专题3.4 幂函数 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

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1、专题3.4 幂函数新课程考试要求1.了解幂函数的概念掌握幂函数，的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.核心素养培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例5-10）、数学建模、逻辑推理（例10）、直观想象（例2.3.4）等核心数学素养.考向预测1.与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；2.幂函数的图象与性质的应用.3.在分段函数中考查幂函数的图象和性质.【知识清单】1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，

2、)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【考点分类剖析】考点一 ：幂函数的概念例1.已知函数f(x)(m22m)·xm2m1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.【答案】(1) m1.(2) m1.(3) .(4)1±.【解析】 (1)若f(x)为正比例函数，则，m1.(2)若f(x)为反比例函数，则，m1.(3)若f(x)为二次函数，则，m.(4)若f(x)为幂函数，则m22m1，m1±.【总结提升】形如yx的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3

3、)后面不加任何项例如y3x、yxx1、yx21均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：yx2是幂函数，y2x是指数函数【变式探究】（2021·全国高一课时练习）设，则使函数yx的定义域为R的所有的值为（ ）A1,3B1,1C1,3D1,1,3【答案】A【解析】利用幂函数的性质逐一验证选项即可【详解】当时，函数y的定义域为，不是R，所以不成立；当时，函数y的定义域为，不是R，所以不成立；当或时，满足函数yx的定义域为R，故选：A.考点二 ：幂函数的图象例2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数，在同一坐标系中的部分图象如图，则、的大小关系正确的是（ ）ABCD【答案

4、】B【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得.故选：B.例3.若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在第一象限作出幂函数 的图象，在 内取同一值 ，作直线 ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知如图， 故选D例4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数的图像过点，则_，_【答案】 【解析】将点的坐标代入解析式求解即可.【详解】由题意知，所以可得，所以，可知.故答案为：；【总结提升】1.函数yx的形式的图象都过点(1,1)它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当&g

5、t;0时，第一象限图象是上坡递增；当0时，第一象限图象是下坡递减然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可2.幂函数yx的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.【变式探究】1（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文）函数的图像大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】，该函数的定义域为，所以排除C；因为函数为偶函数，所以排除D；又，在第一象限内的图像与的图像类似，排除B.故选A2（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为( )ABCD【答案】A【解析】方法一 曲线过

6、点，且在第一象限单调递增，为.显然对应，对应.曲线过点，且在第一象限单调递减，为.显然对应，对应.方法二 令，分别代入，得，所以曲线相对应的依次为.故选：.3（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ）A幂函数的图像过和两点B幂函数的图像不可能出现在第四象限C当时，是增函数D的图像是一条直线【答案】B【解析】幂函数的图像都过点,但不一定过点，如，所以A错；因为当时，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即B对；当时，不一是增函数，如在上单调递减，所以C错；的图像是一条去掉一点的直线，所以D错.故选:B考点三 ：幂函数的性质例5. （2021·北京高三其他模拟

7、）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，则的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先求出，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到，即得解.【详解】由题得.函数是上的增函数.因为，所以，所以，所以.故选：A例6.（2021·贵州省思南中学高三一模（理）已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.【答案】，的取值范围为【解析】先根据幂函数的定义求出的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可.【详解】幂函数经过点，即=.解得=或=.又，=.，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数.由得解得.的取值范围为.例7.（2021·全国高一课时练习

8、）已知偶函数在上是减函数，则整数a的值是_【答案】2【解析】由在上是减函数，可得，进而可得结果.【详解】因为在上是减函数，所以，解得，又函数为偶函数，且，当时，为奇函数当时，为偶函数当时，为奇函数；所以故答案为：2【方法技巧】1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.【变式探究】1. （2020·

9、四川省高三二模（文）已知点（3，28）在函数f（x）xn+1的图象上，设，bf（ln），则a，b，c的大小关系为（ ）AbacBabcCbcaDcab【答案】D【解析】根据题意，点（3，28）在函数f（x）xn+1的图象上，则有283n+1，解可得n3；则f（x）x3+1，易得f（x）在R上为增函数，又由1ln，则有cab.故选：D.2（2020·上海高一课时练习）已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，不满足题意当时，幂函数和直线重合，不满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像

10、如下由图可知，满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满足题意综上，故答案为3（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文） 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数_.【答案】2【解析】幂函数f（x）（m2m1）xm在区间（0，+）上单调递增，解得m2或-1（舍）故答案为2考点四：幂函数综合问题 例8.（2021·江西高三其他模拟（文）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得，有且，进而可求的取值范围.【详解】由是幂函数，知：，

11、又在上，即，则且，.故选：D.例9.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y (x>0)图象上一动点若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_【答案】1或【解析】设点，则令令（1）当时，时取得最小值，解得（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，解得综上可知：或所以答案应填：-1或.例10.（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数满足（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；

12、若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）【解析】（）为幂函数，或当时，在上单调递减，故不符合题意当时，在上单调递增，故，符合题意（），令，当时，时，有最小值，当时，时，有最小值，（舍）当时，时，有最小值，（舍）综上（），易知在定义域上单调递减，即，令，则， 【变式探究】1（2019·内蒙古自治区高三月考（理）若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）ABCD-1【答案】C【解析】设幂函数，图象过点，故 故，令，则，时，.故选：C2.（2020·上海高一课时练习）若，求实数a的取值范围【答案】【解析】由幂函数的定义域为，且满足，所以函数为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数在单调递增，在单调递减，又由，则满足 ，解得或，所以实数a的取值范围