2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2讲　两直线的位置关系.doc

《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2讲　两直线的位置关系.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2讲　两直线的位置关系.doc（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第 2 讲 两直线的位置关系 一、知识梳理 1两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条件 两直线位置关系 斜率的关系 两条不重合的直线 l1， l2， 斜率分别为 k1，k2 平行 k1k2 k1与 k2都不存在 垂直 k1k21 k1与 k2一个为零、另一个不存在 2.两条直线的交点 3三种距离 点点距 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|(x2x1)2(y2y1)2 点线距 点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2 线线距 两条平行线 AxByC10 与AxByC20间的距离 d|C1C2|A2B2 常用结论 1会用两

2、个充要条件 (1)两直线平行或重合的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 平行或重合的充要条件是 A1B2A2B10. (2)两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 垂直的充要条件是 A1A2B1B20. 2直线系方程 (1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC) (2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR) (3)过直线 l1： A1xB1yC10 与 l2： A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1y C1(A2xB2yC2)0(R)，

3、但不包括 l2. 3六种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(x，y) (2)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)，关于 y 轴的对称点为(x，y) (3)点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)，关于直线 yx 的对称点为(y，x) (4)点(x，y)关于直线 xa 的对称点为(2ax，y)，关于直线 yb 的对称点为(x，2by) (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax，2by) (6)点(x，y)关于直线 xyk 的对称点为(ky，kx)，关于直线 xyk 的对称点为(ky，xk) 二、教材衍化 1两直线 4x3y10 与 2xy10

4、 的交点坐标为_ 答案：(4，2) 2已知点(a，2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于_ 答案： 21 3已知直线 l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10 互相平行，则实数 a 的值是_ 解析：由直线 l1与 l2平行，可得a(a1)23，a12，解得 a3. 答案：3 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)当直线 l1和 l2的斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交( ) (4)已知直线 l1：A1xB1

5、yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区| (1)求平行线间距离忽视 x，y 的系数相同； (2)判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况 1两条平行直线 3x4y120 与 6x8y110 之间的距离为( ) A235 B2310 C7 D72 解析：选 D直线 3x4y120 可化为 6x8y240，所以两平行直线之间的距离为|1124|366472. 2已知直线

6、l1：axy40 和 l2：2xay10 若 l1l2，则 a_ 解析：因为 l1l2，则 2aa0，所以 a0. 答案：0 考点一 两直线的位置关系(基础型) 复习指导| 能根据斜率判定两条直线平行或垂直 核心素养 数学运算，逻辑推理 (一题多解)已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210. (1)当 l1l2时，求 a 的值； (2)当 l1l2时，求 a 的值 【解】 (1)法一：当 a1 时，l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于 l2； 当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于 l2； 当 a1 且 a0 时， 两直线方程可化为 l1： ya

7、2x3， l2： y11ax(a1)， 由 l1l2可得a211a，3(a1)，解得 a1. 综上可知，a1. 法二：由 l1l2知A1B2A2B10，A1C2A2C10， 即a(a1)120，a(a21)160a2a20，a(a21)6a1. (2)法一：当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1与 l2不垂直，故 a1 不符合； 当 a1 时，l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)， 由 l1l2，得a211a1a23. 法二：因为 l1l2，所以 A1A2B1B20， 即 a2(a1)0，得 a23. (1)两直线平行、垂直的判断方法 若已知两直线的斜率存在 两直线平行两直线的

8、斜率相等且在坐标轴上的截距不等 两直线垂直两直线的斜率之积等于1. 提醒 判断两条直线位置关系应注意： 1注意斜率不存在的特殊情况 2注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件 (2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略 在解这类问题时， 一定要“前思后想” “前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解 1(2020 天津静海区联考)“a1”是“直线 ax2y80 与直线 x(a1)y40平行”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A设直线 l1：ax2y

9、80，直线 l2：x(a1)y40.若 l1与 l2平行，则a(a1)20，即 a2a20，解得 a1 或 a2.当 a2 时，直线 l1的方程为2x2y80，即 xy40，直线 l2的方程为 xy40，此时两直线重合，则 a2.当 a1 时， 直线 l1的方程为 x2y80， 直线 l2的方程为 x2y40， 此时两直线平行 故“a1”是“直线 ax2y80 与直线 x(a1)y40 平行”的充要条件故选 A 2求满足下列条件的直线方程 (1)过点 P(1，3)且平行于直线 x2y30； (2)已知 A(1，2)，B(3，1)，线段 AB 的垂直平分线 解：(1)设直线方程为 x2yc0，把

10、 P(1，3)代入直线方程得 c7， 所以直线方程为 x2y70. (2)AB 中点为132，212，即2，32， 直线 AB 斜率 kAB211312， 故线段 AB 垂直平分线斜率 k2， 所以其方程为 y322(x2)，即 4x2y50. 考点二 两直线的交点与距离问题(基础型) 复习指导| 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离 核心素养：数学运算 角度一 两直线的交点与直线过定点 (1)对于任给的实数 m，直线(m1)x(2m1)ym5 都通过一定点，则该定点的坐标为( ) A(9，4) B(9，4)

11、C(9，4) D(9，4) (2)经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程为_ 【解析】 (1)(m1)x(2m1)ym5 即为 m(x2y1)(xy5)0，故此直线过直线 x2y10 和xy50 的交点 由x2y10，xy50得定点的坐标为(9， 4) 故选 A (2)由方程组x2y40，xy20，得x0，y2，即 P(0， 2) 因为 ll3， 所以直线 l 的斜率 k43，所以直线 l 的方程为 y243x，即 4x3y60. 【答案】 (1)A (2)4x3y60 角度二 三种距离问题 (1)已知点 P(1，1)

12、，A(1，0)，B(0，1)，则ABP 的面积为_ (2)若两平行直线 l1：x2ym0(m0)与 l2：2xny60 之间的距离是 5，则 mn_ 【解析】 (1)因为 A(1，0)，B(0，1)，所以|AB| 2，直线 AB 的方程为 xy10，则点 P(1，1)到直线 AB 的距离 d32，所以ABP 的面积为12 23232. (2)因为 l1，l2平行，所以 1n2(2)，1(6)2m，解得 n4，m3，所以直线 l2：x2y30.又 l1，l2之间的距离是 5，所以|m3|14 5，得 m2 或 m8(舍去)，所以 mn2. 【答案】 (1)32 (2)2 两种距离的求解思路 (1

13、)点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式 (2)两平行直线间的距离的求法 利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中 x，y 的系数化为相同的形式) 1与直线 l1：3x2y60 和直线 l2：6x4y30 等距离的直线方程是_ 解析：l2：6x4y30 化为 3x2y320， 所以 l1与 l2平行，设与 l1，l2等距离的直线 l 的方程为 3x2yc0， 则|c6|c32|， 解得 c154， 所以 l 的方程为 12x8y150. 答案：12x8

14、y150 2l1，l2是分别经过 A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当 l1，l2间的距离最大时，直线 l1的方程是_ 解析：当两条平行直线与 A，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大又 kAB11012，所以两条平行直线的斜率为 k12，所以直线 l1的方程是 y112(x1)，即 x2y30. 答案：x2y30 考点三 对称问题(综合型) 复习指导| 对称问题的核心是点关于直线的对称问题，要把握两点，点 M 与点 N 关于直线 l 对称，则线段 MN 的中点在直线 l 上，且直线 l 与直线 MN 垂直 已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)求： (1)点 A 关

15、于直线 l 的对称点 A的坐标； (2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程 【解】 (1)设 A(x，y)，由已知得y2x1231，2x123y2210， 解得x3313，y413.所以 A3313，413. (2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)， 则 M(2，0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上 设 M(a，b)，则2a223b0210，b0a2231. 解得 M613，3013. 设直线 m 与直线 l 的交点为 N， 则由2x3y10，3x2y60.得 N(4，3) 又因为 m经过点 N(4，3)， 所以由两点式得直线 m的方程为 9x46y102

16、0. 【迁移探究】 (变问法)在本例条件下，求直线 l 关于点 A(1，2) 对称的直线 l的方程 解：设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)， 因为 P在直线 l 上， 所以 2(2x)3(4y)10， 即 2x3y90. 1与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为_ 解析：设 A(x，y)为所求直线上的任意一点， 则 A(x，y)在直线 3x4y50 上，即 3x4(y)50，故所求直线方程为 3x4y50. 答案：3x4y50 2已知点 A(1，3)关于直线 ykxb 对称的点是 B(2，1)，则直线 ykxb 在 x

17、 轴上的截距是_ 解析：由题意得线段 AB 的中点12，2 在直线 ykxb 上，故23 k1，12kb2，解得 k32，b54，所以直线方程为 y32x54.令 y0，即32x540，解得 x56，故直线 ykxb 在 x 轴上的截距为56. 答案：56 基础题组练 1已知直线 ax2y20 与 3xy20 平行，则系数 a( ) A3 B6 C32 D23 解析：选 B由直线 ax2y20 与直线 3xy20 平行知，a23，a6. 2 已知直线 4xmy60 与直线 5x2yn0 垂直， 垂足为(t， 1)， 则 n 的值为( ) A7 B9 C11 D7 解析：选 A由直线 4xmy6

18、0 与直线 5x2yn0 垂直得，202m0，m10.直线 4x10y60 过点(t，1)，所以 4t1060，t1.点(1，1)又在直线 5x2yn0 上，所以52n0，n7. 3若点 P 在直线 3xy50 上，且 P 到直线 xy10 的距离为 2，则点 P 的坐标为( ) A(1，2) B(2，1) C(1，2)或(2，1) D(2，1)或(1，2) 解析：选 C设 P(x，53x)，则 d|x(53x)1|12(1)2 2，化简得|4x6|2， 即 4x6 2，解得 x1 或 x2， 故 P(1，2)或(2，1) 4直线 axy3a10 恒过定点 M，则直线 2x3y60 关于 M

19、点对称的直线方程为( ) A2x3y120 B2x3y120 C2x3y120 D2x3y120 解析：选 D由 axy3a10，可得 a(x3)(y1)0，令x30，y10，可得 x3，y1，所以 M(3，1)，M 不在直线 2x3y60 上，设直线 2x3y60 关于 M 点对称的直线方程为 2x3yc0(c6)，则|636|49|63c|49，解得 c12 或 c6(舍去)，所以所求方程为 2x3y120，故选 D 5直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的直线方程是( ) Ax2y30 Bx2y30 Cx2y10 Dx2y10 解析：选 A设所求直线上任意一点 P(x，y)，则 P

20、 关于 xy20 的对称点为 P(x0，y0)， 由xx02yy0220，xx0(yy0)得x0y2，y0 x2， 由点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上， 所以 2(y2)(x2)30，即 x2y30. 6过两直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为_ 解析：过两直线交点的直线系方程为 x3y4(2xy5)0，代入原点坐标，求得 45，故所求直线方程为 x3y445(2xy5)0，即 3x19y0. 答案：3x19y0 7已知直线 l1：axy3a40 和 l2：2x(a1)ya0，则原点到 l1的距离的最大值是_；若 l1l2，则 a_ 解析：直线 l1

21、：axy3a40 等价于 a(x3)y40，则直线过定点 A(3，4)，当原点到 l1的距离最大时， 满足 OAl1， 此时原点到 l1的距离的最大值为|OA|(3)2425. 若 a0，则两直线方程为 y40 和 2xy0，不满足直线平行； 若 a1，则两直线方程为 xy10 和 2x10，不满足直线平行； 当 a0 且 a1 时，若两直线平行，则a21a13a4a， 由a21a1得 a2a20，解得 a2 或 a1. 当 a2 时，a23a4a，舍去， 当 a1 时，a23a4a，成立，即 a1. 答案：5 1 8 已知点 A(1， 2)， B(3， 4) P 是 x 轴上一点， 且|PA

22、|PB|， 则PAB 的面积为_ 解析：设 AB 的中点坐标为 M(1，3)， kAB423(1)12， 所以 AB 的中垂线方程为 y32(x1) 即 2xy50.令 y0，则 x52， 即 P 点的坐标为(52，0)， |AB| (13)2(24)22 5. 点 P 到 AB 的距离为|PM|1522323 52. 所以 SPAB12|AB| |PM|122 53 52152. 答案：152 9已知两直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值 (1)l1l2，且直线 l1过点(3，1)； (2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 解：(1)

23、因为 l1l2， 所以 a(a1)b0. 又因为直线 l1过点(3，1)， 所以3ab40. 故 a2，b2. (2)因为直线 l2的斜率存在，l1l2， 所以直线 l1的斜率存在 所以ab1a. 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以 l1，l2在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb. 联立可得 a2，b2 或 a23，b2. 10已知ABC 的顶点 A(5，1)，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2xy50，AC边上的高 BH 所在直线方程为 x2y50，求直线 BC 的方程 解：依题意知：kAC2，A(5，1)， 所以 lAC的方程为 2xy110， 联立2xy110，2xy

24、50，得 C(4，3) 设 B(x0，y0)，则 AB 的中点 Mx052，y012， 代入 2xy50，得 2x0y010， 联立2x0y010，x02y050，得 B(1，3)， 所以 kBC65，所以直线 BC 的方程为 y365(x4)，即 6x5y90. 综合题组练 1 已知直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线， 若点 A， B 的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则点 C 的坐标为( ) A(2，4) B(2，4) C(2，4) D(2，4) 解析：选 C设 A(4，2)关于直线 y2x 的对称点为(x，y)，则y2x421，y2224x2，解 得x4，y2，所以BC所

25、在直线方程为y12143(x3)， 即3xy100.同理可得点B(3，1)关于直线 y2x 的对称点为(1，3)，所以 AC 所在直线方程为 y2321(4) (x4)，即 x3y100.联立得3xy100，x3y100，解得x2，y4，则 C(2，4)故选 C 2(创新型)(多选)定义点 P(x0，y0)到直线 l：axbyc0(a2b20)的有向距离为 dax0by0ca2b2.已知点 P1， P2到直线 l 的有向距离分别是 d1， d2.则以下命题不正确的是( ) A若 d1d21，则直线 P1P2与直线 l 平行 B若 d11，d21，则直线 P1P2与直线 l 垂直 C若 d1d2

26、0，则直线 P1P2与直线 l 垂直 D若 d1d20，则直线 P1P2与直线 l 相交 解析：选 BCD对于 A，若 d1d21，则 ax1by1cax2by2c a2b2，直线P1P2与直线 l 平行，正确； 对于 B，点 P1，P2在直线 l 的两侧且到直线 l 的距离相等，P1P 未必与 l 垂直，错误； 对于 C，若 d1d20，即 ax1by1cax2by2c0，则点 P1，P2都在直线 l 上，所以此时直线 P1P2与直线 l 重合，错误； 对于 D，若 d1d20，即(ax1by1c)(ax2by2c)0，所以点 P1，P2分别位于直线l 的两侧或在直线 l 上，所以直线 P1

27、P2与直线 l 相交或重合，错误 3设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA| |PB|的最大值是_ 解析：易知定点 A(0，0)，B(1，3)，且无论 m 取何值，两直线垂直 所以无论 P 与 A，B 重合与否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P 在以 AB 为直径的圆上) 所以|PA| |PB|12(|PA|2|PB|2)5. 当且仅当|PA|PB| 5时等号成立 答案：5 4.如图，已知 A(2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(1，0)，F(1，0)，一束光线从 F 点出发射到 BC 上的 D 点，经 B

28、C 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为_ 解析：从特殊位置考虑如图，因为点 A(2，0)关于直线 BC： xy2 的对称点为 A1(2，4)，所以 kA1F4.又点 E(1，0)关于直线 AC：yx2 的对称点为 E1(2，1)，点 E1(2，1)关于直线 BC：xy2 的对称点为 E2(1，4)，此时直线E2F 的斜率不存在，所以 kFDkA1F，即 kFD(4，) 答案：(4，) 5已知直线 l：xy30. (1)求点 A(2，1)关于直线 l：xy30 的对称点 A； (2)求直线 l1：x2y60 关于直线 l 的对称直线 l2的方

29、程 解：(1)设点 A(x，y)， 由题知y1x211，x22y1230，解得x2，y5， 所以 A(2，5) (2)在直线 l1上取一点，如 M(6，0)，则 M(6，0)关于直线 l 的对称点 M必在 l2上设对称点为 M(a，b)，则a62b0230，b0a611，解得 M(3，9)设 l1与 l 的交点为 N，则由xy30，x2y60，得 N(12，9)又因为 l2经过点 N(12，9)，所以直线 l2的方程为 y999312(x3)，即 2xy150. 6已知方程(2)x(1)y2(32)0 与点 P(2，2) (1)证明对任意的实数 ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标； (2)证明：该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 4 2. 解：(1)显然 2 与(1)不可能同时为零，故对任意的实数 ，该方程都表示直线 因为方程可变形为 2xy6(xy4)0， 所以2xy60，xy40，解得x2，y2， 故直线经过的定点为 M(2，2) (2)证明：过点 P 作直线的垂线段 PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当 Q与 M 重合时，|PQ|PM|， 此时对应的直线方程是 y2x2，即 xy40. 但直线系方程唯独不能表示直线 xy40， 所以 M 与 Q 不可能重合，即|PM|4 2， 所以|PQ|4 2，故所证成立