专题3.3 函数的奇偶性与周期性 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

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1、专题3.3 函数的奇偶性与周期性新课程考试要求1理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性.核心素养培养学生数学抽象（例5.6.14.15）、数学运算（例3等）、逻辑推理（例2）、直观想象（例9.10）等核心数学素养.考向预测1.判断函数的奇偶性与周期性；2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查，有时与数列结合考查周期数列相关问题【知识清单】1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x

2、，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【考点分类剖析】考点一 ：函数奇偶性的判断【典例1】【多选题】（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（ ）A是奇函数B是奇函数C是偶函数D是偶函数【答案】AD【解析

3、】由奇偶性的定义逐一证明即可.【详解】对于A，即是奇函数，故A正确；对于B，即是偶函数，故B错误；对于C，即是奇函数，故C错误；对于D，即是偶函数，故D正确；故选：AD【典例2】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）ABCD【答案】ACD【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，偶函数，且在为增函数，符合题意；对于，不是偶函数，不符合题意；对于，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；对于，是偶函数，且在为增函数，符合题意；故选：【知识拓展】(1)奇、偶函数定义域的特点

4、由于f(x)和f(x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)奇、偶函数的对应关系的特点奇函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)；偶函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)(3)函数奇偶性的三个关注点若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(4)奇、偶函数图象对称性的应用若一个函数的图象关于

5、原点对称，则这个函数是奇函数；若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数【变式探究】1.（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）ABCD【答案】D【解析】易知和为奇函数，为偶函数.令，则，即且.所以为非奇非偶函数.故选D.2.（2021·上海高三二模）设，则“图象经过点”是“是偶函数”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【答案】C【解析】直接利用函数奇偶性的定义进行判定，结合充分条件，必要条件的定义即可判断.【详解】若函数图象经过点时，则或为偶函数若为偶函数，时为奇函数，时为非奇非偶函数，时

6、为偶函数，若为偶函数时，函数图象经过点是为偶函数的充要条件故选：C考点二：函数奇偶性的应用【典例3】（2019·全国高考真题（文）设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)= （ ）ABCD【答案】D【解析】是奇函数，x0时，当时，得故选D【典例4】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模（文）已知函数为奇函数，当时，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由奇函数对称性可得，代入已知解析式解得.【详解】函数为奇函数，.又，则，解得.故选：B.【典例5】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三三模（理）已知实数，满足，则_.【答案】【解

7、析】由，可得，构造函数，由函数的奇偶性单调性，计算即可得出结果.【详解】因为，所以，令，则在上为单调递增的奇函数，又，所以，所以.故答案为：4【总结提升】函数奇偶性的应用(1)求函数解析式将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的自变量代入已知解析式；利用函数的奇偶性求出解析式(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(x)f(x)或偶函数满足f(x)f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)0列式求解，若不能确定则不可用此法【变式探究】1.（2019·江西江西师大附中高

8、三高考模拟（文）若函数为奇函数，则实数的值为（）ABCD【答案】B【解析】为奇函数 当时， 又时， 本题正确选项：2.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设f(x)为偶函数，且在区间(-，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有（ ）A(-1，1)B(0，2)C(-2，0)D(2，4)【答案】CD【解析】由偶函数的性质以及f(-2)=f（2）=0画出函数f(x)的草图，由xf(x)<0或，结合图象得出解集.【详解】根据题意，偶函数f(x)在(-，0)上单调递增，又f(-2)=0，则函数f(x)在(0，+)上单调递减，且f(-2)=f（2）=0

9、，函数f(x)的草图如图又由xf(x)<0或由图可得-2<x<0或x>2即不等式的解集为(-2，0)(2，+).故选：CD3.（2021·上海高三二模）已知函数为奇函数，若，则_【答案】【解析】利用奇函数的性质，代入1和-1，即可求得函数值.【详解】由题知：，又为奇函数，则，故，故答案为：考点三：函数周期性及其应用【典例6】（2021·广德市实验中学高三月考（文）已知对，当时，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据已知条件先分析出为周期函数并求解出周期，然后根据周期性将转化为进行计算即可.【详解】，为周期函数且一个周期为故选：B.结论点睛：结论点睛：

10、周期性常用的几个结论如下：（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.【典例7】（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间上单调递减；丁：函数的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（ ）A甲B乙C丙D丁【答案】D【解析】由函数的奇偶性、周期性、对称性之间的相互关系可知，甲、乙、丁三者中必有一个错误，结合连续函数

11、单调性的特征可知，丙、丁互相矛盾，进而可得结果.【详解】由连续函数的特征知：由于区间的宽度为2，所以在区间上单调递减与函数的周期为2相互矛盾，即丙、丁中有一个为假命题；若甲、乙成立，即，则，所以，即函数的周期为4，即丁为假命题.由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，故选：D.【典例8】（2020·四川省石室中学高三一模（文）已知是定义域为的奇函数，满足,若，则( )ABCD【答案】C【解析】由函数是定义域为的奇函数，所以，且，又由，即， 进而可得，所以函数是以4为周期的周期函数，又由，可得，则，所以故选C【规律方法】1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如yAsin(

12、x)，用公式T计算递推法：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期T2a.换元法：若f(xa)f(xa)，令xat，xta，则f(t)f(t2a)，所以周期T2a2判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题3根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期【变式探究】1.（2020·六盘山高级中学高三三模（文）奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则（）A2B1C0D1【答案】B【

13、解析】由题意，奇函数的定义域为R，若为偶函数，则，即，则，即是周期为4的周期函数，则，故选：B2.（2019·广东高考模拟（文）已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1-x)，且f(1)=a，则f(2)+f(3)+f(4)=（ ）A0B-aCaD3a【答案】B【解析】因为函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，所以f(x)关于直线x=1对称，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(-1)又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又由f(1+x)=f(1-x)可得f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，所以f(x+2)=-f(x)，故f(x+4)=-f(

14、x+2)=f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)=f(0)，又f(1)=a因此f(2)+f(3)+f(4)=f(0)+f(-1)+f(0)=-f(1)=-a.故选B3.（2019·山东高考模拟（文）已知定义在上的奇函数满足，当时，则（ ）A2019B0C1D-1【答案】B【解析】由得：的周期为又为奇函数，即：本题正确选项：考点四：函数性质的综合应用【典例8】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文）已知函数是定义在上的奇函数，且满足，数列是首项为公差为的等差数列，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用函数的对称性首先求出函

15、数是以2为周期的函数，且，而数列的通项公式为，则可将所求转化为，再根据函数的奇偶性可得，从而有，即可求得结果.【详解】，即是以2为周期的函数，而，又数列是首项为公差为的等差数列，又是定义在上的奇函数，而，.故选：B.【典例9】（2020·山西省高三其他（文）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以，则为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，则a的取值范围是，故选：C.【典例10】【多选题】（2020·山东省高三其他）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）A函数

16、是以2为周期的周期函数B函数是以4为周期的周期函数C函数为奇函数D函数为偶函数【答案】BC【解析】对于选项,函数为偶函数，则，即，故函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；对于选项,令，则在中，将换为，得，则函数为奇函数，所以选项C正确对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，则为奇函数，所以选项D错误故选：BC.【典例11】（2020·重庆高三其他（文）定义在R上的奇函数满足：，且当时，若，则实数m的值为（ ）A2B1C0D-1【答案】B【解析】由为奇函数知，即，是周期为3的周期函数，故，即，.故选：B.【典例12】（2021·湖南高三三模）函数的定义域为D

17、，对D内的任意，当时，恒有，则称为非减函数已知是定义域为的非减函数，且满足：对任意，对任意则的值为_【答案】2【解析】分析所给条件，得到的函数图像在关于对称，再由任意得出且，又为非减函数即可求得时，必有，据此即可得解.【详解】根据题意，由对任意，则的函数图像在关于对称，令可得，又因为对任意，所以，又因为且是定义域为的非减函数，所以当时，必有，又由于的函数图像关于对称，所以时，也有，故答案为：2.【规律方法】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及

18、周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称【变式探究】1.（2020·山西省高三其他（文）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】，由的解析式可知，在上是奇函数且单调递增，为偶函数，当时，有，任取，则，由不等式的性质可得，即，所以，函数在上递增再由，得，得即，解得故选：B2.（2019·梅州市梅县区松口中学高三月考（理）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（

19、 ）ABCD【答案】C【解析】是R的偶函数，又在(0，+)单调递减，故选C3.（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（文）定义在上的奇函数满足，当时，则在上( )A是减函数，且B是增函数，且C是减函数，且D是增函数，且【答案】B【解析】定义在上的奇函数满足，即函数周期是4.在上的图象和在上的图象相同，当时，此时单调递增，且.是奇函数，当时，单调递增，且，即当时，单调递增，且，故选:B.4.（2020·江西省高三其他（理）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为_【答案】【解析】 函数是定义域为的偶函数，可转化为，又在上单调递增， ，两边平方解得： ，故的解集为