2022届高三数学一轮复习（原卷版）考点34 平面向量的概念与线性运算（解析版）.docx

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1、考点34 平面向量的概念与线性运算【命题解读】平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题【基础知识回顾】 1. 向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量我们规定零向量与任一向量平行(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量2. 向量的线性运算(1)向量加法满足交换律abba，结合律(ab)ca(bc)向量加法可以使用三角

2、形法则，平行四边形法则(2)向量的数乘：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：|a|a|；当>0时，a与a方向相同；当<0时，a与a方向相反；当a0时，a0；当0时，a0(3)实数与向量的运算律：设，R，a，b是向量，则有：(a)()a；()aaa；(ab)ab3. 向量共线定理：如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba1、已知下列各式：；，其中结果为零向量的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由题知结果为零向量的是，故选B.2、设a，b是非零向量，则a2b是成

3、立的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由a2b可知，a，b 方向相同， 表示 a，b 方向上的单位向量，所以成立；反之不成立故选B.3、已知4e12e2，2e1te2，若M、P、Q三点共线，则t( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 1【答案】A【解析】M、P、Q三点共线，则与共线，即4e12e2(2e1te2)，得解得t1. 故选A. 4、（2019秋如皋市期末）（多选题）在梯形中，分别是，的中点，与交于，设，则下列结论正确的是ABCD【答案】【解析】由题意可得，故正确；，故正确；，故错误；，故正确故选：5、（多选题）设点M是ABC所在平

4、面内一点，则下列说法正确的是()A若，则点M是边BC的中点B若2，则点M在边BC的延长线上C若，则点M是ABC的重心D若xy，且xy，则MBC的面积是ABC面积的【答案】ACD【解析】若，则点M是边BC的中点，故A正确；若2，即有，即，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若，即0，则点M是ABC的重心，故C正确；如图，xy，且xy，可得22x2y，设2，则M为AN的中点，则MBC的面积是ABC面积的，故D正确故选ACD.6、在ABC中，则BAC_【答案】60°【解析】，得ABC是等边三角形，BAC60°.考向一平面向量的有关概念例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个

5、命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是()A. B. C. D.【答案】A【解析】不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确.，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|，且，方向相同，因此.正确.ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确.当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b

6、|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是.变式1、(多选)给出下列命题，不正确的有()A若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B若A，B，C，D是不共线的四点，且，则ABCD为平行四边形Cab的充要条件是|a|b|且abD已知，为实数，若ab，则a与b共线【答案】ACD【解析】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为，所以|且，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而

7、是必要不充分条件；D错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线故选ACD.变式2、给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个数为()A0 B1C2 D3【答案】D【解析】错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量故错误的命题有3个，故选D.变式3、（山东泰安一中2019届高三模拟）给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个

8、数为()A0B.1C2 D3【答案】D【解析】错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量故错误的命题有3个，故选D.变式4、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心（1）与相等的向量有 ；（2）与相等的向量有 ；（3）与共线的向量有 答案：（1），；（2）；（3）方法总结：向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向

9、量共线考向二 向量的线性运算例2、(1)(2019·安徽合肥二模)在ABC中，若a，b，则()A.ab BabC.ab D.ab(2)(一题多解)(2020·广东一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足161230，则()A.123 B123C.123 D.123【答案】(1)A(2)A【解析】(1)a，b，()，ab.故选A.(2)法一：对于A.12312()3()12315，整理，可得161230，这与题干中条件相符合，故选A.法二：已知A，B，C三点不共线，且点O满足161230，所以16120，所以123，故选A.变式1、（山西平遥中学2019届期末）在ABC中，

10、c，b，若点D满足2，则等于()A.bcB.cbC.bc Dbc【答案】A【解析】2，22()，32，bc.变式2、(2019·衡水中学五调)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则()A. B .B. D .【答案】D【解析】，.E为BC的中点，F为AE的中点，()，又，.故选D.变式3、1在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于()A. B.C. D.2如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，BCCDDA，DEAC于点E，则等于()A. B.C. D.【答案】1A2A【解析】1作出示意图如图所示×()().故选A.2因为DCAB，B

11、CCDDA，DEAC，所以E是AC的中点，可得()，故选A.变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形中，下列计算错误的是A BCD【答案】【解析】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，正确；，错误；，错误；，正确故选：变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形为梯形，其中，分别为，的中点，则下列结论正确的是ABCD【答案】【解析】因为四边形为梯形，其中，分别为，的中点，；对为的中线；对；的、对；错；方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则考向三 共线定理的应用

12、例3、如图，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示.【解析】设manb，则manba(m1)anb.ab.又A、M、D三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt(ab)(m1)anbtatb.消去t得，m12n，即m2n1.又manba(m)anb，baab.又C、M、B三点共线，与共线存在实数t1，使得t1，(m)anbt1(ab)，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.变式1、(2019·河南郑州第一次质量预测)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2x0成立的实数x的取值集合为()A.0 B.C.1 D.0，1【答案

13、】C【解析】方法一若要x2x0成立，必须与x2x共线，由于与共线，所以和的系数必须互为相反数，则x2x，解得x0或x1，而当x0时，0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x1.方法二，x2x0，即x2(x1)，A，B，C三点共线，x2(x1)1，即x2x0，解得x0或x1.当x0时，x2x0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x1.变式2、（2019秋清远期末）等边三角形中，与交于，则下列结论正确的是ABC D【答案】【解析】如图，为的中点，正确；，错误；设，且，三点共线，解得，正确；，错误故选：变式3、设两个非零向量a与b不共线(1)ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共

14、线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线【解析】(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)5(ab)5，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，k210.k±1.方法总结：利用共线向量定理解题的方法(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线即A，B，C三点共线，共线(3)若a与b不共线且ab，

15、则0.(4) (，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.1、在ABC中，点G满足0.若存在点O，使得，且mn，则mn等于()A2 B2 C1 D1【答案】D【解析】 0，0，()()，可得，m，n，mn1，故选D.2、A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若(，R)，则的取值范围是()A(0,1) B(1，)C(1， D(1,0)【答案】B【解析】设m，则m>1，因为，所以m，即，又知A，B，D三点共线，所以1，即m，所以>1，故选B.3、【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则ABCD【答案】A【解析】根据向量的运算法

16、则，可得 ，所以.故选A.4、.在ABC中，下列命题正确的是( )A.B.0C.若()·()0，则ABC为等腰三角形D.若·0，则ABC为锐角三角形【答案】BC【解析】由向量的运算法则知；0，故A错，B对；()·()220，22，即ABAC，ABC为等腰三角形，故C对；·0，角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形故选BC.5、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（ ）ABCD【答案】ABC【解析】 ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC，由向量加

17、法的三角形法则得，A对；，又F为AE的中点，B对；，C对；，D错；故选：ABC6、【江苏卷】在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是_【答案】【解析】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，,，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.7、在四边形ABCD中，(1,1)，···，则四边形ABCD的面积为_.【答案】 【解析】 由|，可知四边形ABCD为菱形，则有|，即，两边平方，得12·13，所以cos，60°S|sin 60°××8、已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在这样的实数，使向量dab与c共线？【解析】 d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，即得2故存在这样的实数，只要2，就能使d与c共线