2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1节 函数及其表示 教案 (2).doc

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1、1 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本章在高考中一般为 23 个客观题. 2.考查内容 高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握主要涉及函数奇偶性的判断，函数的图象，函数的奇偶性、单调性及周期性综合，指数、对数运算以及指数、对数函数的图象与性质，分段函数求函数值等. 3.备考策略 (1)重视函数的概念和基本性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念 研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图象的作用. (2)重视对基本初等函数的研究，复习时通过选择、填空题加以训练和巩固，将问题和方法进行归纳整理. 2 第一节第一节 函数及其表示函

2、数及其表示 最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段) 1函数与映射的概念 函数 映射 两集合A，B 设 A，B 是非空的数集 设 A，B 是非空的集合 对应关系f：AB 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素x， 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 名称 称

3、 f：AB 为从集合 A 到集合 B的一个函数 称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 yf(x)，xA 映射 f：AB 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 yf(x)， xA 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 显然，值域是集合 B 的子集 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系 (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据 (4)函数的表示法 3 表示函数的常用方法有：解析法、图象法

4、、列表法 3分段函数 若函数在其定义域内， 对于定义域内的不同取值区间， 有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数 常用结论 1常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于 0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)零次幂的底数不能为 0. (5)yax(a0 且 a1)，ysin x，ycos x 的定义域均为 R. (6)ylogax(a0，a1)的定义域为x|x0 (7)ytan x 的定义域为 2基本初等函数的值域 (1)ykxb(k0)的值域是 R. (2)yax2bxc(a

5、0)的值域：当 a0 时，值域为4acb24a， ；当 a0 时，值域为，4acb24a. (3)ykx(k0)的值域是y|y0 (4)yax(a0 且 a1)的值域是(0，) (5)ylogax(a0 且 a1)的值域是 R. 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)对于函数 f：AB，其值域是集合 B. ( ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数 ( ) (3)函数是一种特殊的映射 ( ) 4 (4)若 AR，B(0，)，f：xy|x|，则对应 f 可看作从 A 到 B 的映射 ( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的 ( ) 答案 (1) (2)

6、(3) (4) (5) 二、教材改编 1若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2，则函数 yf(x)的图象可能是( ) A B C D B 由函数定义可知，选项 B 正确 2函数 y 2x31x3的定义域为( ) A.32， B(，3)(3，) C.32，3 (3，) D(3，) C 由题意知 2x30，x30， 解得 x32且 x3. 3下列函数中，与函数 yx1 是相等函数的是( ) Ay( x1)2 By3x31 Cyx2x1 Dy x21 B y3x31x1，且函数定义域为 R，故选 B. 4设函数 f(x) x21，x1，2x，x1，则 f(f(3)_. 13

7、9 f(3)23，f(f(3)f232321491139. 5 5已知函数 f(x)2x1，若 f(a)5，则实数 a 的值为_ 12 由 f(a)5 得 2a15， 解得 a12. 考点 1 求函数的定义域 已知函数解析式求定义域 已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若 f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集 (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可 1.(2019 济南模拟)函数 y xln(2x)的定义域为( ) A(0,2)

8、 B0,2) C(0,1 D0,2 B 由题意知，x0 且 2x0， 解得 0 x2， 故其定义域是0,2) 2函数 f(x)1log2x21的定义域为_ 0，12(2，) 要使函数 f(x)有意义，则(log2x)210，即 log2x1或 log2x1， 解得 x2 或 0 x12， 故所求函数的定义域是0，12(2， ) 逆向问题 若函数 f(x)ax2abxb的定义域为x|1x2，则 ab 的值为_ 92 函数 f(x) ax2abxb的定义域为x|1x2 不等式 ax2abxb0 的解集为x|1x2 6 可知 a0，不等式化为 a(x1)(x2)0， 即 ax23ax2a0. 3aa

9、b，2ab，即 b3，a32. ab92. 求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“”连接如 T2. 抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数 f(x)的定义域为a，b，则复合函数 f(g(x)的定义域由ag(x)b 求出 (2)若已知函数 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b时的值域 已知函数 f(x)的定义域是0,4，则 f(x1)f(x1)的定义域是_ 1,3 由题意知 0 x14，0 x14， 解得 1x3. 故 f(x1)f(x1)的定

10、义域为1,3 逆向问题 已知函数 yf(x1)的定义域为 3， 3，则函数 yf(x)的定义域为_ 31， 31 因为 f(x1)的定义域为 3， 3，所以 31x1 31，所以函数 yf(x)的定义域为 31， 31 函数 f(g(x)的定义域指的是自变量 x 的取值范围，而不是 g(x)的取值范围(如本例逆向问题) 1.函数 f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是( ) 7 A.13，1 B.13， C.13，13 D.，13 A 由题意可知 1x0，3x10，解得 x1，x13，13x1，故选 A. 2函数 f(x1)的定义域为0,2 020，则函数 g(x)fx1x1的定义域为_

11、2,1)(1,2 018 函数 f(x1)的定义域为0，2 020，1x12 019. 要使函数 g(x)有意义，则 1x12 019，x10， 解得2x2 018 且 x1. 函数 g(x)的定义域为2,1)(1,2 018 3若函数 f(x) x2ax1的定义域为实数集 R，则实数 a 的取值范围为_ 2,2 函数 f(x) x2ax1的定义域为 R， a240，即2a2. 考点 2 求函数的解析式 求函数解析式的四种方法及适用条件 (1)待定系数法 先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数 (2)换元法 对于形如

12、 yf(g(x)的函数解析式，令 tg(x)，从中求出 x(t)，然后代入表达式求出 f(t)，再将 t 换成 x，得到 f(x)的解析式，要注意新元的取值范围 (3)配凑法 由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替8 代 g(x)，便得 f(x)的解析式 (4)解方程组法 已知关于 f(x)与 f1x或 f(x)的表达式， 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x) (1)一题多解已知二次函数 f(2x1)4x26x5，求 f(x)； (2)已知函数 f(x)满足 f(x)2f(x)2x，求 f(x) 解 (1

13、)法一：(待定系数法) 因为 f(x)是二次函数， 所以设 f(x)ax2bxc(a0)， 则 f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc. 因为 f(2x1)4x26x5， 所以 4a4，4a2b6，abc5，解得 a1，b5，c9， 所以 f(x)x25x9(xR) 法二：(换元法) 令 2x1t(tR)，则 xt12， 所以 f(t)4t1226t125t25t9(tR)， 所以 f(x)x25x9(xR) 法三：(配凑法) 因为 f(2x1)4x26x5(2x1)210 x4(2x1)25(2x1)9，所以 f(x)x25x9(xR) (2)解方程组法 由 f

14、(x)2f(x)2x， 得 f(x)2f(x)2x， 2，得 3f(x)2x12x， 即 f(x)2x12x3. 9 故 f(x)的解析式是 f(x)2x12x3(xR) 谨防求函数解析式的两种失误 (1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题求出解析式后要标注 x 的取值范围 (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围 如已知 f( x)x1， 求函数 f(x)的解析式， 可通过换元的方法得 f(x)x21，函数 f(x)的定义域是0，)，而不是(，) 1.如果 f1xx1x，则当 x0 且 x1 时，f(x)等于( ) A.1x B.1x1 C.11x D.1x1

15、B 令1xt，得 x1t(t0 且 t1)，f(t)1t11t1t1(t0 且 t1)， f(x)1x1(x0 且 x1) 2已知 f1xxx21x21x，则 f(x)( ) A(x1)2 B(x1)2 Cx2x1 Dx2x1 C f1xxx21x21xx1x2x1x1，所以 f(x)x2x1. 3已知 f(x)满足 2f(x)f1x3x，则 f(x)_. 2x1x(x0) 2f(x)f1x3x， 把中的 x 换成1x，得 2f1xf(x)3x. 10 联立可得 2fxf1x3x，2f1xfx3x， 解此方程组可得 f(x)2x1x(x0) 4已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0，f(x1

16、)f(x)x1，求 f(x)的解析式 解 设 f(x)ax2bxc(a0)，由 f(0)0，知 c0，f(x)ax2bx， 又由 f(x1)f(x)x1， 得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1， 即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1， 所以 2abb1，ab1，解得 ab12. 所以 f(x)12x212x(xR) 考点 3 分段函数 求函数值 解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题 (1)(2019 合肥模拟)已知函数 f(x) x1x2，x2，x22，x2，则 f(f(1)( ) A12 B2 C4 D11 (2)设

17、函数 f(x) x22xx0，fx3x0，则 f(5)的值为( ) A7 B1 C0 D.12 (1)C (2)D (1)因为 f(1)1223，所以 f(f(1)f(3)31324.故选C. (2)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)22112.故选 D. 11 求分段函数的函数值的策略 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值 (2)当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点 教师备选例题 已知函数 f(x) 2cos x，x0，fx

18、11，x0，则 f43的值为( ) A1 B1 C.32 D.52 B 依题意得 f43f131f23112cos23221221.故选 B. 求参数或自变量的值 解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可 (1)已知函数 f(x) 2x2，x1，log2x1，x1，且 f(a)3，则 f(6a)_. (2)设函数 f(x) x22x2，x0，x2，x0.若 f(f(a)2，则 a_. (1)32 (2) 2 (1)当 a1 时，f(a)2a23，无解； 当 a1 时，由 f(a)log2(a1)3

19、，得 a18， 解得 a7， 所以 f(6a)f(1)21232. (2)当 a0 时，f(a)a20，f(f(a)a42a222，得 a 2(a0 与 a 2舍去)当 a0 时，f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a12 2)22，此方程无解故 a 2. 求解本题的关键是就 a 的取值讨论 f(a)的情形， 另本题也可作出 f(x)的图象，数形结合求解，即 f(a)0 或 f(a)2，从而求得 a 的值 分段函数与方程、不等式问题 解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解 (20

20、18 全国卷)设函数 f(x) 2x，x0，1，x0，则满足 f(x1)f(2x)的x 的取值范围是( ) A(，1 B(0，) C(1,0) D(，0) D 当 x0 时， 函数 f(x)2x是减函数， 则 f(x)f(0)1.作出 f(x)的大致图象如图所示， 结合图象可知，要使 f(x1)f(2x)，则需 x10，2x0，2xx1或 x10，2x0，所以x0，故选 D. 本例借助图象较直观地求解得出不等式的解集，另注意求解时要思考全面，需考虑变量可能落在同一区间，也可能落在不同区间的情况 教师备选例题 设函数 f(x) x1，x0，2x，x0则满足 f(x)fx121 的 x 的取值范围

21、是_ 14， 根据分段函数的性质分情况讨论， 当 x0 时， 则 f(x)fx1213 x1x1211， 解得14x0.当 x0 时， 根据指数函数的图象和性质以及一次函数的性质与图象可得，f(x)fx121 恒成立，所以 x 的取值范围是14， . 1.已知 f(x) 2x，x0，fx1，x0，则 f43f43的值等于( ) A2 B4 C2 D4 B 由题意得 f4324383， f43f13f2322343， 所以 f43f434. 2已知函数 f(x) x1，1x0，2x，x0.若实数 a 满足 f(a)f(a1)，则f1a( ) A2 B4 C6 D8 D 由题意得 a0. 当 0a

22、1 时，由 f(a)f(a1)，即 2a a，解得 a14， 则 f1af(4)8， 当 a1 时，由 f(a)f(a1)，得 2a2(a1)，不成立 故选 D. 3已知函数 f(x) log2x，x1，11x，x1，则不等式 f(x)1 的解集为( ) A(，2 B(，0(1,2 C0,2 D(，01,2 D 当 x1 时，不等式 f(x)1 为 log2x1，即 log2xlog22， 函数 ylog2x 在(0，)上单调递增， 14 1x2. 当 x1 时，不等式 f(x)1 为11x1， 11x10，x1x0，xx10， x0 或 x1(舍去)， f(x)1 的解集是(，01,2故选

23、D. 课外素养提升 数学抽象函数的新定义问题 以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题 【典例】 (2019 深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数 f(x)的图象恰好经过 n(nN*)个整点，则称函数 f(x)为 n阶整点函数给出下列函数： f(x)sin 2x；g(x)x3； h(x)13x；(x)ln x. 其中是一阶整点函数的是( ) A B C D C 对于函数 f(x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除 D； 对于函数 g(x)

24、x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，所以它不是一阶整点函数，排除 A； 对于函数 h(x)13x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(1,3)，所以它不是一阶整点函数，排除 B.故选 C. 评析 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数 f(x)的图象恰好经过 1 个整点，问题便迎刃而解 【素养提升练习】 15 1若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为

25、yx21，值域为1,3的同族函数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 C 由 x211 得 x0，由 x213 得 x 2，所以函数的定义域可以是0， 2，0， 2，0， 2， 2，故值域为1,3的同族函数共有 3 个 2若定义在 R 上的函数 f(x)当且仅当存在有限个非零自变量 x，使得 f(x)f(x)，则称 f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( ) Af(x)cos x Bf(x)sin x Cf(x)x22x Df(x)x32x D A 中函数为偶函数，则在定义域内均满足 f(x)f(x)，不符合题意；B中，当 xk(kZ)时，满足 f(x)f(x)，不符合题意；C 中，由 f(x)f(x)，得 x22xx22x，解得 x0，不符合题意；D 中，由 f(x)f(x)，得 x32xx32x，解得 x0 或 x 2，满足题意，故选 D.