高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：3.6 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换 Word版含答案_20210103224747.doc

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1、淘宝店铺：漫兮教育第六节简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)知识点一半角公式1用cos 表示sin2 ，cos2 ，tan2 .sin2；cos2 ；tan2 .2用cos 表示sin ，cos ，tan .sin ± ；cos ± ；tan ± .3用sin ，cos 表示tan .tan .易误提醒应用“sin± ”或“cos± ”求值时，可由所在象限确定该三角函数值的符号易混淆由决定必记结论用tan 表示sin 2与cos 2sin 22sin

2、 cos ；cos 2cos2sin2.自测练习1已知cos ，<<3，那么sin()A.BC. D解析：<<3，<<.sin.答案：D知识点二辅助角公式asin bcos sin().易误提醒在使用辅助角公式易忽视的取值，应由点(a，b)所在象限决定，当在第一、二象限时，一般取最小正角，当在第三、四象限时，一般取负角自测练习2函数f(x)sin 2xcos 2x的最小正周期为()AB.C2 D.解析：f(x)sin 2xcos 2xsin，T.答案：A3函数f(x)sin xcos的值域为()A2,2 B，C1,1 D.解析：f(x)sin xcossin

3、 xcos xcossin xsinsin xcos xsin xsin(xR)，f(x)的值域为，答案：B考点一三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1tan 10°)；(2).解：(1)sin 50°(1tan 10°)sin 50°(1tan 60°tan 10°)sin 50°·sin 50°·1.(2)原式cos 2x.考点二辅助角公式的应用|(1)函数ysin 2x2 sin2x的最小正周期T为_解析ysin 2x2sin2xsin 2xcos 2x2sin(2x)

4、，所以该函数的最小正周期T.答案(2)设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.解析f(x)sin x2cos xsin(x)，其中sin ，cos ，当x2k(kZ)时函数f(x)取到最大值，即2k时函数f(x)取到最大值，所以cos sin .答案(1)利用asin xbcos xsin(x)把形如yasin xbcos xk的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等(2)化asin xbcos xsin(x)时的求法：tan ；所在象限由(a，b)点确定已知函数f(x)2sin xsin.求函数f(x)的最小正周期

5、和单调递增区间解：f(x)2sin x×sin 2xsin.函数f(x)的最小正周期为T.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.考点三三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1三角恒等变换与三角函数性质的综合2三角恒等变换与三角形的综合3三角恒等变换与向量的综合探究一三角恒等变换与三角函数性质的综合1已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f，求cos的值解：(1)因为f(

6、x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又f(x)的图象关于直线x对称，所以2×k，k0，±1，±2，.因为<，所以k0，所以.(2)由(1)得fsin，所以sin.由<<，得0<<，所以cos.因此cossin sinsincoscossin××.探究二三角恒等变换与三角形的结合2(2016·台州模拟)已知实数x0，x0是函数f(x)2cos2xsin(>0)的相邻的两个零点(1)求的值；(2)设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若f(A)且，试判断

7、ABC的形状，并说明理由解：(1)f(x)1cos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2x1sin1，由题意得T，.1.(2)由(1)得f(x)sin1，f(A)sin1，即sin.0<A<，<2A<，2A，即A.由得，所以cos Bcos C2cos A1，又因为BC，所以cos Bcos1，即sin1，所以BC.综上，ABC是等边三角形探究三三角恒等变换与向量的综合3(2015·合肥模拟)已知向量a，b(3,0)，其中，若a·b1.(1)求sin 的值；(2)求tan 2的值解：(1)由已知得：cos，sin，sin sinsinc

8、oscos·sin.(2)由cos得sin cos ，两边平方得：12sin cos ，即sin 2，而cos 212sin2，tan 2.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为yAsin(x)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题 5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】(12分)(2015·高考山东卷)设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值思路点拨(1)首

9、先利用二倍角公式及诱导公式将f(x)的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f(x)的单调区间(2)首先求出角A的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出ABC面积的最大值规范解答(1)由题意知f(x)sin 2x.(3分)由2k2x2k，kZ，可得kxk， kZ；(4分)由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；(5分)单调递减区间是(kZ)(6分)(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.(8分)由余弦定理a2b2c22bccos A，(9分)可得1bcb2c22bc，

10、(10分)即bc2，且当bc时等号成立因此bcsin A.(11分)所以ABC面积的最大值为.(12分)模板形成跟踪练习已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)已知ABC为锐角三角形，A，且f(B)，求cos 2B的值解：(1)由f(x)2sin xcos x2cos2x1得f(x)sin 2xcos 2x2sin.所以函数f(x)的最小正周期为.因为f(x)2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)1，f2，f1，所以f(x)在区间上的最大值为2，最小值为1.(2)因为ABC为锐角三角形，且A6

11、0°，所以即B，所以2B.由(1)可知f(B)2sin，即sin，cos，所以cos 2Bcoscoscossinsin.A组考点能力演练1(2015·洛阳统考)已知sin 2，则cos2()A BC. D.解析：cos2，cos2.答案：D2已知2sin 3cos 0，则tan 2()A. B.C. D.解析：2sin 3cos 0，tan ，tan 2.答案：B3sin 2，0<<，则cos的值为()A. BC. D±解析：因为sin 2cos2cos21，所以cos±，因为sin 2，所以cos±，因为0<<，所以

12、<<，所以cos.答案：C4(2015·太原一模)设ABC的三个内角分别为A，B，C，且tan A，tan B，tan C,2tan B成等差数列，则cos(BA)()A BC. D.解析：由题意得tan Ctan B，tan Atan B，所以ABC为锐角三角形又tan Atan(CB)tan B，所以tan B2，tan A1，所以tan(BA).因为B>A，所以cos(BA)，故选D.答案：D5若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A. BC. D解析：依题意得3(cos2sin2)(cos sin )，cos sin ，(cos sin )22，即

13、1sin 2，sin 2，故选D.答案：D6计算_.解析：.答案：7化简sin2sin2sin2的结果是_解析：法一：原式sin21sin21cos 2·cossin21.法二：令0，则原式.答案：8设sin 2sin ，则tan 2的值是_解析：sin 22sin cos sin ，cos ，又，sin ，tan ，tan 2.答案：9设函数f(x)sin xsin，xR.(1)若，求f(x)的最大值及相应x的集合；(2)若x是f(x)的一个零点，且0<<10，求的值和f(x)的最小正周期解：由已知：f(x)sin xcos xsin.(1)若，则f(x)sin.又xR

14、，则sin，f(x)max，此时x2k，kZ，即x.(2)x是函数f(x)的一个零点，sin0，k，kZ，又0<<10，2，f(x)sin，此时其最小正周期为.10(2016·沈阳模拟)已知函数f(x)sin xcos x2，记函数f(x)的最小正周期为，向量a(2，cos )，b，且a·b.(1)求f(x)在区间上的最值；(2)求的值解：(1)f(x)sin xcos x22sin2，x，x，f(x)的最大值是4，最小值是2.(2)2，a·b2cos tan()2sin ，sin ，2cos 2.B组高考题型专练1(2015·高考北京卷)已

15、知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值解：(1)因为f(x)sin x(1cos x)sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.2(2013·高考陕西卷)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：f(x)·(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcossin 2xsin

16、cos 2xsin.(1)f(x)的最小正周期T，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(0)，当2x，即x时，f，f(x)的最小值为.因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是.3(2014·高考天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acb.sin Bsin C.(1)求cos A的值；(2)求cos的值解：(1)在ABC中，由，及sin Bsin C，可得bc.又由acb，有a2c.所以cos A.(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.于是，cos 2A2cos2A1，sin 2A2sin A·cos A.所以coscos 2A·cossin 2A·sin.