2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 教案.doc

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1、1 第五节第五节 函数函数 yAsin(x)的图象及三的图象及三角函数模型的简单应用角函数模型的简单应用 最新考纲 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数 A， 对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 1yAsin(x)的有关概念 yAsin(x)(A0， 0， x0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相 A T2 f1T2 x 2.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x 2 32 2 x 0 2 32 2 yAsin(x) 0 A 0 A 0 3

2、.由 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(其中 A0，0)的图象 常用结论 1函数 yAsin(x)k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减” 2 2由 ysin x 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非 个单位长度 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致( ) (2)将 y3sin 2x 的图象左移4个单位后所得图象的解析式是 y3sin2x4.( ) (3)ysinx4的图象是由 ysinx4的图象向右平移2个单位得到的( ) (4)函数 yAcos(x)的最小正周期为

3、 T， 那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1y2sin12x3的振幅、频率和初相分别为( ) A2，4，3 B2，14，3 C2，14，3 D2，4，3 C 由题意知 A2，f1T214，初相为3. 2 为了得到函数 y2sin(2x3)的图象， 可以将函数 y2sin 2x 的图象( ) A向右平移6个单位长度 B向右平移3个单位长度 C向左平移6个单位长度 3 D向左平移3个单位长度 A y2sin(2x3)2sin 2(x6) 3 如图， 某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x)b，则这段

4、曲线的函数解析式为_ y10sin(8x34)20，x6，14 从图中可以看出，从 614 时的是函数 yAsin(x)b 的半个周期 所以 A12(3010)10，b12(3010)20， 又122146，所以 8. 又81022k，kZ，取 34， 所以 y10sin(8x34)20，x6，14 4某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现下表是今年前四个月的统计情况： 月份 x 1 2 3 4 收购价格 y(元/斤) 6 7 6 5 选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为_ y6cos2x 设 yAsin(x)B(A0，0)，由题意

5、得 A1，B6，T4，因为 T2，所以 2，所以 ysin(2x)6.因为当 x1 时，y6，所以 6sin(2)6，结合表中数据得22k，kZ，可取 2，所以 ysin(2x2)66cos 2x. 4 考点 1 函数 yAsin(x)的图象及变换 (1)yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换 zx 计算五点坐标 (2)由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 已知函数 y2sin(2x3) (1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (2)一题多解说明 y2sin(2x3)的图象可由 ysin x

6、的图象经过怎样的变换而得到 解 (1)描点画出图象，如图所示： (2)法一： 把 ysin x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度， 得到 ysin(x3)的图象； 再把 ysin(x3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin(2x3)的图象； 最后把 ysin(2x3)上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin(2x3)的图象 法二：将 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin 2x 的图象； 再将 ysin 2x 的图象向左平移6个单位长度，得到 ysin2(x6)sin(2x5 3

7、)的图象； 再将 ysin(2x3)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变)，即得到 y2sin(2x3)的图象 三角函数图象变换中的 3 个注意点 (1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数 (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向 (3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数 yAsin x 到 yAsin(x)的变换量是|个单位， 而函数 yAsin x 到 yAsin(x)时， 变换量是个单位 1.要得到函数 ysin5x4的图象，只需将函数 ycos 5x 的图象( ) A向左平移32

8、0个单位 B向右平移320个单位 C向左平移34个单位 D向右平移34个单位 B 函数 ycos 5xsin5x2sin 5x10， ysin5x4sin 5x20，设平移 个单位， 则1020， 解得 320，故把函数 ycos 5x 的图象向右平移320个单位，可得函数 ysin5x4的图象 6 2若把函数 ysin(x6)的图象向左平移3个单位长度，所得到的图象与函数 ycos x 的图象重合，则 的一个可能取值是( ) A2 B.32 C.23 D.12 A ysin(x36)和函数 ycos x 的图象重合， 可得3622k，kZ，则 6k2，kZ. 2 是 的一个可能值 3 将函数

9、 f(x)sin4x3的图象向左平移 (0)个单位后， 得到的图象关于直线 x12对称，则 的最小值为_ 524 把函数 f(x)sin4x3的图象向左平移 (0)个单位后， 可得 ysin4（x）3sin4x43的图象， 所得图象关于直线 x12对称， 412432k(kZ)， k424(kZ)， 0，min524. 考点 2 由图象确定 yAsin(x)的解析式 确定 yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步骤 (1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm2，BMm2. (2)求 ，确定函数的周期 T，则 2T. (3)求 ，常用方法有： 代入法：把图象上的一个已知点

10、代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具7 体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为 x2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 x； “第四点”(即图象的“谷点”)为 x32；“第五点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 x2. (1)函数 f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则 f(x)_ (2)(2019 重庆六校联考)函数 f(x)Asin(x)(A， 是常数，A0，0，02)的部分图象如图所示，则 f(3)_ (1)2

11、sin(2x6) (2)62 (1)由题图可知，A2，T23(6)，所以2，由五点作图法可知 232，所以 6，所以函数的解析式为 y2sin(2x6) (2)由函数的图象可得 A 2，1427123，可得 2，则 232k(kZ)， 又 02， 所以 3， 故 f(x) 2sin(2x3)， 所以 f(3)62. 一般情况下， 的值是唯一确定的，但 的值是不确定的，它有无数个，如果求出的 的值不在指定范围内，可以通过加减2的整数倍达到目的 1.(2019 开封模拟)如果存在正整数 和实数 使得函数 f(x)sin2(x)的图象如图所示(图象经过点(1，0)，那么 的值为( ) A1 B2 8

12、 C3 D4 B 因为 f(x)sin2(x)1212cos 2(x)，所以函数 f(x)的最小正周期T22，由题图知T21，且3T41，即43T2，又 为正整数，所以 的值为 2，故选 B. 2.(2019 合肥模拟)函数 f(x)Asin(x)(A0，|2)的图象如图所示，则下列说法正确的是( ) A在区间76，136上单调递减 B在区间712，1312上单调递增 C在区间712，1312上单调递减 D在区间76，136上单调递增 B 由题意得，A2，T4(312)，故 22.当 x12时取得最大值 2，所以 22sin(212)，且|2，所以 3，所以函数的解析式为 f(x)2sin(2

13、x3)当 x712，1312时，2x332，52，又由正弦函数 ysin x 的图象与性质可知，函数 ysin x 在32，52上单调递增，故函数 f(x)在712，1312上单调递增当 x76，136时，2x383，143，由函数 ysin x 的图象与性质知此区间上不单调，故选 B. 3.已知函数 f(x)sin(x)(|2)的部分图象如图所示，且 f(0)12，则图中 m 的值为_ 43 因为 f(0)sin 12，且|2，所以 6，所以 f(x)sin(x6)，所以 f(m)sin(m6)12， 所以 m62k76， kZ， 所以 m2k43， kZ.9 又周期 T2，所以 0m2，所

14、以 m43. 考点 3 三角函数图象与性质的综合应用 函数零点(方程根)问题 已知关于 x 的方程 2sin2x 3sin 2xm10 在(2，)上有两个不同的实数根，则 m 的取值范围是_ (2，1) 方程 2sin2x 3sin 2xm10 可转化为 m12sin2x 3sin 2xcos 2x 3sin 2x 2sin(2x6)，x(2，) 设 2x6t，则 t(76，136)， 所以题目条件可转化为m2sin t，t(76，136)有两个不同的实数根 所以 y1m2和 y2sin t，t(76，136)的图象有两个不同交点，如图： 由图象观察知，m2的取值范围是(1，12)， 故 m

15、的取值范围是(2，1) 母题探究 (变条件)将本例中“有两个不同的实数根”改为“有实根” ，则m 的取值范围为_ 2，1) 由例题可知，m21，12)， 2m1，即 m 的取值范围为2，1) 三角函数的零点问题可转化为两个函数图象的交点问题 三角函数图象与性质的综合问题 已知函数 f(x) 3sin(2x3)(0)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为2. 10 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经过点(3，0)，求当 m 取得最小值时，g(x)在6，712上的单调递增区间 解 (1)函数 f(x)的图象与 x

16、轴相邻两个交点的距离为2， 得函数 f(x)的最小正周期为 T2222，得 1， 故函数 f(x)的解析式为 f(x) 3sin(2x3) (2)将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x) 3sin2(xm)3 3sin(2x2m3)的图象，根据 g(x)的图象恰好经过点(3，0)， 可得 3sin(232m3)0，即 sin(2m3)0， 所以 2m3k(kZ)，mk26(kZ)， 因为 m0， 所以当 k0 时，m 取得最小值，且最小值为6. 此时，g(x) 3sin(2x23) 因为 x6，712，所以 2x233，116 当 2x233，2，即 x6，12时，g

17、(x)单调递增， 当 2x2332，116，即 x512，712时，g(x)单调递增 综上，g(x)在区间6，712上的单调递增区间是6，12和512，712 研究 yAsin(x)的性质时可将 x 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题 1.(2019 天津高考)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x)若 g(x)的最小正周期为 2，且 g(4) 2，则 f(38)11 ( ) A2 B 2 C. 2 D2 C f(x)Asin(x)为奇函数， k，kZ，又|，0，

18、f(x)Asin x，则 g(x)Asin(2x)由 g(x)的最小正周期 T2，得22T1，2.又 g(4)Asin 422A 2，A2， f(x)2sin 2x，f(38)2sin 34 2，故选 C. 2(2019 全国卷)设函数 f(x)sinx5(0)，已知 f(x)在0，2有且仅有 5 个零点下述四个结论： f(x)在(0，2)有且仅有 3 个极大值点；f(x)在(0，2)有且仅有 2 个极小值点；f(x)在0，10单调递增； 的取值范围是125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D D 如图，根据题意知，xA2xB，根据图象可知函数 f(x)在(0，2)有且

19、仅有 3 个极大值点，所以正确；但可能会有 3 个极小值点，所以错误；根据xA2xB，有2452295，得1252910，所以正确；当 x0，10时，5x5105， 因为1252910， 所以105491002， 所以函数 f(x)在0，10单调递增，所以正确 课外素养提升 逻辑推理与数学运算三角函数中 的确定方法 数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式 运算和推理贯穿于探究数12 学问题的始终，可交替使用，相辅相成. 三角函数的周期 T 与 的关系 【例 1】 为了使函数 ysin x(0)在区间0， 1上至少出现 5

20、0 次最大值，则 的最小值为( ) A98 B.1972 C.1992 D100 B 由题意，至少出现 50 次最大值即至少需用 4914个周期，所以1974T197421，所以 1972. 评析 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期 T2与所给区间的关系，从而建立不等关系 三角函数的单调性与 的关系 【例 2】 若 f(x)2sin x(0)在区间2，23上是增函数，则 的取值范围是_ (0，34 法一：因为 x2，23(0)， 所以 x2，23， 因为 f(x)2sin x 在2，23上是增函数， 所以22，232，0， 故 034. 法二：画出函数 f(x)2sin x(0)的图象如图

21、所示 13 要使 f(x)在2，23上是增函数，需22，232(0)， 即 034. 法三：由22kx22k(kZ)得 22kx22k(kZ)， 故 f(x)的单调递增区间是22k，22k(kZ)， 由题意2，2322k，22k(kZ，0)， 从而有22，223，即 034. 评析 根据正弦函数的单调递增区间，确定函数 f(x)的单调递增区间，根据函数 f(x)2sin x(0)在区间2，23上单调递增，建立不等式，即可求 的取值范围 【例 3】 (1)已知 f(x)sin xcos x(23)，若函数 f(x)图象的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间(，2)，则 的取值范围是_

22、(结果用区间表示) (2)已知函数 f(x)2sin x 在区间3，4上的最小值为2，则 的取值范围是_ (1)34，78 (2)|2或32 (1)f(x)sin xcos x 2sin(x4)， 令 x42k(kZ)，解得 x34k(kZ) 14 当 k0 时，34，即34， 当 k1 时，342，即 78. 综上，3478. (2)显然 0，分两种情况： 若 0，当 x3，4时，3x4. 因函数 f(x)2sin x 在区间3，4上的最小值为2，所以32，解得 32. 若 0，当 x3，4时，4x3， 因函数 f(x)2sin x 在区间3，4上的最小值为2，所以42，解得2. 综上所述，符合条件的实数 2 或 32. 评析 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何