 所以所以 log372 21log 63 84log284log263log2 2237 log2 327 2log23log23 log372log23log23 log372aab2aab. 答案：答案：2aab2aab 考点二考点二 对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用 考法考法(一一) 对数函数图象的辨析对数函数图象的辨析 例例 1 (2019 浙江高考浙江高考)在同一直角坐标系中，函数在同一直角坐标系中，函数 y1ax，yloga x12(a

11、0，且，且 a1)的的图象可能是图象可能是( ) 解析解析 法一法一：当：当 a1 时，函数时，函数 yax的图象过定点的图象过定点(0,1)，在，在 R R 上单调递增，上单调递增， 5 于是函数于是函数 y1ax的图象过定点的图象过定点(0,1)，在，在 R R 上单调递减，上单调递减， 函数函数 yloga x12的图象过定点的图象过定点 12，0 ，在，在 12， 上单调递增上单调递增 显然显然 A、B、C、D 四个选项都不符合四个选项都不符合 当当 0a1 或或 0a1 这两种不同情况这两种不同情况 考法考法(二二) 对数函数图象的应用对数函数图象的应用 例例 2 当当 0 x12时

12、，时，4x1 时不满足条件， 当时不满足条件， 当 0a1时， 画出两个函数的图象如图所示， 可知时， 画出两个函数的图象如图所示， 可知 f 12g 12， 即， 即 222，所以所以 a 的取值范围为的取值范围为 22，1 . 答案答案 B 方法技巧方法技巧 与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法，与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法，应用时要准确画出图象，把方程根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的问题应用时要准确画出图象，把方程根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的问题 针对训练针对训练 6 1(2021

13、 岳阳模拟岳阳模拟)在同一直角坐标系中，函数在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)与与 g(x)logax 的图象可能是的图象可能是( ) 解析：解析：选选 A 易知易知 g(x)的图象过点的图象过点(1,0)若若 0a0)单调递增，且递增单调递增，且递增趋趋势越来越慢，函数势越来越慢，函数 g(x)logax 单调递减显然四个选项不满足条件单调递减显然四个选项不满足条件 若若 a1，则函数，则函数 g(x)logax 单调递增，函数单调递增，函数 f(x)xa(x0)单调递增且递增趋势越来越快，显单调递增且递增趋势越来越快，显然只有选项然只有选项 A 满足条件故选满足条件故选 A.

14、2(2021 宜昌五校联考宜昌五校联考)已知函数已知函数 f(x)|ln x|.若若 0ab，且，且 f(a)f(b)，则，则 a4b 的取值范围的取值范围是是( ) A(4，) B4，) C(5，) D5，) 解析：解析：选选 C 由由 f(a)f(b)得得|ln a|ln b|， 根据函数根据函数 y|ln x|的图象及的图象及 0ab，得，得ln aln b,0a1g(1)5. 3已知函数已知函数 f(x)|log12x|的定义域为的定义域为 12，m ，值域为，值域为0,1，则，则 m 的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：作出作出 f(x)|log12x|的图象的图象(如图如图)，

15、可知，可知 f 12f(2)1，f(1)0，由题意结合图象知：由题意结合图象知：1m2. 答案：答案：1,2 考点三考点三 对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用 考法考法(一一) 与对数函数有关的函数定义域问题与对数函数有关的函数定义域问题 例例 1 若函数若函数 ylog2(mx22mx3)的定义域为的定义域为 R R，则实数，则实数 m 的取值范围是的取值范围是( ) A(0,3) B0,3) C(0,3 D0,3 解析解析 由题意知由题意知 mx22mx30 恒成立恒成立当当 m0 时，时，30，符合题意；当，符合题意；当 m0 时，只时，只需需 m0， 2m 212m0，解得解得

16、0m3.综上综上 0m0，且，且 a1)的定义域为的定义域为 R，求参数范围时，要注意分，求参数范围时，要注意分 p0，p0 讨论同时讨论同时 p0 时应结合图象说明成立条件时应结合图象说明成立条件 考法考法(二二) 与对数函数有关的比较大小问题与对数函数有关的比较大小问题 例例 2 (1)(2020 天津高考天津高考)设设 a30.7， b 130.8， clog0.70.8， 则， 则 a， b， c 的大小关系为的大小关系为( ) Aabc Bbac Cbca Dcab (2)(2020 全国卷全国卷)若若 2alog2a4b2log4b，则则( ) Aa2b Ba2b Cab2 Dab

17、2 解析解析 (1)由题知由题知 clog0.70.830.7a301，所以所以 cab，故选故选 D. (2)法一法一：令令 f(x)2xlog2x，因为因为 y2x在在(0，)上单调递增上单调递增，ylog2x 在在(0，)上单上单调递增调递增，所以所以 f(x)2xlog2x 在在(0，)上单调递增上单调递增又又 2alog2a4b2log4b22blog2b22blog2(2b)，所以所以 f(a)f(2b)，所以所以 a2b.故选故选 B. 法二法二：由由 2alog2a4b2log4b4blog2b，取取 b1，得得 2alog2a4. 令令 f(x)2xlog2x4， 则则 f(

18、x)在在(0，)上单调递增，且上单调递增，且 f(1)0，f(2)0，所以，所以 f(1)f(2)0，f(x)2xlog2x4在在(0，)上存在唯一的零点，上存在唯一的零点， 所以所以 1a2，故，故 a2b2，ab2都不成立，排除都不成立，排除 A、D； 取取 b2，得，得 2alog2a17. 令令 g(x)2xlog2x17， 则则 g(x)在在(0，)上单调递增，且上单调递增，且 g(3)0，g(4)0， 所以所以 g(3)g(4)0，g(x)2xlog2x17 在在(0，)上存在唯一的零点，上存在唯一的零点， 所以所以 3a4，故，故 ab24 不成立，排除不成立，排除 C.故选故选

19、 B. 答案答案 (1)D (2)B 方法技巧方法技巧 对数函数值大小比较的方法对数函数值大小比较的方法 单调性法单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中间量中间量 过渡法过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行或其他特殊值进行“比较比较传递传递” 图象法图象法 根据图象观察得出大小关系根据图象观察得出大小关系 考法考法(三三) 与对数函数有关的不等式问题与对数函数有关的不等式问题 8 例例 3 设函数设函数 f(x) log2x，x0，log

20、12 x ，x0.若若 f(a)f(a)，则实数，则实数 a 的的取值范围是取值范围是( ) A(1,0)(0,1) B(，1)(1，) C(1,0)(1，) D(，1)(0,1) 解析解析 由题意得由题意得 a0，log2alog2a 或或 a0，log2 a log2 a ， 解得解得 a1 或或1a0.故选故选 C. 答案答案 C 方法技巧方法技巧 简单对数不等式问题的求解策略简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式

21、求解数的单调性转化为一般不等式求解 (2)对数函数的单调性和底数对数函数的单调性和底数 a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按 0a1进行分类讨论进行分类讨论 (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 考法考法(四四) 对数函数性质的综合问题对数函数性质的综合问题 例例 4 已知函数已知函数 f(x)loga(3ax) (1)当当 x0,2时，函数时，函数 f(x)恒有意义，求实数恒有意义，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (2)是否存在这样的实数是否存在这样

22、的实数 a，使得函数，使得函数 f(x)在区间在区间1,2上为减函数，并且最大值为上为减函数，并且最大值为 1？如果存？如果存在，试求出在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由的值；如果不存在，请说明理由 解解 (1)因为因为 a0 且且 a1，设，设 t(x)3ax， 则则 t(x)3ax 为减函数，为减函数， 当当 x0,2时，时，t(x)的最小值为的最小值为 32a. 又当又当 x0,2时，时，f(x)恒有意义，恒有意义， 即即 x0,2时，时，3ax0 恒成立，恒成立， 所以所以 32a0，所以，所以 a0 且且 a1，所以，所以 a(0,1) 1，32. (2)t(x)3ax，因

23、为，因为 a0，所以函数，所以函数 t(x)为减函数为减函数 因为因为 f(x)在区间在区间1,2上为减函数，上为减函数， 所以所以 ylogat 为增函数，为增函数， 9 所以所以 a1，当，当 x1,2时，时，t(x)最小值为最小值为 32a，f(x)最大值为最大值为 f(1)loga(3a)， 所以所以 32a0，loga 3a 1，即即 a0 恒成立，恒成立， 函数的定义域为函数的定义域为 R R，A 正确正确 函数函数 yln(x2x1)在在 x12时是增函数，在时是增函数，在 x12时是减函数，时是减函数，B 错误错误 由由 x2x1 x1223434可得可得 yln(x2x1)l

24、n34，函数的值域为函数的值域为 ln34， ，C 错错误误 易知函数的图象关于直线易知函数的图象关于直线 x12对称，对称，D 正确故选正确故选 A、D. 2(2020 全国卷全国卷)已知已知 5584，13485.设设 alog53，blog85，clog138，则，则( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 解 析 ：解 析 ： 选选 A log53 log85 log53 1log58log53 log581log58 log53log58221log58 10 log524221log58 log525221log580，log53log85. 5584,13485，5log8

25、54,45log138，log85log138，log53log85log138，即，即 abc. 3已知奇函数已知奇函数 f(x)在在 R R 上是增函数，上是增函数，g(x)xf(x)，若，若 ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则则 a，b，c 的大小关系为的大小关系为( ) Aabc Bcba Cbac Dbc0时，时， f(x)f(0)0， 当， 当x1x20时，时， f(x1)f(x2)0，x1f(x1)x2f(x2)，g(x)在在(0，)上单调递增，且上单调递增，且 g(x)xf(x)是偶函数，是偶函数， ag(log25.1) g(log25.1) 2log2

26、5.13,120.82， 由， 由 g(x) 在在 (0， ， )上 单 调 递 增 ， 得上 单 调 递 增 ， 得g(20.8)g(log25.1)g(3)，ba0 的实数的实数 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：当当 x0 时，时，f(x)log2(x1)， 则则 f(x)在区间在区间0，)上为增函数，且上为增函数，且 f(15)log2(151)4. 又函数又函数 f(x)为奇函数，且函数为奇函数，且函数 f(x)是是 R R 上的连续函数，上的连续函数， 则则 f(x)在在 R R 上为增函数上为增函数 因为因为 f(a2a2)40，即，即 f(a2a2)4， 所以所以 f

27、(a2a2)f(15)，即，即 a2a215，解得，解得52a3. 答案：答案： 52，3 5已知已知 loga341，那么，那么 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析： loga341logaa， 当当 0a1 时，时， ylogax 为减函数， 得为减函数， 得 0a1 时，时， ylogax为增函数，得为增函数，得 a34，a1.综上所述，综上所述，a 的取值范围是的取值范围是 0，34(1，) 答案：答案： 0，34(1，) 11 创新思维角度创新思维角度融会贯通学妙法融会贯通学妙法 指数式、对数式比大小指数式、对数式比大小 类型类型(一一) 利用指数函数、对数函数的图象与性质比

28、较大小利用指数函数、对数函数的图象与性质比较大小 比较大小时，若题设涉及指数比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字此外，要特别注意数字“0”和和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用等在比较大小问题中的桥梁作用 例例 1 设设 a50.7，blog2312，clg 34，则这三个数之间的大小关系是，则这三个数之间的大小关系是( ) A.abc Bacb C.bca Dbac 解析解析 结合函数结合函数 y5x， ylog23x， ylg x 的图象易知的图象易知 0a50.7log232

29、31，clg 34ac.故选故选 D. 答案答案 D 名师微点名师微点 利用指数函数、对数函数的图象与性质时，要注意考虑利用指数函数、对数函数的图象与性质时，要注意考虑 a，b，c 与特殊数字与特殊数字“0”“1”的大小的大小关系，以便比较大小关系，以便比较大小 例例 2 若若 a 150.3，blog52，ce12，则，则( ) A.abc Bcab C.bca Dcb1； 结合对数函数； 结合对数函数 ylog5x 在在(0， ， )上单调递增可知上单调递增可知 blog52log5512；又；又 ce121e 12，1 ，所以，所以 bca.故选故选 C. 答案答案 C 名师微点名师微点

30、 本题易错点是不会借助中间桥梁， 比较本题易错点是不会借助中间桥梁， 比较 log52 与与 e12的大小 由于的大小 由于 log52 与与 e12均在区间均在区间(0,1)内，故需要寻找一个新的中间桥梁内，故需要寻找一个新的中间桥梁“12”，以便，以便顺利获解顺利获解 类型类型(二二) 利用特例法、设元法，巧解涉及三元变量的比较大小问题利用特例法、设元法，巧解涉及三元变量的比较大小问题 比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解可

31、在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解 12 例例 3 设设 x，y，z 为正数，且为正数，且 2x3y5z，则，则( ) A3y2x5z B2x3y5z C3y5z2x D5z2x1，则则 xlg klg 2，ylg klg 3，zlg klg 5. 因为因为 k1，所以所以 lg k0，所以所以 2x3y2lg klg 23lg klg 3lg k 2lg 33lg 2 lg 2lg 3lg klg98lg 2lg 30，故故2x3y， 又又 2x5z2lg klg 25lg klg 5lg k 2lg 55lg 2 lg 2lg 5lg klg2532lg 2lg 50， 故故

32、2x5z.所以所以 3y2x1， 则则 xlg klg 2，ylg klg 3，zlg klg 5. 因为因为2x3y23lg 3lg 2lg 9lg 81，所以，所以 2x3y， 又又5z2x52lg 2lg 5lg 25lg 521，所以所以 5z2x. 所以所以 5z2x3y. 法三：中间值法法三：中间值法 令令 2x3y5zk，由，由 x，y，z 为正数，知为正数，知 k1，则，则 xlg klg 2，ylg klg 3，zlg klg 5. 所以所以 3ylg klg33，2xlg klg 2，5zlg klg55. 因为因为336968 2， 21032102555， 所以所以 l

33、g33lg 2lg550. 又又 k1，所以，所以 lg k0， 所以所以 3y2x5z. 法四：法四：取取 z1，则由，则由 2x3y5 得得 xlog25，ylog35，所以，所以 2xlog225log2325z,3ylog31253y. 综上可得，综上可得，3y2x0， 则， 则x2，y3，z5的大小关系不可能是的大小关系不可能是( ) A.x2y3z5 By3x2z5 C.x2y3z5 Dz5y3x2 解析解析 法一：法一：取取 x2，则由，则由 log2xlog3ylog5z 得得 y3，z5，此时易知，此时易知x2y3z5，此时，此时选项选项 C 正确正确 取取 x4，则由，则由

34、 log2xlog3ylog5z 得得 y9，z25，此时易知，此时易知x2y3z5，此时选项，此时选项 A 正确正确 取取 x 2，则由，则由 log2xlog3ylog5z 得得 y 3，z 5，此时易知，此时易知z5y30，接下来对，接下来对 k 与与 1 的大小关系加以讨论的大小关系加以讨论 若若 k1，则，则x21，y31，z51，所以，所以x2y3z5，所以选项，所以选项 C 有可能正确有可能正确 若若 0k3k15k1，所以，所以z5y31，则根据函数，则根据函数 f(t)tk1在在(0，)上单调递增可得上单调递增可得 2k13k15k1，所以，所以x2y30，则单调递增；，则单

35、调递增； 14 若若 a0，则为常数函数；，则为常数函数；若若 a0，且，且 a1)的值为的值为( ) A2 B3 C4 D5 解析：解析：选选 B 原式原式2log23log32loga 5445a 21logaa3. 2函数函数 ylog23 2x1 的定义域是的定义域是( ) A1,2 B1,2) C. 12，1 D 12，1 解析：解析：选选 D 由由 log23(2x1)002x11120 且且 x0，解得，解得 x0，所以，所以 f(x)的定义域的定义域为为(0，)，故，故 A 正确；因为正确；因为 x1x2，所以，所以 f(x)1，故，故 B 错误；因为错误；因为 f(x)的定义

36、域不的定义域不关于原点对称， 所以关于原点对称， 所以 f(x)不是奇函数， 故不是奇函数， 故 C 错误； 当错误； 当 x(0,1)时，时， yx1x单调递减，单调递减， ylog12x也单调递减，故也单调递减，故 f(x)在在(0,1)上单调递增，故上单调递增，故 D 正确故选正确故选 A、D. 15 5已知已知 a0，且，且 a1，函数，函数 yloga(2x3) 2的图象恒过点的图象恒过点 P.若点若点 P 也在幂函数也在幂函数 f(x)的的图象上，则图象上，则 f(x)_. 解析：解析：设幂函数为设幂函数为 f(x)x，因为函数，因为函数 yloga(2x3) 2的图象恒过点的图象

37、恒过点 P(2， 2)，则，则 2 2，所以，所以 12，故幂函数为，故幂函数为 f(x)x12. 答案答案：x12 6函数函数 ylog2|x1|的单调递减区间为的单调递减区间为_，单调递增区间为，单调递增区间为_ 解析：解析：作出函数作出函数 ylog2x 的图象，将其关于的图象，将其关于 y 轴对称得到函数轴对称得到函数 ylog2|x|的图象， 再将图象向左平移的图象， 再将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数个单位长度就得到函数 ylog2|x1|的图象的图象(如图所示如图所示)由图知，函数由图知，函数 ylog2|x1|的单调递减区间为的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为，单

38、调递增区间为(1，) 答案：答案：(，1) (1，) 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1已知函数已知函数 f(x)lg( 14x22x)2，则，则 f(ln 2)f ln 12( ) A4 B2 C1 D0 解析：解析：选选 A 由函数由函数 f(x)的解析式可得：的解析式可得： f(x)f(x)lg( 14x22x)2lg( 14x22x)2lg(14x24x2)44， f(ln 2)f ln12f(ln 2)f(ln 2)4.故选故选 A. 2(多选多选)已知函数已知函数 f(x)(log2x)2log2x23，则下列说法正确的是，则下列说法正确的是( ) Af(4)3 B函

39、数函数 yf(x)的图象与的图象与 x 轴有两个交点轴有两个交点 C函数函数 yf(x)的最小值为的最小值为4 D函数函数 yf(x)的最大值为的最大值为 4 解析：解析：选选 ABC A 正确，正确，f(4)(log24)2log24233；B 正确，令正确，令 f(x)0，得，得(log2x1)(log2x3)0，解得，解得 x12或或 x8，即，即 f(x)的图象与的图象与 x 轴有两个交点；轴有两个交点；C 正确，因为正确，因为 f(x)(log2x1)24(x0)，所以当，所以当 log2x1，即，即 x2 时，时，f(x)取最小值取最小值4；D 错误，错误，f(x)没有最没有最大值

40、大值 3(2020 全国卷全国卷)若若 2x2y3x3y，则，则( ) Aln(yx1)0 Bln(yx1)0 Cln|xy|0 Dln|xy|0 16 解析：解析：选选 A 由由 2x2y3x3y，得，得 2x3x2y3y，即，即 2x 13x2y 13y. 设设 f(x)2x 13x，则，则 f(x)f(y) 因为函数因为函数 y2x在在 R R 上为增函数，上为增函数，y 13x在在 R R 上为增函数，上为增函数， 所以所以 f(x)2x 13x在在 R R 上为增函数，上为增函数， 则由则由 f(x)f(y)，得，得 xy，所以，所以 yx0， 所以所以 yx11，所以，所以 ln(

41、yx1)0，故选，故选 A. 4设函数设函数 f(x)loga|x|(a0，且，且 a1)在在(，0)上单调递增，则上单调递增，则 f(a1)与与 f(2)的大小关系的大小关系是是( ) Af(a1)f(2) Bf(a1)f(2) Cf(a1)f(2) D不能确定不能确定 解析：解析：选选 A 由已知得由已知得 0a1，所以，所以 1a1f(2) 5(多选多选)(2021 青岛模拟青岛模拟)如果函数如果函数 f(x)loga|x1|在在(0,1)上是减函数，那么上是减函数，那么( ) Af(x)在在(1，)上递增且无最大值上递增且无最大值 Bf(x)在在(1，)上递减且无最小值上递减且无最小值

42、 Cf(x)在定义域内是偶函数在定义域内是偶函数 Df(x)的图象关于直线的图象关于直线 x1 对称对称 解析：解析：选选 AD 由由|x1|0 得，函数得，函数 yloga|x1|的定义域为的定义域为x|x1设设 g(x)|x1| x1，x1，x1，x1，则则 g(x)在在(，1)上为减函数，在上为减函数，在(1，)上为增函数，且上为增函数，且 g(x)的图象的图象关于直线关于直线 x1 对称，所以对称，所以 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x1 对称，对称，D 正确；因为正确；因为 f(x)loga|x1|在在(0,1)上是减函数，所上是减函数，所以以 a1，所以，所以 f(x)lo

43、ga|x1|在在(1，)上递增且无最大值，上递增且无最大值，A 正确，正确，B 错误；又错误；又 f(x)loga|x1|loga|x1|f(x)，所以，所以 C 错误故选错误故选 A、D. 65G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：技术的数学原理之一便是著名的香农公式：CWlog2 1SN.它表示：在受噪声干扰它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率的信道中，最大信息传递速率 C 取决于信道带宽取决于信道带宽 W、信道内信号的平均功率、信道内信号的平均功率 S、信道内部、信道内部的高斯噪声功率的高斯噪声功率 N 的大小，其中的大小，其中SN叫做信噪比按照香农公式，若不改叫做信噪比按

44、照香农公式，若不改变带宽变带宽 W，而将信，而将信噪比噪比SN从从 1 000 提升至提升至 2 000，则，则 C 大约增加了大约增加了( ) A10% B30% C50% D100% 17 解 析 ：解 析 ： 选选A 将 信 噪 比将 信 噪 比SN从从1 000提 升 至提 升 至2 000 ， C大 约 增 加 了大 约 增 加 了Wlog2 12 000 Wlog2 11 000 Wlog2 11 000 log22 001log21 001log21 00110.9679.9679.96710%，故选，故选 A. 7已知函数已知函数 f(x)loga(2xa)在区间在区间 12，

45、23上恒有上恒有 f(x)0，则实数，则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) A. 13，1 B 13，1 C. 23，1 D 23，1 解析解析： 选选 A 当当 0a0， 即即 043a1，解得解得13a43，故故13a1 时时，函数函数 f(x)在区间在区间 12，23上是增函数上是增函数，所以所以 loga(1a)0，即即 1a1，解得解得 a0) 则则 f(4xx2)ln(4xx2)，0 x4. 若求若求 f(4xx2)的单调递增区间，就的单调递增区间，就是求是求 y4xx2,0 x4 的单调递增区间结合图象知的单调递增区间结合图象知 y4xx2(0 x0，且，且 a1)，若，若

46、 f(x)1 在区间在区间1,2上恒成立，则实数上恒成立，则实数 a 的的取值范围是取值范围是_ 解析：解析：当当 a1 时，时，f(x)loga(8ax)在在1,2上是减函数，由上是减函数，由 f(x)1 在区间在区间1,2上恒成立，得上恒成立，得f(x)minloga(82a)1，解得，解得 1a83.当当 0a1 在区间在区间1,2上恒成立，得上恒成立，得 f(x)minloga(8a)1，解得，解得 a4，且，且 0a0 且且 a1)在在2,0上的值域是上的值域是1,0，则实数，则实数 a_； 若； 若函数函数 g(x)axm3 的图象不经过第一象限， 则实数的图象不经过第一象限， 则

47、实数 m 的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：函数函数 f(x)loga(x1)(a0 且且 a1)在在2,0上的值域是上的值域是1,0当当 a1 时，时，f(x)在在2,0上单调递减，上单调递减， f 2 loga30，f 0 loga11，无解；当无解；当 0a0 时，时，f(x)log12x. (1)求函数求函数 f(x)的解析式；的解析式； (2)解不等式解不等式 f(x21)2. 解：解：(1)当当 x0， 则则 f(x)log12 (x) 因为函数因为函数 f(x)是偶函数，所以是偶函数，所以 f(x)f(x) 所以当所以当 x0，0，x0，log12 x ，x2 可化为可化为

48、 f(|x21|)f(4) 又因为函数又因为函数 f(x)在在(0，)上是减函数，上是减函数， 所以所以 0|x21|4，解得，解得 5x2， 所以所以 x( 5， 5) 12已知函数已知函数 f(x)lg xax2 ，其中，其中 a 是大于是大于 0 的常数的常数 (1)求函数求函数 f(x)的定义域；的定义域； (2)当当 a(1,4)时，求函数时，求函数 f(x)在在2，)上的最小值；上的最小值； (3)若对任意若对任意 x2，)恒有恒有 f(x)0，试确定，试确定 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)由由 xax20，得，得x22xax0， 当当 a1 时，时，x22xa0 恒成立

49、，定义域为恒成立，定义域为(0，)； 19 当当 a1 时，定义域为时，定义域为x|x0 且且 x1； 当当 0a1 时，定义域为时，定义域为x|0 x1 1a (2)设设 g(x)xax2， 当当 a(1,4)，x2，)时，时， g(x)1ax2x2ax20. 因此因此 g(x)在在2，)上是增函数，上是增函数， f(x)在在2，)上是增函数则上是增函数则 f(x)minf(2)lg a2. (3)对任意对任意 x2，)，恒有，恒有 f(x)0， 即即 xax21 对对 x2，)恒成立恒成立 a3xx2. 令令 h(x)3xx2，x2，) 由于由于 h(x) x32294在在2，)上是减函数

50、，上是减函数， h(x)maxh(2)2. 故当故当 a2 时，恒有时，恒有 f(x)0. 因此实数因此实数 a 的取值范围为的取值范围为(2，) 三、自选练三、自选练练高考区分度练高考区分度 1已知正实数已知正实数 a，b，c 满足满足 12alog2a， 13blog2b，clog12c，则，则 a，b，c 的大小关系的大小关系为为( ) Aabc Bcba Cbca Dcab 解析：解析：选选 B 因为因为 clog12c，所以，所以clog2c.又又 12alog2a， 13blog2b，所以，所以 a，b，c 分分别为别为 y 12x，y 13x，yx 的图象与的图象与 ylog2x