2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6讲　双曲线.doc

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1、 第 6 讲 双曲线 一、知识梳理 1双曲线的定义 条件 结论 1 结论 2 平面内的动点 M 与平面内的两个定点 F1，F2 M 点的 轨迹为 双曲线 F1、F2为双曲线的焦点 |F1F2|为双曲线的焦距 |MF1|MF2|2a 2a|F1F2| 注意 (1)当 2a|F1F2|时，P 点的轨迹是两条射线； (2)当 2a|F1F2|时，P 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(a0，b0) y2a2x2b21(a0，b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0

2、) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 ybax yabx 离心率 eca，e(1，) 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c 的关系 c2a2b2(ca0，cb0) 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y x，离心率为 e 2. 常用结论 1双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若P是双曲线右支上一点， F1， F2分别为双曲线的左、 右焦点， 则|PF1|minac， |PF

3、2|minca. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a. (4)设 P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为b2a2. 2巧设双曲线方程 (1)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2y2b2t(t0) (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 mx2ny21(mn0) 二、教材衍化 1双曲线x224y2251 的实轴长_，离心率_，渐近线方程_ 答案：10 75 y5 612x 2经过点 A

4、(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 解析：设双曲线的方程为x2a2y2a2 1(a0)， 把点 A(3，1)代入，得 a28(舍负)， 故所求方程为x28y281. 答案：x28y281 3以椭圆x24y231 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_ 解析：设要求的双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由椭圆x24y231，得焦点为( 1，0)，顶点为( 2，0)所以双曲线的顶点为( 1，0)，焦点为( 2，0)所以 a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为 x2y231. 答案：x2y231 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)

5、平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线( ) (2)椭圆的离心率 e(0，1)，双曲线的离心率 e(1，)( ) (3)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 二、易错纠偏 常见误区| (1)忽视双曲线定义的条件致误； (2)忽视双曲线焦点的位置致误 1平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是_ 解析：由|PF1|PF2|6|F1F2|8，得 a3，又 c4，则 b2c2a27，所以所求点的轨迹是

6、双曲线y29x271 的下支 答案：双曲线y29x271 的下支 2坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为 3，则双曲线的离心率为_ 解析：若双曲线的焦点在 x 轴上， 设双曲线的方程为x2a2y2b21， 则渐近线的方程为 ybax， 由题意可得ba 3，b 3a， 可得 c2a，则 eca2； 若双曲线的焦点在 y 轴上， 设双曲线的方程为y2a2x2b21， 则渐近线的方程为 yabx， 由题意可得ab 3，a 3b， 可得 c2 33a，则 e2 33. 综上可得 e2 或 e2 33. 答案：2 或2 33 考点一 双曲线的定义(基础型) 复习指导| 了解双

7、曲线的定义及几何图形 核心素养：数学抽象 (1)(2020 河南非凡联盟 4 月联考)已知双曲线 C：x2a2y291(a0)的左、右焦点分别为 F1， F2， 一条渐近线与直线 4x3y0 垂直， 点 M 在 C 上， 且|MF2|6， 则|MF1|( ) A2 或 14 B2 C14 D2 或 10 (2)设 F1，F2是双曲线x24y21 的焦点，点 P 在双曲线上，且满足F1PF290 ，则F1PF2的面积是_ 【解析】 (1)由题意知3a34，故 a4，则 c5. 由|MF2|6ac9，知点 M 在 C 的右支上， 由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a8， 所以|MF1|14. (

8、2)双曲线x24y21 中，a2，b1，c 5.可设点 P 在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|4， 两边平方得， |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|16， 又|PF1|2|PF2|2(2c)220，所以PF1F2的面积为12|PF1| |PF2|1. 【答案】 (1)C (2)1 【迁移探究】 (变设问)在本例(2)条件下，则F1PF2的周长为_ 解析：又(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)24|PF1|PF2|16824，所以|PF1|PF2|2 6，PF1F2的周长为 2 62 5. 答案：2 52 6 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点

9、的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系 注意 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支 1设 F1，F2分别是双曲线 x2y291 的左、右焦点若点 P 在双曲线上，且|PF1|6，则|PF2|( ) A6 B4 C8 D4 或 8 解析：选 D由双曲线的标准方程可得 a1，则|PF1|PF2|2a2，即|6|PF2|2，解得|PF2|4 或 8. 2已知 F1，F2为双曲线 C

10、：x2y22 的左，右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_ 解析：由双曲线的定义有 |PF1|PF2|PF2|2a2 2， 所以|PF1|2|PF2|4 2， 则 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1| |PF2|(4 2)2(2 2)24224 22 234. 答案：34 考点二 双曲线的标准方程(基础型) 复习指导| 了解双曲线的标准方程 核心素养：数学运算 (1)已知圆 C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) Ax2y281 Bx28y21

11、Cx2y281(x1) Dx2y281(x1) (2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 与椭圆x29y241 有相同的焦距，且一条渐近线方程为 x2y0，则双曲线 C 的方程为_ 【解析】 (1)设动圆 M 的半径为 r，由动圆 M 同时与圆 C1和圆 C2相外切，得|MC1|1r，|MC2|3r，|MC2|MC1|26，所以点 M 的轨迹是以点 C1(3，0)和 C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且 2a2，a1，c3，则 b2c2a28，所以点 M 的轨迹方程为x2y281(x1) (2)在椭圆x29y241 中，c 94 5.因为双曲线 C 与椭圆x29y241 有相同的焦距

12、，且一条渐近线方程为 x2y0，所以可设双曲线方程为x24y2(0)，化为标准方程为x24y21.当 0 时，c 4 5，解得 1，则双曲线 C 的方程为x24y21；当 0时，c 4 5，解得 1，则双曲线 C 的方程为 y2x241.综上，双曲线 C 的方 程为x24y21 或 y2x241. 【答案】 (1)C (2)x24y21 或 y2x241 求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 根据双曲线的定义确定 a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： c2a2b2； 双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于 2a. (2)待定系数法 一般步骤 常用设法 (

13、i)与双曲线x2a2y2b21 共渐近线的方程可设为x2a2y2b2(0)； (ii)若双曲线的渐近线方程为 ybax，则双曲线的方程可设为x2a2y2b2(0)； (iii)若双曲线过两个已知点， 则双曲线的方程可设为x2my2n1(mn0)或 mx2ny21(mn0) 1双曲线 C 的两焦点分别为(6，0)，(6，0)，且经过点(5，2)，则双曲线的标准方程为( ) Ax220y241 Bx220y2161 Cy220 x2161 Dy220 x241 解析：选 B2a|(56)222 |(56)222 4 5.所以 a2 5，又 c6， 所以 b2c2a2362016. 所以双曲线的标准

14、方程为x220y2161.故选 B 2(2020 合肥市第一次质检测)设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为 4，一条渐近线的方程为 y12x，则双曲线 C 的方程为( ) Ax216y241 Bx24y2161 Cx264y2161 Dx2y241 解析：选 A由题意知，双曲线的虚轴长为 4，得 2b4，即 b2，又双曲线的焦点在x 轴上， 则其一条渐近线的方程为 ybax12x， 可得 a4， 所以双曲线 C 的方程为x216y241，故选 A 考点三 双曲线的几何性质(综合型) 复习指导| 了解双曲线的简单几何性质 核心素养： 数学运算 角度一 双曲线的渐近线问题 (2

15、020 吉林第三次调研测试)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的实轴长是虚轴长的 2倍，则双曲线 C 的渐近线方程为( ) Ay 2 2x By 2x Cy22x Dy24x 【解析】 双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，所以 2a2 2b，即 a 2b. 所以渐近线方程为 ybax22x.故选 C 【答案】 C 求双曲线的渐近线的方法 求双曲线x2a2y2b21(a0，b0)或y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于 0，即令x2a2y2b20，得 ybax；或令y2a2x2b20，得 yabx.反之，已知渐近线方

16、程为 ybax，可设双曲线方程为x2a2y2b2(a0，b0，0) 说明 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于 x 轴，y 轴对 称 角度二 双曲线的离心率问题 (1)(2020 兰州市诊断考试)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的实轴长为 4，离心率为 3，则其虚轴长为( ) A8 2 B4 2 C2 2 D4 63 (2)(一题多解)(2019 高考全国卷)设 F 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为( ) A 2 B 3 C2 D 5

17、【解析】 (1)由题意知 2a4， 所以 a2.因为 eca 3， 所以 c2 3， 所以 b c2a22 2，所以 2b4 2，即该双曲线的虚轴长为 4 2，故选 B (2)法一： 依题意， 记 F(c， 0)， 则以 OF 为直径的圆的方程为xc22y2c24， 将圆xc22y2c24与圆 x2y2a2的方程相减得 cxa2，即 xa2c，所以点 P，Q 的横坐标均为a2c.由于 PQ 是圆 x2y2a2的一条弦， 因此a2c2|PQ|22a2， 即a2c2c22a2， 即c24a21a2c2a2b2c2， 所以c22ab， 即a2b22ab(ab)20， 所以ab， 因此C的离心率e1b

18、a2 2，故选 A 法二：记 F(c，0)连接 OP，PF，则 OPPF，所以 SOPF12|OP| |PF|12|OF|12|PQ|，即12a c2a212c12c，即 c22ab，即 a2b22ab(ab)20，所以 ab，因此 C 的离心率 e1ba2 2，故选 A 法三：记 F(c，0)依题意，PQ 是以 OF 为直径的圆的一条弦，因此 OF 垂直平分 PQ.又|PQ|OF|，因此 PQ 是该圆的与 OF 垂直的直径，所以FOP45 ，点 P 的横坐标为c2，纵坐标的绝对值为c2，于是有 2c2a，即 eca 2，即 C 的离心率为 2，故选 A 【答案】 (1)B (2)A (1)求

19、双曲线的离心率或其取值范围的方法 求 a，b，c 的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求 e. 列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解 (2)双曲线的渐近线的斜率 k 与离心率 e 的关系：kbac2a2ac2a21 e21. 1(2020 黑龙江齐齐哈尔二模)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 4 2，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( ) A2 B4 C6 D8 解析：选 B因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线为 ybax，两条渐近线互相垂直，所以ba21，得

20、ab.因为双曲线的焦距为 4 2，所以 c2 2，由 c2a2b2可知 2a28，所以 a2，所以实轴长 2a4.故选 B 2(2020 甘肃、青海、宁夏联考)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 5，则斜率为正的渐近线的斜率为( ) A32 B12 C 3 D2 解析：选 D双曲线的离心率为 5，即ca 5， 所以bac2a2a2ca212，所以双曲线的渐近线方程为 y 2x，故选 D 3(2020 陕西榆林二模)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)，左顶点为 A，右焦点为 F，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线 C 在第一象限内的交点为 B，且直线 AB 的斜

21、率为12，则 C 的离心率为_ 解析：把 xc 代入双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)得 yb2a，所以 Bc，b2a， 又 A(a，0)，直线 AB 的斜率为12，所以b2aac12， 可得 a2ac2c22a2，即 2c23a2ac0， 即 2e23e0， 因为 e1，所以 e32. 答案：32 基础题组练 1(2019 高考北京卷)已知双曲线x2a2y21(a0)的离心率是 5，则 a( ) A 6 B4 C2 D12 解析：选 D由双曲线方程x2a2y21， 得 b21， 所以 c2a21. 所以 5e2c2a2a21a211a2. 结合 a0，解得 a12. 故选 D 2若双曲

22、线 C1：x22y281 与 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线 C2的焦距为 4 5，则 b( ) A2 B4 C6 D8 解析：选 B由题意得，ba2b2a，C2的焦距 2c4 5c a2b22 5b4，故选 B 3 设双曲线 x2y281 的两个焦点为 F1， F2， P 是双曲线上的一点， 且|PF1|PF2|34，则PF1F2的面积等于( ) A10 3 B8 3 C8 5 D16 5 解析：选 C依题意|F1F2|6，|PF2|PF1|2，因为|PF1|PF2|34，所以|PF1|6，|PF2|8，所以等腰三角形 PF1F2的面积 S128 628228

23、5. 4(2020 长春市质量监测(一)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个顶点分别为 A，B，点 P 为双曲线上除 A，B 外任意一点，且点 P 与点 A，B 连线的斜率分别为 k1，k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为( ) Ay x By 2x Cy 3x Dy 2x 解析：选 C设点 P(x，y)，由题意知 k1k2yxayxay2x2a2y2a2y2b2b2a23，所以其渐近线方程为 y 3x，故选 C 5(多选)(2021 预测)已知 F1，F2分别是双曲线 C：y2x21 的上、下焦点，点 P 是其中一条渐近线上的一点，且以线段 F1F2为直径的圆经过点 P，则

24、( ) A双曲线 C 的渐近线方程为 y x B以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y21 C点 P 的横坐标为 1 DPF1F2的面积为 2 解析：选 ACD等轴双曲线 C：y2x21 的渐近线方程为 y x，故 A 正确；由双曲线的方程可知|F1F2|2 2， 所以以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y22， 故 B 错误； 点 P(x0，y0)在圆 x2y22 上，不妨设点 P(x0，y0)在直线 yx 上，所以x20y202，y0 x0，解得|x0|1，则点 P 的横坐标为 1，故 C 正确；由上述分析可得PF1F2的面积为122 21 2，故 D正确故选 ACD 6(2019 高考江

25、苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_ 解析：因为双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，所以 916b21(b0)，解得 b 2，即双曲线方程为 x2y221，其渐近线方程为 y 2x. 答案：y 2x 7(2020 云南昆明诊断测试改编)已知点 P(1， 3)在双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线上，F 为双曲线 C 的右焦点，O 为原点若FPO90 ，则双曲线 C 的方程为_，其离心率为_ 解析：因为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax，点 P(1， 3)在

26、渐近线上，所以ba 3.在 RtOPF 中，|OP|( 3)212，FOP60 ，所以|OF|c4.又 c2a2b2，所以 b2 3，a2，所以双曲线 C 的方程为x24y2121，离心率 eca2. 答案：x24y2121 2 8.如图，F1，F2是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右两个焦点，若直线 yx与双曲线 C 交于 P，Q 两点，且四边形 PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为_ 解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线 yx 代入双曲线 C 方程，可得 xa2b2b2a2，所以 2a2b2b2a2c，所以 2a2b2c2(b2a2)，即 2(e21)e42e2

27、，所以 e44e220.因为 e1，所以 e22 2，所以 e2 2. 答案：2 2 9已知椭圆 D：x250y2251 与圆 M：x2(y5)29，双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程 解：椭圆 D 的两个焦点坐标为(5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c5. 设双曲线 G 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)， 所以渐近线方程为 bx ay0 且 a2b225， 又圆心 M(0，5)到两条渐近线的距离为 3. 所以|5a|b2a23，得 a3，b4， 所以双曲线 G 的方程为x29y2161. 10

28、已知双曲线的中心在原点， 焦点 F1， F2在坐标轴上， 离心率为 2， 且过点(4， 10) (1)求双曲线方程； (2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：点 M 在以 F1F2为直径的圆上 解：(1)因为离心率 e 2， 所以双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为 x2y2(0)， 则由点(4， 10)在双曲线上， 可得 42( 10)26， 所以双曲线的方程为 x2y26. (2)证明：因为点 M(3，m)在双曲线上， 所以 32m26，所以 m23， 又双曲线 x2y26 的焦点为 F1(2 3，0)，F2(2 3，0)， 所以MF1 MF2(2 33， m) (2 33， m)(3)2

29、(2 3)2m291230，所以 MF1MF2，所以点 M 在以 F1F2为直径的圆上 综合题组练 1设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作A1A2的垂线与双曲线交于 B，C 两点若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线方程为( ) Ay12x By22x Cy x Dy 2x 解析：选 C如图，不妨令 B 在 x 轴上方，因为 BC 过右焦点 F(c，0)，且垂直于 x 轴，所以可求得 B，C 两点的坐标分别为c，b2a，c，b2a.又 A1，A2的坐标分别为(a，0)，(a，0) 所以A1Bca，b2a，A2Cca，b2a. 因为 A1

30、BA2C，所以A1BA2C0， 即(ca)(ca)b2ab2a0， 即 c2a2b4a20，所以 b2b4a20，故b2a21，即ba1. 又双曲线的渐近线的斜率为ba， 故该双曲线的渐近线的方程为 y x. 2过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点 F(c，0)作圆 O：x2y2a2的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线于点 P，若 E 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为( ) A 5 B52 C 51 D512 解析：选 A法一：如图所示，不妨设 E 在 x 轴上方，F为双曲线的右焦点，连接 OE，PF，因为 PF 是圆 O 的切线，所以 OEPE，又 E，O 分别为 P

31、F，FF的中点，所以|OE|12|PF|，又|OE|a，所以|PF|2a，根据双曲线的性质，|PF|PF|2a，所以|PF|4a，所以|EF|2a，在 RtOEF 中，|OE|2|EF|2|OF|2，即 a24a2c2，所以 e 5，故选 A 法二：连接 OE，因为|OF|c，|OE|a，OEEF，所以|EF|b，设 F为双曲线的右焦点，连接 PF，因为 O，E 分别为线段 FF，FP 的中点，所以|PF|2b，|PF|2a，所以|PF|PF|2a，所以 b2a，所以 e1ba2 5. 3已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22y21 上的一点，F1，F2是双曲线 C 的两个焦点若MF1MF

32、20，则 y0的取值范围是_ 解析：由题意知 a 2，b1，c 3， 设 F1( 3，0)，F2( 3，0)， 则MF1( 3x0，y0)，MF2( 3x0，y0) 因为MF1MF20， 所以( 3x0)( 3x0)y200， 即 x203y200. 因为点 M(x0，y0)在双曲线 C 上， 所以x202y201，即 x2022y20， 所以 22y203y200，所以33y033. 答案：33，33 4(2019 高考全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，若F1AAB，F1BF2B

33、0，则 C的离心率为_ 解析：法一：因为F1BF2B0，所以 F1BF2B，如图 所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为F1AAB，所以点 A 为 F1B 的中点，又点 O 为 F1F2的中点，所以 OABF2，所以 F1BOA，因为直线 OA，OB 为双曲线 C 的两条渐近线，所以 tanBF1Oab，tanBOF2ba.因为 tanBOF2tan(2BF1O)，所以ba2ab1ab2，所以 b23a2，所以 c2a23a2，即 2ac，所以双曲线的离心率 eca2. 法二：因为F1BF2B0，所以 F1BF2B，在 RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以

34、OBF2OF2B，又F1AAB，所以 A 为 F1B 的中点，所以 OAF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以OBF2为等边三角形由 F2(c，0)可得 Bc2，3c2，因为点 B 在直线 ybax 上，所以32cbac2，所以ba 3，所以 e1b2a22. 答案：2 5已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，点( 3，0)是双曲线的一个顶点 (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点 F2作倾斜角为 30 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 A，B，求|AB|. 解：(1)因为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，点( 3，0

35、)是双曲线的一个顶点， 所以ca 3，a 3，解得 c3，b 6， 所以双曲线的方程为x23y261. (2)双曲线x23y261 的右焦点为 F2(3，0)， 所以经过双曲线右焦点 F2且倾斜角为 30 的直线的方程为 y33(x3) 联立x23y261，y33(x3)，得 5x26x270. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x265，x1x2275. 所以|AB| 113 652427516 35. 6已知双曲线 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e52，虚轴长为 2. (1)求双曲线 C 的标准方程； (2)若直线 l：ykxm 与双曲线 C 相交于 A，B

36、 两点(A，B 均异于左、右顶点)，且以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，求证：直线 l 过定点 解：(1)设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0) 由已知得ca52，2b2，又 a2b2c2， 所以 a2，b1，所以双曲线的标准方程为x24y21. (2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立ykxm，x24y21， 得(14k2)x28kmx4(m21)0， 所以 64m2k216(14k2)(m21)0，x1x28mk14k20，x1x24(m21)14k20，所以 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2m24k214k2. 因为以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D(2，0)，所以 kADkBD1，即y1x12y2x221， 所以 y1y2x1x22(x1x2)40， 即m24k214k24(m21)14k216mk14k240， 所以 3m216mk20k20， 解得 m2k 或 m10k3. 当 m2k 时，l 的方程为 yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾； 当 m10k3时，l 的方程为 ykx103，直线过定点103，0 ，经检验符合已知条件 故直线 l 过定点103，0 .