2022届高三数学一轮复习（原卷版）第三节 直线、平面平行的判定与性质 教案.doc

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1、 1 第三节第三节 直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.结合立体几何的定义、公理，会推导直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性质结合立体几何的定义、公理，会推导直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性质定理，凸显逻辑推理的核心素养定理，凸显逻辑推理的核心素养 2 常与求几何体的体积计算相结合， 会应用直线和平面平行、 平面和平面平行的判定定理、 常与求几何体的体积计算相结合， 会应用直线和平面平行、 平面和平面平行的判定定理、性质定理证明空间的线、面平行关系，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养性质定理证明空间的线、

2、面平行关系，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养 理清主理清主干知识干知识 1直线与平面平行直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义直线与平面平行的定义 直线直线 l 与平面与平面 没有公共点，则称直线没有公共点，则称直线 l 与平面与平面 平行平行 (2)判定定理与性质定理判定定理与性质定理 文字语言文字语言 图形表示图形表示 符号表示符号表示 判定定理判定定理 平面外平面外一条直线与此平面一条直线与此平面内的一条直线内的一条直线平行，则该平行，则该直线平行于此平面直线平行于此平面 a ，b， ab a 性质定理性质定理 一条直线和一个平面平一条直线和一个平面平行，则过行，则过这条直线的任一这

3、条直线的任一平面与此平面的平面与此平面的交线交线与该与该直线平行直线平行 a，a， bab 2.平面与平面平行平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面没有公共点的两个平面叫做平行平面 (2)判定定理与性质定理判定定理与性质定理 文字语言文字语言 图形表示图形表示 符号表示符号表示 判定定理判定定理 一个平面内的两条一个平面内的两条相交直线相交直线与另一个平面平行，则这两与另一个平面平行，则这两个平面平行个平面平行 a，b， abP， a， b 性质定理性质定理 两个平面平行，则其中一个两个平面平行，则其中一个平面内的直线平面内的直线平行平

4、行于另一个于另一个平面平面 ，a a 2 如果两个平行平面同时和第如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的三个平面相交，那么它们的交线交线平行平行 ，a，bab 3.谨记两个结论谨记两个结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则，则 . (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若平行于同一平面的两个平面平行，即若 ，则，则 . 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关键点练明一、关键点练明 1(直线与平面直线与平面平行的定义平行的定义)如果直线如果直线 a平面平面 ，那么直线，那么直线 a 与平面与平面 内的内的( ) A一条直线不相交一条直

5、线不相交 B两条直线不相交两条直线不相交 C无数条直线不相交无数条直线不相交 D任意一条直线都不相交任意一条直线都不相交 解析：解析：选选 D 因为因为 a平面平面 ，直线，直线 a 与平面与平面 无公共点，因此无公共点，因此 a 和平面和平面 内的任意一条直内的任意一条直线都不相交，故选线都不相交，故选 D. 2(面面平行的判定定理面面平行的判定定理)设设 ， 是两个不同的平面，是两个不同的平面，m 是一条直线且是一条直线且 m，“m”是是“”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析

6、：选选 B 当当 m 时，过时，过 m 的平面的平面 与与 可能平行也可能相可能平行也可能相交，因而交，因而 m；当；当 时，时， 内任一直线与内任一直线与 平行，因为平行，因为 m，所以，所以 m.综上知，综上知，“m”是是“”的的必要不充分条件必要不充分条件 3(平行关系的判定平行关系的判定)已知已知 m，n 是两条不同的直线，是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命是三个不同的平面，则下列命题中正确的是题中正确的是( ) Am，n，则，则 mn Bmn，m，则，则 n Cm，m，则，则 D，则，则 解析：解析：选选 C A 中，中，m 与与 n 平行、相交或异面，平行、相交或异面，

7、A 不正确；不正确；B 中，中，n 或或 n，B 不正确；不正确；根据线面垂直的性质，根据线面垂直的性质，C 正确；正确；D 中，中， 或或 与与 相交，相交，D 不正确不正确 4(面面平行的性质定理面面平行的性质定理)设设 ， 是三个不同的平面，是三个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，有下列是两条不同的直线，有下列三个条件：三个条件： a，b；a，b；b，a. 如果命题如果命题“a，b，且，且_，则，则 ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件为真命题，则可以在横线处填入的条件是是_(填序号填序号) 解析：解析：由面面平行的性质定理可知，由面面平行的性质定理可知，正确；当正确；当 b，a

8、 时，时，a 和和 b 在同一平面内，且在同一平面内，且没有公共点，所以平行，没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为正确故应填入的条件为或或. 答案：答案：或或 3 二、易错点练清二、易错点练清 1(忽视面面平行的条件忽视面面平行的条件)下列条件中，能判断两个平面平行的是下列条件中，能判断两个平面平行的是( ) A一个平面内的一条直线平行于另一个平面一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面一个平面

9、内任何一条直线都平行于另一个平面 解析：解析：选选 D 由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行故可知个平面平行，那么这两个平面平行故可知 D 符合符合 2(对空间平行关系相互转化的条件理解不到位对空间平行关系相互转化的条件理解不到位)设设 m，l 表示两条不同的直线，表示两条不同的直线， 表示平面，表示平面，若若 m，则，则“l”是是“lm”的的_条件条件 解析：解析：由由 m，l 不能推出不能推出 lm；由；由 m，lm 也不也不能推出能推出 l，所以是既不充分，所以是

10、既不充分也不必要条件也不必要条件 答案：答案：既不充分也不必要既不充分也不必要 3(忽视线面平行的条件忽视线面平行的条件)(1)若直线若直线 a 与平面与平面 内无数条直线平行，则内无数条直线平行，则 a 与与 的位置关系是的位置关系是_ (2)已知直线已知直线 a，b 和平面和平面 ，若，若 a，b，a，b，则，则 ， 的位置关系是的位置关系是_ (3)若若 ，直线，直线 a，则，则 a 与与 的位置关系是的位置关系是_ 解析：解析：(1)由直线与平面平行的判定定理知，由直线与平面平行的判定定理知，a 可能平行于可能平行于 ，也可能在，也可能在 内内 (2)当当 a，b 相交时，相交时，；当

11、；当 a，b 平行时，平行时， 平行或相交平行或相交 (3)当当 a 在在 外时，外时，a；当；当 a 在在 内时，内时，a 也成立也成立 答案：答案：(1)a 或或 a (2)平行或相交平行或相交 (3)a 或或 a 考点一考点一 直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质 考法考法(一一) 线面平行的判定线面平行的判定 例例 1如图所示，在空间几何体如图所示，在空间几何体 ABCDFE 中，四边形中，四边形 ADFE 是梯形，且是梯形，且EFAD，P，Q 分分别为棱别为棱 BE，DF 的中点求证：的中点求证：PQ平面平面 ABCD. 证明证明 法一：法一：如图，取如图，取 AE

12、的中点的中点 G，连接，连接 PG，QG. 在在ABE 中，中，PBPE，AGGE，所以，所以 PGBA， 又又 PG 平面平面 ABCD，BA平面平面 ABCD， 所以所以 PG平面平面 ABCD. 在梯形在梯形 ADFE 中，中，DQQF，AGGE， 所以所以 GQAD， 又又 GQ 平面平面 ABCD，AD平面平面 ABCD， 4 所以所以 GQ平面平面 ABCD. 因为因为 PGGQG，PG平面平面 PQG，GQ平面平面 PQG， 所以平面所以平面 PQG平面平面 ABCD. 又又 PQ平面平面 PQG， 所以所以 PQ平面平面 ABCD. 法二：法二： 如图， 连接如图， 连接 EQ

13、 并延长， 与并延长， 与 AD 的延长线交于点的延长线交于点 H， 连接， 连接 BH. 因为因为 EFDH，所以，所以EFQHDQ， 又又 FQQD，EQFDQH， 所以所以EFQHDQ，所以，所以 EQQH. 在在BEH 中，中，BPPE，EQQH，所以，所以 PQBH. 又又 PQ 平面平面 ABCD，BH平面平面 ABCD， 所以所以 PQ平面平面 ABCD. 考法考法(二二) 线面平行的性质定理的应用线面平行的性质定理的应用 例例 2 如图所示，四边形如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点是平行四边形，点 P 是平面是平面 ABCD 外外一点，一点，M 是是 PC 的中点，在

14、的中点，在 DM 上取一点上取一点 G，过，过 G 和和 AP 作平面交平面作平面交平面BDM 于于 GH. 求证：求证：APGH. 证明证明 如图所示，连接如图所示，连接 AC 交交 BD 于点于点 O，连接，连接 MO， 四边形四边形 ABCD 是平行四边形，是平行四边形， O 是是 AC 的中点，的中点， 又又 M 是是 PC 的中点，的中点，APMO. 又又 MO平面平面 BMD，AP 平面平面 BMD， AP平面平面 BMD. 平面平面 PAHG平面平面 BMDGH， 且且 AP平面平面 PAHG， APGH. 方法技巧方法技巧 线面平行问题的解题关键线面平行问题的解题关键 (1)证

15、明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行寻找比例式证明两直线平行 (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线确定交线 5 针对训练针对训练 如图，几何体如图，几何体 E- ABCD 是四

16、棱锥，是四棱锥，ABD 为正三角形，为正三角形，CBCD，ECBD. (1)求证：求证：BEDE； (2)若若BCD120 ，M 为线段为线段 AE 的中点，求证：的中点，求证：DM平面平面 BEC. 证明：证明：(1)如图，取如图，取 BD 的中点的中点 O，连接，连接 CO，EO. 由于由于 CBCD，所以，所以 COBD. 又又 ECBD，ECCOC，CO平面平面 EOC，EC平面平面 EOC， 所以所以 BD平面平面 EOC，因此，因此 BDEO， 又又 O 为为 BD 的中点，所以的中点，所以 BEDE. (2)如图，取如图，取 AB 的中点的中点 N，连接，连接 DN，MN. 因为

17、因为 M 是是 AE 的中点，的中点，N 是是 AB 的中点，所以的中点，所以 MNBE. 又又 MN 平面平面 BEC，BE平面平面 BEC， 所以所以 MN平面平面 BEC. 因为因为ABD 为正三角形，为正三角形， 所以所以BDN30 ， 又又 CBCD，BCD120 ， 因此因此CBD30 ，所以，所以 DNBC. 又又 DN 平面平面 BEC，BC平面平面 BEC， 所以所以 DN平面平面 BEC. 又又 MNDNN，MN平面平面 DMN，DN平面平面 DMN， 故平面故平面 DMN平面平面 BEC， 又又 DM平面平面 DMN，所以，所以 DM平面平面 BEC. 6 考点二考点二

18、平面与平平面与平面平行的判定与性质面平行的判定与性质 典例典例 如图，在三棱柱如图，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，中，E，F，G，H 分别是分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面；四点共面； (2)平面平面 EFA1平面平面 BCHG. 证明证明 (1)在在A1B1C1中，中，G，H 分别是分别是 A1B1，A1C1的中点，的中点， GHB1C1. 又又B1C1BC，GHBC， GH 与与 BC 确定一个平面确定一个平面 ， G，H，B，C，B，C，H，G 四点共面四点共面 (2)E，F 分别是分别是 AB，AC 的中点，的中点

19、，EFBC， EF 平面平面 BCHG，BC平面平面 BCHG， EF平面平面 BCHG. 易证易证 A1G 綊綊 EB，四边形四边形 A1EBG 是平行四边形，是平行四边形， A1EGB. A1E 平面平面 BCHG，GB平面平面 BCHG. A1E平面平面 BCHG. A1EEFE，且，且 A1E平面平面 EFA1，EF平面平面 EFA1， 平面平面 EFA1平面平面 BCHG. 方法技巧方法技巧 1判定面面平行的主要方法判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理利用面面平行的判定定理 (2)线面垂直的性质线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行垂直于同一直线的两平面平行) 2

20、面面平行条件的应用面面平行条件的应用 (1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行 (2)两平面平行，其中一个平面内两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行的任意一条直线与另一个平面平行 提醒提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行， 需要说明在一个平面内的两条直线是相利用面面平行的判定定理证明两平面平行， 需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线交直线 针对训练针对训练 1.如图是长方体被一平面截得的几何体， 四边形如图是长方体被一平面截得的几何体， 四边形 EFGH 为截面， 则四边形为截面， 则四边形EFGH

21、 的形状为的形状为_ 解析：解析：平面平面 ABFE平面平面 DCGH，平面，平面 EFGH平面平面 ABFEEF，平，平面面 EFGH平面平面 DCGHHG，EFHG.同理，同理，EHFG，四边形四边形 7 EFGH 是平行四边形是平行四边形 答案：答案：平行四边形平行四边形 2.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P- ABCD 中，平面中，平面 PAD平面平面 ABCD，PAPD，ABAD，PAPD，ADCD，BAD60 ，M，N 分别为分别为 AD，PA 的的中点中点 (1)证明：平面证明：平面 BMN平面平面 PCD； (2)若若 AD6，求三棱锥，求三棱锥 P- BMN 的体积的体积 解

22、：解：(1)证明：如图，连接证明：如图，连接 BD. ABAD，BAD60 ， ABD 为正三角形为正三角形 M 为为 AD 的中点，的中点，BMAD. ADCD，CD平面平面 ABCD，BM平面平面 ABCD， BMCD. 又又 BM 平面平面 PCD，CD平面平面 PCD， BM平面平面 PCD. M，N 分别为分别为 AD，PA 的中点，的中点，MNPD. 又又 MN 平面平面 PCD，PD平面平面 PCD， MN平面平面 PCD. 又又 BM平面平面 BMN，MN平面平面 BMN，BMMNM， 平面平面 BMN平面平面 PCD. (2)在在(1)中已证中已证 BMAD. 平面平面 PA

23、D平面平面 ABCD， 平面平面 PAD平面平面 ABCDAD，BM平面平面 ABCD， BM平面平面 PAD. 又又 AD6，BAD60 ，BM3 3. M，N 分别为分别为 AD，PA 的中点，的中点，PAPD22AD3 2， SPMN14SPAD1412(3 2)294. VP- BMNVB- PMN13SPMN BM 13943 39 34. 8 考点三考点三 平行关系的综合平行关系的综合 典例典例 如图所示，平面如图所示，平面 平面平面 ，点，点 A，点，点 C，点，点 B，点，点D，点，点 E，F 分别在线段分别在线段 AB，CD 上，且上，且 AEEBCFFD. (1)求证：求证

24、：EF平面平面 ； (2)若若 E，F 分别是分别是 AB，CD 的中点，的中点，AC4，BD6，且，且 AC，BD 所所成的角为成的角为 60 ，求，求 EF 的长的长 解解 (1)证明：证明：当当 AB，CD 在同一平面内时，由平面在同一平面内时，由平面 平面平面 ，平面，平面 平面平面 ABDCAC，平面，平面 平面平面 ABDCBD 知，知，ACBD. AEEBCFFD，EFBD. 又又 EF ，BD，EF平面平面 . 当当 AB 与与 CD 异面时，如图所示，设平面异面时，如图所示，设平面 ACD平面平面 HD， 且且 HDAC， 平面平面 平面平面 ， 平面平面 平面平面 ACDH

25、AC， ACHD， 四边形四边形 ACDH 是平行四边形是平行四边形 在在 AH 上取一点上取一点 G，使，使 AGGHCFFD， 连接连接 EG，FG，BH. AEEBCFFDAGGH， GFHD，EGBH. 又又 EGGFG，BHHDH， 平面平面 EFG平面平面 . 又又 EF平面平面 EFG，EF平面平面 . 综合综合可知，可知，EF平面平面 . (2)如图所示，连接如图所示，连接 AD，取，取 AD 的中点的中点 M，连接，连接 ME，MF. E，F 分别是分别是 AB，CD 的中点，的中点， MEBD，MFAC， 且且 ME12BD3，MF12AC2. EMF 为为 AC 与与 B

26、D 所成的角或其补角，所成的角或其补角， EMF60 或或 120 . 在在EFM 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 EF ME2MF22ME MF cos EMF 3222 23212 13 6， 9 即即 EF 7或或 EF 19. 方法技巧方法技巧 利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似常用来确定交线的位置对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决三角形来解决 针对训练针

27、对训练 如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P- ABCD 中，中，PD平面平面 ABCD，四边，四边形形 ABCD 是矩形，是矩形，E，F，G 分别是棱分别是棱 BC，AD，PA 的中点的中点 (1)求证：求证：PE平面平面 BFG； (2)若若 PDAD1，AB2，求点，求点 C 到平面到平面 BFG 的距离的距离 解：解：(1)证明：如图，连接证明：如图，连接 DE. 在矩形在矩形 ABCD 中，中，E，F 分别是棱分别是棱 BC，AD 的中点，的中点， DFBE，DFBE， 四边形四边形 BEDF 是平行四边形，是平行四边形，DEBF. G 是是 PA 的中点，的中点，FGPD. PD 平面

28、平面 BFG，DE 平面平面 BFG，FG平面平面 BFG， BF平面平面 BFG， PD平面平面 BFG，DE平面平面 BFG. 又又 PDDED，平面平面 PDE平面平面 BFG. PE平面平面 PDE，PE平面平面 BFG. (2)法一：法一：PD平面平面 ABCD，FGPD，FG平面平面 ABCD. 过点过点 C 在平面在平面 ABCD 内，作内，作 CMBF，垂足为，垂足为 M，则，则 FGCM. FGBFF，CM平面平面 BFG， 线段线段 CM 的长是点的长是点 C 到平面到平面 BFG 的距离的距离 在矩形在矩形 ABCD 中，中，F 是是 AD 的中点，的中点，AD1，AB2

29、，BCMFBA， CMBABCFB. FB AB2AF2172，BCAD1， CM4 1717，即点，即点 C 到平面到平面 BFG 的距离为的距离为4 1717. 法二：法二：设点设点 C 到平面到平面 BFG 的距离为的距离为 d. 在矩形在矩形 ABCD 中，中，AF12AD12，AB2， BF144172. PD平面平面 ABCD，BF平面平面 ABCD，PDBF. 10 FGPD，FGBF，又，又 FG12PD12， BFG 的面积为的面积为12BF FG178. BCF 的面积为的面积为12BC AB1，VC- BFGVG- BCF， 13178d13112，解得，解得 d4 17

30、17， 即点即点 C 到平面到平面 BFG 的距离为的距离为4 1717. 创新考查方式创新考查方式领悟高考新动向领悟高考新动向 1.如图，已知底面边长为如图，已知底面边长为 3且高为且高为 1 的正三棱柱的正三棱柱 ABC- A1B1C1，过顶点，过顶点 A作平面作平面 与侧面与侧面 BCC1B1交于交于 EF，且，且 EFBC，若，若FABx 0 x6，四边形四边形 BCEF 的面积为的面积为 y，则函数，则函数 yf(x)的图象大致是的图象大致是( ) 解析解析：选选 C 由题意得由题意得，在在 RtABF 中中，BFABtan x， 所以所以 yf(x)BC BFBC ABtan x3

31、tan x 0 x6.由正切函数的图象及性质由正切函数的图象及性质，可得可得 C 正正确确 2(多选多选)如图，正方体如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为的棱长为 1，E，F 是线段是线段 B1D1上的两个动点，且上的两个动点，且 EF22，以下结论正确的为，以下结论正确的为( ) AACBF B三棱锥三棱锥 A- BEF 的体的体积为定值积为定值 CEF平面平面 ABCD D异面直线异面直线 AE，BF 所成的角为定值所成的角为定值 解析：解析： 选选 ABC 对于对于 A， ABCD- A1B1C1D1为正方体， 易得为正方体， 易得 AC平面平面 BDD1B1， BF平面平

32、面 BDD1B1，ACBF，故，故 A 正确；对于正确；对于 B， E，F，B 在平面在平面 BDD1B1上，上，A 到平面到平面 BEF 的距离为定值，的距离为定值，EF22，又，又 B 到直线到直线EF 的距离为的距离为 1，BEF 的面积为定值，的面积为定值，三棱锥三棱锥 A- BEF 的体积为定值，故的体积为定值，故 B 正确；正确； 对于对于 C，EFBD，BD平面平面 ABCD， 11 EF 平面平面 ABCD，EF平面平面 ABCD，故，故 C 正确；对于正确；对于 D，设上底面中心为，设上底面中心为 O，当，当 F 与与 B1重合时，重合时，E 与与 O 重合，易知两异面直线所

33、成的角是重合，易知两异面直线所成的角是A1AO；当；当 E 与与 D1重合时，重合时，F 与与 O 重重合，连接合，连接 BC1，易知两异面直线所成的角是，易知两异面直线所成的角是OBC1，可知，这两个角不相等，故异面直线，可知，这两个角不相等，故异面直线AE，BF 所成的角不为定值，故所成的角不为定值，故 D 错误错误 3.如图所示，在正四棱柱如图所示，在正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，中，E，F，G，H 分别是棱分别是棱 CC1，C1D1，D1D，DC 的中点，的中点，N 是是 BC 的中点，点的中点，点 M 在四边形在四边形 EFGH 及其内及其内部运动，则部运动，则 M 只需

34、满足条件只需满足条件_时，就有时，就有 MN平面平面B1BDD1.(注：请注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 解析：解析：如图，如图，连接连接 HN，FH，FN，则，则 FHD1D，HNBD， FHHNH，D1DBDD， 平面平面 FNH平面平面 B1BDD1，若，若 MFH，则，则 MN平面平面 FNH，MN平平面面 B1BDD1. 答案：答案：点点 M 在线段在线段 FH 上上(或点或点 M 与点与点 H 重合重合) 4(2021 福建漳州适应性测试福建漳州适应性测试)已知正方体已知正方体 ABCD- A1B1C1D

35、1的棱长为的棱长为 3，点，点 N 是棱是棱 A1B1的的中点，点中点，点 T 是棱是棱 CC1上靠近点上靠近点 C 的三等分点，动点的三等分点，动点 Q 在正方形在正方形 D1DAA1(包含边界包含边界)内运动，内运动，且且 QB平面平面 D1NT，则动点，则动点 Q 所形成的轨迹的长为所形成的轨迹的长为_ 解析：解析：由于由于 QB平面平面 D1NT，所以点，所以点 Q 在过在过 B 且与平面且与平面 D1NT 平行的平行的平面上，如图，取平面上，如图，取 DC 的中点的中点 E1，取线段，取线段 AA1上一点上一点 G，使，使 A1G1，易证平面易证平面 BGE1平面平面 D1NT.延长

36、延长 BE1，AD，交于点，交于点 E，连接，连接 EG，交，交DD1于点于点 I，显然，平面，显然，平面 BGE正方形正方形 D1DAA1GI，所以点，所以点 Q 的轨的轨迹是线段迹是线段 GI，易求得，易求得 GI 10. 答案答案： 10 5在三棱锥在三棱锥 P- ABC 中，中，PB6，AC3，G 为为PAC 的重心，过点的重心，过点 G 作三棱锥的一个截面，作三棱锥的一个截面，使截面平行于使截面平行于 PB 和和 AC，则截面的周长为，则截面的周长为_ 解析：解析：如图，过点如图，过点 G 作作 EFAC，分别交，分别交 PA，PC 于点于点 E，F，过，过 E，F分别作分别作 EN

37、PB，FMPB，分别交，分别交 AB，BC 于点于点 N，M，连接，连接 MN，则，则四边形四边形 EFMN 是平行四边形是平行四边形(面面 EFMN 为所求截面为所求截面)，且，且 EFMN23AC2，FMEN13PB2，所以截面的周长为，所以截面的周长为 248. 答案答案：8 课时跟踪检测课时跟踪检测 1(多选多选)已知直线已知直线 a，b，l，平面，平面 ，则下列命题中错误的选项为，则下列命题中错误的选项为( ) A若若 ，l，则，则 l B若若 al，bl，则，则 ab C若若 ，l，则，则 l D若若 l，l，则，则 12 解析：解析：选选 ABC 对于对于 A，由，由 ，l，可知

38、，可知 l 或或 l，故，故 A 错误；对于错误；对于 B，当，当 al，bl 时，直线时，直线 a 与与 b 可能平行，也可能相交，还可能异面，故可能平行，也可能相交，还可能异面，故 B 错误；对于错误；对于 C，当，当 ，l 时，时，l 可能与平面可能与平面 平行，也可能斜交，故平行，也可能斜交，故 C 错误；对于错误；对于 D，垂直于同一条直线的两个，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故平面互相平行，故 D 正确正确 2(多选多选)已知已知 ， 是三个不重合的平面，是三个不重合的平面，l 是直线给出下列命题，其中正确的命题是是直线给出下列命题，其中正确的命题是( ) A若若 l 上两点

39、到上两点到 的距的距离相等，则离相等，则 l B若若 l，l，则，则 C若若 ，l ，且，且 l，则，则 l D若若 m，n，且，且 ，则，则 mn 解析：解析：选选 BC 对于对于 A，若直线，若直线 l 在平面在平面 内，内，l 上有两点到上有两点到 的距离为的距离为 0，相等，此时，相等，此时 l 不不与与 平行，所以平行，所以 A 错误；对于错误；对于 B，因为，因为 l，所以存在直线，所以存在直线 m 使得使得 lm，因为，因为 l，所以所以 m，又，又 m，所以，所以 ，所以，所以 B 正确；对于正确；对于 C，l，故存在，故存在 m 使得使得 lm，因为因为 ，所以，所以 m，因

40、为，因为 lm，l ，所以，所以 l，C 正确；对于正确；对于 D，因为，因为 m，n，所以，所以 mn，所以，所以 D 错误，故错误，故选选 B、C. 3 (2021 潍坊期中潍坊期中)m， n 是平面是平面 外的两条直线， 在外的两条直线， 在 m 的前提下，的前提下， mn 是是 n 的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 A 由已知条件由已知条件 m，结合线面平行的性质定理可得，过直线，结合线面平行的性质定理可得，过直线 m 作一平面作一平面 交交 于直线于直线 l，则

41、，则 ml，从而存在，从而存在 l 有有 ml，再由，再由 mn 可得可得 nl，从而有，从而有 n.反之，不反之，不一定成立，一定成立，m，n 可能相交、平行或异面所以可能相交、平行或异面所以 mn 是是 n 的充分不必要条件，故选的充分不必要条件，故选 A. 4若平面若平面 截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面平面 平行的棱平行的棱有有( ) A0 条条 B1 条条 C2 条条 D1 条或条或 2 条条 解析：解析：选选 C 如图所示，四边形如图所示，四边形 EFGH 为平行四边形，则为平行四边形，则 EFGH.

42、EF 平面平面 BCD，GH平面平面 BCD， EF平面平面 BCD，又，又EF平面平面 ACD，平面，平面 ACD平面平面 BCDCD，EFCD. 又又 EF平面平面 EFGH，CD 平面平面 EFGH， CD平面平面 EFGH.同理，同理，AB平面平面 EFGH.故有故有 2 条棱与平面条棱与平面 EFGH 平行因此选平行因此选 C. 5设设 m，n 是两条不同的直线，是两条不同的直线， 是两个不重合的平面，有以下四个命题：是两个不重合的平面，有以下四个命题： 若若 m，n 且且 ，则，则 mn； 若若 m，n 且且 ，则，则 mn； 13 若若 m，n 且且 ，则，则 mn； 若若 m，

43、n 且且 ，则，则 mn. 其中真命题的序号是其中真命题的序号是( ) A B C D 解析：解析：选选 A 对于命题对于命题，直线，直线 m，n 可以相交、平行或异面，故是错误的；易知可以相交、平行或异面，故是错误的；易知正确；正确；对于命题对于命题，直线，直线 m，n 可以相交、平行或异面，故是错误的故选可以相交、平行或异面，故是错误的故选 A. 6已知平面已知平面 平面平面 ，l，点，点 A，A l，直线，直线 ABl，直线，直线 ACl，直线，直线 m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) AABm BACm CAB DAC 解析：解析：

44、选选 D m，m，则有，则有 ml，又，又 ABl，所以，所以 ABm，所以，所以 A 成成立；由于立；由于 ml，lAC，所以，所以 mAC，所以，所以 B 成立；成立；ABl，且，且 A，A l，l，所以，所以 AB，所以，所以 C 成立；成立；C 点可以在平面点可以在平面 内，内，AC 与直线与直线 l 异异面垂直，如图所示，此时面垂直，如图所示，此时 AC 不成立，所以不成立，所以 D 不一定成立不一定成立 7.如图所示，三棱柱如图所示，三棱柱 ABC- A1B1C1的侧面的侧面 BCC1B1是菱形，设是菱形，设 D 是是 A1C1上上的点且的点且 A1B平面平面 B1CD，则，则 A

45、1DDC1的值为的值为_ 解析：解析：如图，设如图，设 BC1B1CO，连接，连接 OD. A1B平面平面 B1CD 且平面且平面 A1BC1平面平面 B1CDOD，A1BOD， 四边形四边形 BCC1B1是菱形，是菱形， O 为为 BC1的中点，的中点， D 为为 A1C1的中点，则的中点，则 A1DDC11. 答案：答案：1 8(2021 苏州调研苏州调研)设设 m，n 是两条不同的直线，是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四是三个不同的平面，给出下列四个命题：个命题： 若若 m，n，则，则 mn； 若若 ，m，则，则 m； 若若 n，mn，m，则，则 m； 若若 m，n，mn，

46、则，则 . 其中是真命题的是其中是真命题的是_(填序号填序号) 解析：解析：mn 或或 m，n 异面，故异面，故错误；易知错误；易知正确；正确；m 或或 m，故，故错误；错误； 或或 与与 相交，故相交，故错误错误 14 答案：答案： 9下列四个正方体图形中，下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，分别为其所在棱的中点，能得出能得出 AB平面平面 MNP 的图形的序号是的图形的序号是_ 解析：解析：中，易知中，易知 NPAA，MNAB， 平平面面 MNP平面平面 AAB，可得出，可得出 AB平面平面 MNP(如图如图) 中，中，N

47、PAB，能得出，能得出 AB平面平面 MNP. 在在中不能判定中不能判定 AB平面平面 MNP. 答案：答案： 10.(2021 武汉模拟武汉模拟)如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥 P- ABCD 的底面的底面 ABCD 是平行四是平行四边形，侧面边形，侧面 PAB平面平面 ABCD，E 是棱是棱 PA 的中点的中点 (1)求证：求证：PC平面平面 BDE； (2)平面平面 BDE 分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比 解：解：(1)证明：证明：在平行四边形在平行四边形 ABCD 中，连接中，连接 AC，设，设 AC，BD 的交点为的交点为 O(图略图略)，

48、则，则 O 是是AC 的中点的中点 又又 E 是是 PA 的中点，连接的中点，连接 EO， 则则 EO 是是PAC 的中位线，所以的中位线，所以 PCEO， 又又 EO平面平面 EBD，PC 平面平面 EBD，所以，所以 PC平面平面 EBD. (2)设三棱锥设三棱锥 E- ABD 的体积为的体积为 V1，高为，高为 h，四棱锥，四棱锥 P- ABCD 的体积为的体积为 V， 则三棱锥则三棱锥 E- ABD 的体积的体积 V113SABDh， 因为因为 E 是是 PA 的中点， 所以四棱锥的中点， 所以四棱锥 P- ABCD 的高为的高为 2h， 所以四棱锥， 所以四棱锥 P- ABCD 的体

49、积的体积 V13S四边形四边形ABCD2h413SABDh4V1，所以，所以(VV1)V131， 所以平面所以平面 BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比分此棱锥得到的两部分的体积比为为 31 或或 13. 11.如图，如图，ABCD 与与 ADEF 均为平行四边形，均为平行四边形，M，N，G 分别是分别是 AB，AD，EF 的中点求证：的中点求证： (1)BE平面平面 DMF； (2)平面平面 BDE平面平面 MNG. 证明：证明：(1)如图，连接如图，连接 AE， 则则 AE 必过必过 DF 与与 GN 的交点的交点 O， 15 连接连接 MO，则，则 MO 为为ABE 的中位线，所以的中位

50、线，所以 BEMO. 又又 BE 平面平面 DMF， MO平面平面 DMF， 所以所以 BE平面平面 DMF. (2)因为因为 N，G 分别为平行四边形分别为平行四边形 ADEF 的边的边 AD，EF 的中点，所以的中点，所以 DEGN， 又又 DE 平面平面 MNG，GN平面平面 MNG， 所以所以 DE平面平面 MNG.又又 M 为为 AB 的的中点，中点， 所以所以 MN 为为ABD 的中位线，所以的中位线，所以 BDMN， 又又 MN平面平面 MNG，BD 平面平面 MNG， 所以所以 BD平面平面 MNG， 又又 DE平面平面 BDE，BD平面平面 BDE，DEBDD， 所以平面所以