2022届高三数学一轮复习（原卷版）第4节 三角函数的图象与性质 教案.doc

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1、1 第四节第四节 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 最新考纲 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2内的单调性 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 ysin x，x0，2图象的五个关键点是：(0，0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) 余弦函数 ycos x，x0，2图象的五个关键点是：(0，1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1) 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 ysin

2、x ycos x ytan x 图象 定义域 R R xxk2，kZ 值域 1，1 1，1 R 单调性 递增区间： 2k2，2k2， kZ， 递减区间： 2k2，2k32， kZ 递增区间： 2k，2k， kZ， 递减区间： 2k，2k， kZ 递增区间 k2，k2， kZ 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 对称中心 对称中心 (k，0)，kZ k2，0 ，kZ k2，0 ，kZ 对称轴 xk2(kZ) 对称轴 xk(kZ) 周期性 2 2 常用结论 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1

3、4个周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2函数具有奇偶性的充要条件 函数 yAsin(x)(xR)是奇函数k(kZ)； 函数 yAsin(x)(xR)是偶函数k2(kZ)； 函数 yAcos(x)(xR)是奇函数k2(kZ)； 函数 yAcos(x)(xR)是偶函数k(kZ) 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 ysin x 的图象关于点(k，0)(kZ)中心对称( ) (2)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( ) (3)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.( ) (4)ysin |x|与 y|sin x|都是周期函数( )

4、 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1函数 ytan 2x 的定义域是( ) A.xxk4，kZ 3 B.xxk28，kZ C.xxk8，kZ D.xxk24，kZ D 由 2xk2，kZ，得 xk24，kZ， ytan 2x 的定义域为xxk24，kZ . 2函数 f(x)cos(2x4)的最小正周期是_ T22. 3ysin2x4的单调减区间是_ 38k，78k (kZ) 由22k2x4322k，kZ 得 38kx78k，kZ. 4y3sin(2x6)在区间0，2上的值域是_ 32，3 当 x0，2时，2x66，56， sin(2x6)12，1 ， 故 3sin(2x6)

5、32，3 ， 即 y3sin(2x6)的值域为32，3 考点 1 三角函数的定义域和值域 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解 4 2求三角函数最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解 (2)化一法：把所给三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域 (3)换元法：把 sin x，cos x，sin xcos x 或 sin xcos x 换成 t，转化为二次函数求解 1.函数 f(x)2tan(2x6)的定义域是( ) A.x|x6 B.x|x

6、12 C.x|xk6（kZ） D.x|xk26（kZ） D 由正切函数的定义域，得 2x6k2，kZ， 即 xk26(kZ)，故选 D. 2(2019 全国卷)函数 f(x)sin(2x32)3cos x 的最小值为_ 4 f(x)sin(2x32)3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1， 令 cos xt，则 t1，1 f(t)2t23t12(t34)2178， 易知当 t1 时，f(t)min2123114. 故 f(x)的最小值为4. 3已知函数 f(x)sin(x6)，其中 x3，a ，若 f(x)的值域是12，1 ，则实数 a 的取值范围是_ 3， x3，a

7、，x66，a6， 5 当 x66，2时，f(x)的值域为12，1 ， 由函数的图象(图略)知2a676，3a. 4函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 12 2，1 设tsin xcos x， 则t2sin2xcos2x2sin x cos x， sin xcos x1t22，且 2t 2. yt22t1212(t1)21，t 2， 2 当 t1 时，ymax1； 当 t 2时，ymin12 2. 函数的值域为12 2，1 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)c 的形式， 再求值域(最值)

8、(2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值) (3)形如 yasin3xbsin2xcsin xd，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值 考点 2 三角函数的单调性 (1)形如 yAsin(x)的函数的单调性问题，一般是将 x 看成一个整体，再结合图象利用 ysin x 的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性 求三角函数的单调性 求三角函数的单调性 (1)函数 f(x)tan(2x3)的单调递增区间是( ) Ak212，k2512(kZ) 6 Bk212，k2

9、512(kZ) Ck6，k23(kZ) Dk12，k512(kZ) (2)(2019 大连模拟)函数 y12sin x32cos x(x0，2)的单调递增区间是_ (1)B (2)0，6 (1)由 k22x3k2(kZ)， 得k212xk2512(kZ)， 所以函数 f(x)tan(2x3)的单调递增区间为(k212，k2512)(kZ)，故选B. (2)y12sin x32cos xsin(x3)， 由 2k2x32k2(kZ)， 解得 2k56x2k6(kZ) 函数的单调递增区间为2k56，2k6(kZ)， 又 x0，2，单调递增区间为0，6 本例(2) 在整体求得函数 y12sin x3

10、2cos x 的增区间后，采用对 k赋值的方式求得 x0，2上的区间 根据函数的单调性求参数 (1)已知 0，函数 f(x)sinx4在2， 上单调递减，则 的取值范围是( ) A(0，2 B.0，12 C.12，34 D.12，54 7 (2)(2018 全国卷)若 f(x)cos xsin x 在0， a 是减函数， 则 a 的最大值是( ) A.4 B.2 C.34 D (1)D (2)C (1)由 2k2x42k32，得2k4x2k54，kZ， 因为 f(x)sinx4在2， 上单调递减， 所以2k42，2k54，解得4k12，2k54.因为 kZ，0，所以 k0， 所以1254，即

11、的取值范围为12，54.故选 D. (2)f(x)cos xsin x 2sinx4， 当 x42，2，即 x4，34时， sinx4单调递增， 2sin x4单调递减， 4，34是 f(x)在原点附近的单调递减区间， 结合条件得0，a4，34， a34，即 amax34，故选 C. 已知单调区间求参数范围的 3 种方法 子集法 求出原函数的相应单调区间， 由已知区间是所求某区间的子集， 列不等式(组)求解 反子集法 由所给区间求出整体角的范围， 由该范围是某相应正、 余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不8 等

12、式(组)求解 1.若函数 f(x)sin x(0)在区间0，3上单调递增， 在区间3，2上单调递减，则 _ 32 由已知得T43，T43，2T32. 2函数 f(x)sin2x3的单调减区间为_ k12，k512(kZ) 由已知，得函数为 ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求 ysin2x3的单调增区间即可 由 2k22x32k2，kZ， 得 k12xk512，kZ. 故所求函数的单调减区间为k12，k512(kZ) 考点 3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 求解三角函数 ysin(x)(0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据 ysin x 的对应性质，利用整体代换的思想求

13、解 三角函数的周期性 (1)(2019 全国卷)下列函数中， 以2为周期且在区间4，2单调递增的是( ) Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x| Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x| (2)若函数 f(x)2tan(kx3)的最小正周期 T 满足 1T2，则自然数 k 的值为_ (1)A (2)2 或 3 (1)对于选项 A，作出 y|cos 2x|的部分图象，如图 1 所示，则 f(x)在(4，2)上单调递增，且最小正周期 T2，故 A 正确 9 对于选项 B，作出 f(x)|sin 2x|的部分图象，如图 2 所示，则 f(x)在(4，2)上单调递减，且最小正周期

14、 T2，故 B 不正确对于选项 C，f(x)cos|x|cos x，最小正周期 T2，故 C 不正确 对于选项 D，作出 f(x)sin|x|的部分图象，如图 3 所示显然 f(x)不是周期函数，故 D 不正确故选 A. 图 1 图 2 图 3 (2)由题意得，1k2， k2k，即2k， 又 kZ，k2 或 3. 公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴” (1)公式法求周期 正弦型函数 f(x)Asin(x)B 的周期 T2|； 余弦型函数 f(x)Acos(x)B 的周期 T2|； 正切型函数 f(x)Atan(x)B 的周期 T|. (2)对称性求周期 两对称轴距离的最小值等于T2； 两对称

15、中心距离的最小值等于T2； 10 对称中心到对称轴距离的最小值等于T4. (3)特征点法求周期 两个最大值点之差的最小值等于 T； 两个最小值点之差的最小值等于 T； 最大值点与最小值点之差的最小值等于T2. 特征点法求周期实质上就是由图象的对称性求周期， 因为最值点与函数图象的对称轴相对应(说明：此处的 T 均为最小正周期) 三角函数的奇偶性 已知函数 f(x)3sin(2x3)，(0，) (1)若 f(x)为偶函数，则 _； (2)若 f(x)为奇函数，则 _ (1)56 (2)3 (1)因为 f(x)3sin(2x3)为偶函数， 所以3k2，kZ， 又因为 (0，)，所以 56. (2)

16、因为 f(x)3sin(2x3)为奇函数， 所以3k，kZ， 又 (0，)， 所以 3. 若 f(x)Asin(x)(A，0)，则f(x)为偶函数的充要条件是 2k(kZ)；f(x)为奇函数的充要条件是 k(kZ) 三角函数的对称性 (1)已知函数 f(x)2sin(x6)(0)的最小正周期为 4，则该函数的图象( ) 11 A关于点(3，0)对称 B关于点(53，0)对称 C关于直线 x3对称 D关于直线 x53对称 (2)已知函数 ysin(2x)(22)的图象关于直线 x3对称，则 的值为_ (1)B (2)6 (1)因为函数 f(x)2sin(x6)(0)的最小正周期是 4，而T24，

17、所以 12， 即 f(x)2sin(x26) 令x262k(kZ)，解得 x232k(kZ)， 故 f(x)的对称轴为 x232k(kZ)， 令x26k(kZ)，解得 x32k(kZ) 故 f(x)的对称中心为(32k，0)(kZ)，对比选项可知 B 正确 (2)由题意得 f(3)sin(23) 1， 23k2(kZ)，k6(kZ) (2，2)，6. 三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法 若求f(x)Asin(x)(0)图象的对称轴， 则只需令x2k(kZ)，求 x；若求 f(x)Asin(x)(0)图象的对称中心的横坐标，则只需令 xk(kZ)，求 x. 12 1.设函数 f(x)cos

18、(x3)，则下列结论错误的是( ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线 x83对称 Cf(x)的一个零点为 x6 Df(x)在(2，)上单调递减 D A 项，因为 f(x)cos(x3)的周期为 2k(kZ)，所以 f(x)的一个周期为2，A 项正确； B 项， 因为 f(x)cos(x3)图象的对称轴为直线 xk3(kZ)， 所以 yf(x)的图象关于直线 x83对称，B 项正确； C 项，f(x)cos(x43)令 x43k2(kZ)，得 xk56，当 k1时，x6， 所以 f(x)的一个零点为 x6，C 项正确； D 项，因为 f(x)cos(x3)的单调递减区间为2k

19、3，2k23(kZ)， 单调递增区间为2k23，2k53(kZ)， 所以(2，23)是 f(x)的单调递减区间，23，)是 f(x)的单调递增区间，D 项错误 2(2019 成都模拟)已知函数 f(x)sin(x)(0，|2)的最小正周期为 4，且xR，有 f(x)f(3)成立，则 f(x)图象的一个对称中心坐标是( ) A(23，0) B(3，0) C(23，0) D(53，0) 13 A 由 f(x)sin(x)的最小正周期为 4，得 12. 因为 f(x)f(3)恒成立， 所以 f(x)maxf(3)， 即12322k(kZ)， 由|2，得 3，故 f(x)sin(12x3) 令12x3k(kZ)，得 x2k23(kZ)， 故 f(x)图象的对称中心为(2k23，0)(kZ)， 当 k0 时，f(x)图象的对称中心为(23，0)