2022届高三数学一轮复习（原卷版）第4讲　二次函数与幂函数.doc

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1、 第 4 讲 二次函数与幂函数 一、知识梳理 1幂函数 (1)定义：形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量， 为常数常见的五类幂函数为 yx，yx2，yx3，yx12，yx1. (2)性质 幂函数在(0，)上都有定义； 当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增； 当 0) f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立的充要条件是a0，b24ac0. (2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是a0，b24ac0 时，幂函数 yxn在(0，)上是增函数( ) (3)二次函数 yax2bxc(xR)不可能是偶函数( ) (4)如果幂函数的图象与坐

2、标轴相交，则交点一定是原点( ) (5)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区| (1)幂函数定义不清晰，导致出错； (2)二次函数的性质理解不到位出错； (3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错 1已知幂函数 yf(x)的图象过点2，22，则此函数的解析式为_；在区间_上递减 解析：设 yf(x)x，因为图象过点2，22，代入解析式得 12，则 yx12，由性质可知函数 yx12在(0，)上递减 答案：yx12 (0，) 2已知函数 f(x)x22ax3，若 yf(x)在区间4，6上是单调函

3、数，则实数 a 的取值范围为_ 解析：由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4，6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4. 答案：(，64，) 3已知函数 f(x)ax2x5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是_ 解析：因为函数 f(x)ax2x5 的图象在 x 轴上方，所以a0，1220a120. 答案：120， 考点一 幂函数的图象及性质(基础型) 复习指导| 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，了解它们的变化情况 核心素养：数学抽象 1已知点33， 3 在幂函数 f(x)的图象上，则 f(

4、x)是( ) A奇函数 B偶函数 C定义域内的减函数 D定义域内的增函数 解析：选 A设 f(x)x，由已知得33 3，解得 1， 因此 f(x)x1，易知该函数为奇函数 2已知 a345，b425，c1215，则 a，b，c 的大小关系为( ) Abac Babc Ccba Dcabc，故选 C 3若幂函数 yx1，yxm与 yxn在第一象限内的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为( ) A1m0n1 B1n0m C1m0n D1n0m0 时，yx在(0，)上为增函数，且 01 时，图象上凸，所以 0m1；当 0 时，yx在(0，)上为减函数，不妨令 x2，根据图象可得 212n，所以

5、1n0，综上所述，选 D 4若(a1)12(32a)12，则实数 a 的取值范围是_ 解析：易知函数 yx12的定义域为0，)，在定义域内为增函数， 所以a10，32a0，a132a，解得1a0，若在(0，)上单调递减，则 4ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正确；对称轴为 x1，即b2a1，2ab0，错误；结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，错误；由对称轴为 x1 知，b2a，又函数图象开口向下，所以 a0，所以5a2a，即 5ab，正确故选 B 【答案】 B 确定二次函数图象应关注的三个要点 一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向 二是看对称轴和最值，

6、它确定二次函数图象的具体位置 三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与 y 轴的交点、与 x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等 从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象反之，也可以从图象中得到如上信息 角度二 二次函数的单调性及最值问题 (1)函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1，)上是递减的，则实数 a 的取值范围是_ (2)求函数 f(x)x22ax1 在区间1，2上的最大值 【解】 (1)当 a0 时，f(x)3x1 在1，)上递减，满足条件 当 a0 时，f(x)的对称轴为 x3a2a， 由 f(x)在1，)上递减知a03a2a1， 解得3a0.综上，a 的取值范围为

7、3，0故填3，0 (2)f(x)(xa)21a2， 所以 f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 xa. 当a12时，f(x)maxf(2)4a5. 当a12即 a12时，f(x)maxf(1)22a， 综上，f(x)max4a5，a12，22a，a12. 二次函数的单调性及最值问题 (1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动 (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 角度三 一元二次不等式恒成立问题 (1)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意

8、xm，m1，都有 f(x)xk 在区间3，1上恒成立，则 k 的取值范围为 _ 【解析】 (1)作出二次函数 f(x)的草图，对于任意 xm，m1，都有 f(x)0， 则有f（m）0，f（m1）0， 即m2m210，（m1）2m（m1）10，解得22mk 在区间3，1上恒成立 设 g(x)x2x1，x3，1，则 g(x)在3，1上递减 所以 g(x)ming(1)1. 所以 k1.故 k 的取值范围为(，1) 【答案】 (1)22，0 (2)(，1) 不等式恒成立求参数取值范围的思路 一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域 1函数 f(x)ax22x3 在区间1

9、，3上为增函数的充要条件是( ) Aa0 Ba0 C0a13 Da1 解析：选 D当 a0 时，f(x)为减函数，不符合题意；当 a0 时，函数 f(x)ax22x3 图象的对称轴为 x1a， 要使 f(x)在区间1， 3上为增函数， 则a0，1a1，解得 a1.故选 D 2如果函数 f(x)x2bxc 对任意的实数 x 都有 f(1x)f(x)，那么( ) Af(0)f(2)f(2) Bf(0)f(2)f(2) Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)f(2)f(0)故选 A 3 若函数 f(x)x22x1 在区间a， a2上的最小值为 4， 则 a 的取值集合为_ 解析：因为函数 f

10、(x)x22x1(x1)2，对称轴 x1， 因为 f(x)在区间a，a2上的最小值为 4， 所以当 1a 时，f(x)minf(a)(a1)24，解得 a1(舍去)或 a3， 当 a21，即 a1 时，f(x)minf(a2)(a1)24，解得 a1(舍去)或 a3， 当 a1a2，即1a1 时，f(x)minf(1)04， 故 a 的取值集合为3，3 . 答案：3，3 基础题组练 1 如图是yxa； yxb； yxc在第一象限的图象， 则 a， b， c 的大小关系为( ) Acba Babc Cbca Dac0，所以 f(x)在(，2)上是递减的，在2，)上是递增的 3已知函数 f(x)x

11、24xa，x0，1，若 f(x)有最小值2，则 a 的值为( ) A1 B0 C1 D2 解析：选 D函数 f(x)x24xa 的对称轴为直线 x2，开口向下，f(x)x24xa 在0，1上单调递增，则当 x0 时，f(x)的最小值为 f(0)a2. 4(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 yax2bxc 的图象过点(1，0)，求证：这个二次函数的图象关于直线 x2 对称根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( ) A在 x 轴上截得的线段的长度是 2 B与 y 轴交于点(0，3) C顶点是(2，2) D过点(3，0) 解析：选 ABD由已知得abc0b2a2

12、，解得 b4a，c3a，所以二次函数为 ya(x24x3)，其顶点的横坐标为 2，所以顶点一定不是(2，2)，故选 ABD 5(多选)设函数 f(x)ax2bxc(a0)，对任意实数 t 都有 f(4t)f(t)成立，则函数值 f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( ) Af(1) Bf(1) Cf(2) Df(5) 解析：选 ACD因为对任意实数 t 都有 f(4t)f(t)成立，所以函数 f(x)ax2bxc(a0)的对称轴是 x2，当 a0 时，函数值 f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是 f(2)；当a0 时，函数值 f(1)，f(1)，f(2)，f(5

13、)中，最小的是 f(1)和 f(5) 6已知二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，对称轴为 x3，与 y 轴交于点(0，3)则它的解析式为_ 解析：由题意知，可设二次函数的解析式为 ya(x3)2，又图象与 y 轴交于点(0，3)， 所以 39a，即 a13. 所以 y13(x3)213x22x3. 答案：y13x22x3 7(2020 甘肃兰州一中月考)已知函数 f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在 x(0，)上递减，则实数 m_ 解析：根据幂函数的定义和性质，得 m2m11. 解得 m2 或 m1， 当 m2 时，f(x)x3在(0，)上是减函数，符合题意； 当 m1 时，f(x

14、)x01 在(0，)上不是减函数， 所以 m2. 答案：2 8设函数 f(x)mx2mx1，若对于 xR，f(x)0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 解析：当 m0 时，f(x)10，符合题意当 m0 时，f(x)为二次函数，则由 f(x)0 恒成立得m0，0，即m0，（m）24m（1）0，解得4m2xm 恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)由 f(0)1，得 c1，所以 f(x)ax2bx1. 又 f(x1)f(x)2x， 所以 a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x， 即 2axab2x， 所以2a2，ab0，所以a1，b1， 因此，所求解析式为 f(x)x2x1. (2)

15、f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0，要使此不等式在区间1，1上恒成立，只需使函数 g(x)x23x1m 在区间1，1上的最小值大于 0 即可 设 g(x)x23x1m， 则 g(x)在区间1，1上单调递减， 所以 g(x)ming(1)m1， 由m10，得 m1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1) 综合题组练 1若函数 f(x)x2a|x|2，xR 在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A113，3 B6，4 C3，2 2 D4，3 解析：选 B由于 f(x)为 R 上的偶函数，因此只需考虑函数 f(x)在(0，)上的单调性即可由题

16、意知函数 f(x)在3，)上为增函数，在1，2上为减函数，故a22，3，即a6，4 2(2020 福建连城一模)已知函数 f(x)2ax2ax1(a0)，若 x1f(x2) Cf(x1)f(x2) D与 x 的值无关 解析：选 C由题知二次函数 f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为 x14，因为 x1x20， 所以直线xx1， xx2关于直线x0对称， 由x1x2， 结合二次函数的图象可知f(x1)0且f(x)min1b24a0， 联立解得 a1，b2，所以 f(x)x22x1. 因为 g(x)f(x)kxx22x1kxx2(2k)x1x2k221（2k）24， 所以当k222 或k222

17、时，函数 g(x)在2，2上是单调函数，故实数 k 的取值范围是(，26，) 答案：x22x1 (，26，) 4(创新型)定义：如果在函数 yf(x)定义域内的给定区间a，b上存在 x0(ax0b)，满足 f(x0)f（b）f（a）ba，则称函数 yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如 yx4是1，1上的平均值函数，0 就是它的均值点现有函数 f(x)x2mx1 是1，1上的平均值函数，则实数 m 的取值范围是_ 解析：因为函数 f(x)x2mx1 是1，1上的平均值函数，设 x0为均值点，所以f（1）f（1）1（1）mf(x0)， 即关于 x0的方程x20mx01m

18、在(1，1)内有实数根， 解方程得 x01 或 x0m1. 所以必有1m11，即 0m1 时，求函数 g(x)的最小值 解：(1)f(x)在 y 轴右侧的图象如图所示 若 x0，则x0)， 所以 f(x)x22x（x0），x22x（x0）. (2)由(1)知 g(x)x22x2ax2，其图象的对称轴方程为 xa1， 当 a1 时，a12，g(x)x22x2ax2 在1，2上单调递减， 则 g(x)在1，2上的最小值为 g(2)24a. 6已知函数 f(x)x22ax5(a1) (1)若函数 f(x)的定义域和值域均为1，a，求实数 a 的值； (2)若 f(x)在区间(， 2上是减函数， 且对

19、任意的 x1， x21， a1， 总有|f(x1)f(x2)|4，求实数 a 的取值范围 解：(1)因为 f(x)x22ax5 在(，a上为减函数， 所以 f(x)x22ax5(a1)在1，a上单调递减， 即 f(x)maxf(1)a，f(x)minf(a)1，所以 a2 或 a2(舍去)即实数 a 的值为 2. (2)因为 f(x)在(，2上是减函数，所以 a2. 所以 f(x)在1，a上单调递减，在a，a1上单调递增， 又函数 f(x)的对称轴为直线 xa， 所以 f(x)minf(a)5a2， f(x)maxmaxf(1)， f(a1)， 又 f(1)f(a1)62a(6a2)a(a2)0， 所以 f(x)maxf(1)62a. 因为对任意的 x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4， 所以 f(x)maxf(x)min4，即 62a(5a2)4，解得1a3.又 a2，所以 2a3.即实数 a 的取值范围为2，3