高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：6.2 一元二次不等式及其解法 Word版含答案.doc

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1、淘宝店铺：漫兮教育第二节一元二次不等式及其解法不等式的解法(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图知识点一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集二次函数yax2bxc的图象、一元二次方程ax2bxc0的根与一元二次不等式ax2bxc>0与ax2bxc<0的解集的关系，可归纳为：判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根xx1或xx2有两相同实根xx1x2无实根一元二次不

2、等式的解集ax2bxc0(a0)x|xx1或xx2x|xx1 ax2bxRax2bxc0(a0)x|x1xx2若a0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解易误提醒1对于不等式ax2bxc>0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当<0时，ax2bxc>0(a0)的解集为R还是，要注意区别3不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述自测练习1不等式组的解集是()A(2,3)B.(2,3)C.(3，) D(，1)(2，)解析：x24x3<0，1<x<3.又2x27x6>0，(x2)(2x3)>0，x<或x>2，原不等式组的解集为(2,3)

3、答案：B2设二次不等式ax2bx1>0的解集为，则ab的值为()A6 B5C6 D5解析：由题意知，方程ax2bx10的两根为1，则有解得ab6，故选C.答案：C3若(m1)x2(m1)x3(m1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A(1，)B(，1)C.D.(1，)解析：m1时，不等式为2x6<0，即x<3，不合题意m1时，解得m<.答案：C考点一一元二次不等式的解法|1不等式x23x4>0的解集为_(用区间表示)解析：x23x4>0(x4)(x1)<04<x<1.答案：(4,1)2设函数f(x)则不等式f(x)>

4、;f(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析：由题意知f(1)3，故原不等式可化为或解得3<x<1或x>3，所以原不等式的解集为(3,1)(3，)，故选A.答案：A3(2016·西安模拟)若不等式ax2bxc>0的解集为x|1<x<2，那么不等式a(x21)b(x1)c>2ax的解集为()Ax|2<x<1 Bx|x<2或x>1Cx|0<x<3 Dx|x<0或x>3解析：由题意a(x21)b(x1)c>2ax，整理得ax2(b2

5、a)x(acb)>0，又不等式ax2bxc>0的解集为x|1<x<2，则a<0，且1,2分别为方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系得即，将两边同除以a得x2x<0，将代入得x23x<0，解得0<x<3，故选C.答案：C解一元二次不等式的四个步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集考点二一元二次不等式恒成立问题|一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决

6、具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围归纳起来常见的命题探究角度有：1形如f(x)0(xR)确定参数的范围2形如f(x)0(xa，b)确定参数范围探究一形如f(x)0(xR)确定参数的范围1(2016·武汉调研)若一元二次不等式2kx2kx<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0)B3,0C3,0) D(3,0解析：本题考查一元二次不等式的解法结合二次函数图象求解由题意可得解得3<k<0，故选A.答案：A2(2016

7、83;洛阳期末)若关于x的不等式ax2|x|2a<0的解集为空集，则实数a的取值范围为_解析：当a0时，不等式为|x|<0，解集不为空集当a0时，由题意知a>0，令t|x|，则原不等式等价于at2t2a<0(t0)，所以a<(t0)，根据题意知amax(t0)而，所以a.答案：探究二形如f(x)0，xa，b确定参数范围3已知当x(0，)时，不等式9xm·3xm1>0恒成立，则实数m的取值范围是_解析：令3xt，则当x(0，)时，t(1，)，记f(t)t2mtm1(t(1，)，则由题意得f(t)t2mtm1(t(1，)的图象恒在x轴的上方，可得(m)

8、24(m1)<0或解得m<22.答案：(，22)恒成立问题的两个求解策略(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方考点三一元二次不等式的实际应用|甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得利润是100元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该

9、选取何种生产速度？并求最大利润解(1)根据题意，2003 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10(2)设利润为y元，则y·1009×1049×104，故x6时，ymax457 500元即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元不等式实际应用问题的求解策略不等式的实际应用，常以函数模型为载体，解题时要理清题意，准确找出其中的不等关系，引进数学符号恰当表示，最后用不等式的解回答实际问题某汽车厂上年度生产汽车的投

10、入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)×年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)×10 000×(10.6x)(0<x<1)，整理得y6 000x22

11、 000x20 000(0<x<1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0<x<，所以投入成本增加的比例应在范围内.19.转化与化归思想在不等式中的应用【典例】(1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_(2)已知函数f(x)，若对任意x1，)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是_思维点拨(1)考虑“三个二次”间的关系；(2)将恒成立问题转化为最值问题求解解析(1)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x

12、)<c.2<c，即<x<.，得26，c9.(2)x1，)时，f(x)>0恒成立，即x22xa>0恒成立即当x1时，a>(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)3，故a>3.实数a的取值范围是a|a>3答案(1)9(2)a|a>3方法点评(1)本题充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题(2)注意函数f(x)的值域为0，)与f(x)0的区别A组考点能力演练1关于x的不等式x2px2<0的解集是

13、(q,1)，则pq的值为()A2B1C1 D2解析：依题意得q,1是方程x2px20的两根，q1p，即pq1，选B.答案：B2(2016·郑州模拟)已知不等式ax25xb>0的解集为x|3<x<2，则不等式bx25xa>0的解集是()A.B.C.D.解析：本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系由题意得方程ax25xb0的两根分别为3,2，于是于是不等式bx25xa>0即为30x25x5>0，即(3x1)(2x1)>0x<或x>.答案：C3已知集合Ax|x22x3>0，Bx|x2axb0，若ABR，AB(3,4，则有(

14、)Aa3，b4 Ba3，b4Ca3，b4 Da3，b4解析：由题意得集合Ax|x<1或x>3，又ABR，AB(3,4，所以集合B为x|1x4，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a3，b4.易知Ax|x<1或x>3，又AB(3,4，可得4为方程x2axb0的一个根，则有164ab0，经验证可知选项D正确答案：D4(2015·重庆二诊)已知不等式ax2bxc>0的解集为，对于系数a，b，c有如下结论：a>0；b>0；c>0；abc>0；abc>0，其中正确结论的个数是()A1 B2C3 D4解析：因为不等式ax2bxc&

15、gt;0的解集为，则相对应的二次函数f(x)ax2bxc的图象开口向下，所以a<0,2和是方程ax2bcc0的两个根，则有1<0，>0，故b>0，c>0，且f(1)abc>0，f(1)abc<0，故选C.答案：C5(2015·皖南八校联考)不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A1,4B(，25，)C(，14，)D2,5解析：x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.答案：A6(2016·福州质检)已知关于x的不等式<0的解集是(，1

16、)，则a_.解析：由不等式可得a0，且不等式等价于a(x1)<0，由解集特点可得a<0，且，所以a2.答案：27在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)<0的实数x的取值范围为_解析：根据定义可知，x(x2)x(x2)2x(x2)x2x2<0，解得2<x<1，所以实数x的取值范围为(2,1)答案：(2,1)8对于任意a1,1，f(x)x2(a4)x42a的值恒大于0，那么x取值范围是_解析：令g(a)x2(a4)x42a(x2)ax24x4，由题意知g(1)>0且g(1)>0，解得x<1或x>3.答案：(，1)(3，)9已知f

17、(x)3x2a(6a)xb.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>0的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(1)>0，3a(6a)b>0.即a26a3b<0.(6)24(3b)244b.当0，即b6时，原不等式的解集为.当>0，即b>6时，方程a26a3b0有两根a13，a23，不等式的解集为(3，3)综上所述：当b6时，原不等式的解集为；当b>6时，原不等式的解集为(3，3)(2)由f(x)>0，得3x2a(6a)xb>0，即3x2a(6a)xb<0.它的解集为(1,3)，1与3是方程3x2a(

18、6a)xb0的两根解得或10(2015·攀枝花二模)已知函数f(x)为奇函数(1)证明：函数f(x)在区间(1，)上是减函数；(2)解关于x的不等式f(12x2)f(x22x4)>0.解：(1)证明：函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0，即b0，f(x)(经检验满足题意)，f(x).当x(1，)时，f(x)<0，函数f(x)在区间(1，)上是减函数(2)由f(12x2)f(x22x4)>0，得f(12x2)>f(x22x4)f(x)是奇函数，f(12x2)>f(x22x4)又12x2>1，x22x4(x1)23>1，且f(x)在(1，

19、)上为减函数，12x2<x22x4，即x22x3<0，解得3<x<1.不等式f(12x2)f(x22x4)>0的解集为x|3<x<1B组高考题型专练1(2013·高考大纲全国卷)不等式|x22|<2的解集是()A(1,1) B(2,2)C(1,0)(0,1) D(2,0)(0,2)解析：由|x22|<2得2<x22<2，即0<x2<4，所以2<x<0或0<x<2.答案：D2(2013·高考重庆卷)关于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)

20、，且x2x115，则a()A. B.C. D.解析：由条件知x1，x2为方程x22ax8a20的两根，则x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24×(8a2)36a2152，得a.答案：A3(2013·高考安徽卷)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为()Ax|x<1或x>lg 2Bx|1<x<lg 2Cx|x>lg 2Dx|x<lg 2解析：因为一元二次不等式f(x)<0的解集为，所以可设f(x)a(x1)·(a<0)，由f(10x)>0可得(10x1)·<0，即10x<，x<lg 2.答案：D4(2015·高考江苏卷)不等式2x2x<4的解集为_解析：不等式2x2x<4x2x<21<x<2，故原不等式的解集为(1,2)答案：(1,2)5(2013·高考重庆卷)设0，不等式8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，则的取值范围为_解析：由题意，要使8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，需64sin2 32cos 20，化简得cos 2.又0，02或22，解得0或.答案：