2022届高三数学一轮复习（原卷版）第五节 双曲线 教案.doc

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1、 1 第五节第五节 双曲线双曲线 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.结合双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养结合双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养 2结合双曲线几何性质结合双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，考查求相关量的计算，考查求相关量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养凸显逻辑推理、数学运算的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1双曲线的定义双曲线的定义 平面内与两个定点平面内与两个定点 F1，F2的的距离的差的绝对值距离的差的绝对值等于常数等

2、于常数(小于小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的线这两个定点叫做双曲线的焦点焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距焦距 集合集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中，其中 a，c 为常数且为常数且 a0，c0. (1)当当 2a|F1F2|时，时，P 点不存在点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质 标准方程标准方程 x2a2y2b21(a0，b0) y2a2x2b21(a0，b0) 图形图形 性性 质质 范围范围 xa 或或 xa，yR ya 或或 ya，xR 对称性对称性 对称轴：对

3、称轴：坐标轴坐标轴，对称中心：，对称中心：原点原点 顶点顶点 A1(a,0)，A2(a,0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线渐近线 ybax yabx 离心率离心率 eca，e(1，) 实虚轴实虚轴 线段线段 A1A2是双曲线的实轴，它的长是双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a； 线段线段 B1B2是双曲线的虚轴，它的长是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b； a 是双曲线的实半轴长，是双曲线的实半轴长，b 是双曲线的虚半轴长是双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系的关系 c2a2b2(ca0，cb0) 2 3常用结论常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为双曲线的焦点到其渐近线的

4、距离为 b. (2)若若 P 是双曲线右支上一点，是双曲线右支上一点， F1， F2分别为双曲线的左、 右焦点， 则分别为双曲线的左、 右焦点， 则|PF1|minac， |PF2|minca. (3)等轴双曲线等轴双曲线 定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线曲线 性质：性质：ab；e 2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦到两焦点距离的等比中项点距离的等比中项 (4)共轭双曲线共轭双曲线 定义：如

5、果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线曲线互为共轭双曲线 性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关键点练明一、关键点练明 1(双曲线的定义双曲线的定义)设设 F1，F2分别是双曲线分别是双曲线 x2y291 的左、右焦点若点的左、右焦点若点 P 在双曲线上，在双曲线上，且且|PF1|5，则，则|PF2|( ) A5 B3 C

6、7 D3 或或 7 解析：解析：选选 D |PF1|PF2|2，|PF2|7 或或 3. 2(双曲线的实轴双曲线的实轴)双曲线双曲线 2x2y28 的实轴长是的实轴长是( ) A2 B2 2 C4 D4 2 解析：解析：选选 C 双曲线双曲线 2x2y28 的标准方程为的标准方程为x24y281，故实轴长为，故实轴长为 4. 3(双曲线的渐近线双曲线的渐近线)若双曲线若双曲线 C：x2my21(m0)的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为 3x2y0，则实数，则实数m( ) A.49 B94 C.23 D32 答案：答案：A 3 4(双曲线的标准方程双曲线的标准方程)以椭圆以椭圆x24y231

7、的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_ 解析解析：设所求的双曲线方程为：设所求的双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)， 由椭圆由椭圆x24y231，得焦点为，得焦点为( 1,0)，顶点为，顶点为( 2,0) 所以双曲线的顶点为所以双曲线的顶点为( 1,0)，焦点为，焦点为( 2,0) 所以所以 a1，c2，所以，所以 b2c2a23， 所以双曲线标准方程为所以双曲线标准方程为 x2y231. 答案答案：x2y231 5(双曲线的离心率双曲线的离心率)若双曲线若双曲线x2a2y241(a0)的离心率为的离心率为52，则，则 a_. 解析解析：设焦距

8、为：设焦距为 2c，则，则ca52，即，即 c254a2.由由 c2a24 得得54a2a24，所以，所以 a216，所以，所以 a4. 答案答案：4 二、易错点练二、易错点练清清 1(忽视双曲线定义的条件忽视双曲线定义的条件)平面内到点平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)的距离之差等于的距离之差等于 6 的点的轨迹的点的轨迹是是_ 解析解析：由：由|PF1|PF2|62，故，故|PF2|6. 答案答案：6 3(忽视焦点的位置忽视焦点的位置)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为倾斜角为3，则双曲线

9、的离心率为，则双曲线的离心率为_ 解析解析：若双曲线的焦点在：若双曲线的焦点在 x 轴上，轴上， 4 设双曲线的方程为设双曲线的方程为x2a2y2b21， 则渐近线的方程为则渐近线的方程为 ybax， 由题意可得由题意可得batan3 3，b 3a，可得，可得 c2a， 则则 eca2；若双曲线的焦点在；若双曲线的焦点在 y 轴上，轴上， 设双曲线的方程为设双曲线的方程为y2a2x2b21， 则渐近线的方程为则渐近线的方程为 yabx， 由题意可得由题意可得abtan3 3，a 3b， 可得可得 c2 33a，则，则 e2 33.综上可得综上可得 e2 或或 e2 33. 答案答案：2 或或2

10、 33 考点一考点一 双曲线的定义及其应用双曲线的定义及其应用 考法考法(一一) 利用定义求轨迹方程利用定义求轨迹方程 例例 1 已知圆已知圆 C1：(x3)2y21 和圆和圆 C2：(x3)2y29，动圆，动圆 M 同时与圆同时与圆 C1及圆及圆 C2外切，则动圆圆心外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为的轨迹方程为_ 解析解析 如图所示，设动圆如图所示，设动圆 M 与圆与圆 C1及圆及圆 C2分别外切于点分别外切于点 A 和点和点 B，根据两圆外切的充要条件，得根据两圆外切的充要条件，得 |MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|. 因为因为|MA|MB|， 所以所以|MC2|MC1

11、|BC2|AC1|3126. 这表明动点这表明动点 M 到两定点到两定点 C2，C1的距离的差是常数的距离的差是常数 2 且小于且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义知，动点根据双曲线的定义知，动点 M 的轨迹为双曲线的左支的轨迹为双曲线的左支(点点 M 到到 C2的距离大，到的距离大，到 C1的距离的距离小小)，且，且 a1，c3，则，则 b28，设点，设点 M 的坐标为的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为，则其轨迹方程为 x2y281(x1) 答案答案 x2y281(x1) 考法考法(二二) 求解求解“焦点三角形焦点三角形”问题问题 例例 2 已知已知 F1，F2为双曲线为双曲线 C：x2y

12、21 的左、右焦点，点的左、右焦点，点 P 在在 C 上，上，F1PF260 ， 5 则则|PF1| |PF2|( ) A2 B4 C6 D8 解析解析 由双曲线的方程得由双曲线的方程得 a1，c 2， 由双曲线的定义得由双曲线的定义得|PF1|PF2|2. 在在PF1F2中，由余弦定理得中，由余弦定理得 |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|cos 60 ， 即即(2 2)2|PF1|2|PF2|2|PF1| |PF2| (|PF1|PF2|)2|PF1| |PF2| 22|PF1| |PF2|， 解得解得|PF1| |PF2|4. 答案答案 B 考法考法(三三) 利

13、用定义求最值利用定义求最值 例例 3 已知已知 F 是双曲线是双曲线x24y2121 的左焦点，的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则是双曲线右支上的一动点，则|PF|PA|的最小值为的最小值为_ 解析解析 因为因为 F 是双曲线是双曲线x24y2121 的左焦点，所以的左焦点，所以 F(4,0)，设其右焦点为，设其右焦点为 H(4,0)，则由，则由双曲线的定义可得双曲线的定义可得|PF|PA|2a|PH|PA|2a|AH|4 41 2 04 2459. 答案答案 9 方法技巧方法技巧 双曲线定义的应用双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根

14、据要求可求出曲线方程判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程 (2)在在“焦点三角形焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平，运用平方的方法，建立方的方法，建立|PF1|与与|PF2|的关系的关系 提醒提醒 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支 针对训练针对训练 1已知点已知点 O(0,0)，A(

15、2,0)，B(2,0)设点设点 P 满足满足|PA|PB|2，且，且 P 为函数为函数 y3 4x2图图象上的点，则象上的点，则|OP|( ) A.222 B4 105 C. 7 D 10 解析解析：选选 D 由由|PA|PB|20， b0)的左焦点为的左焦点为(3,0)， 且， 且 C 的离心率为的离心率为32， 则， 则 C 的方程为的方程为( ) A.y24x251 By25x241 8 C.x24y251 Dx25y241 解析：解析：选选 C 由题意，可得由题意，可得 c3，又由，又由 eca32，a2， 又又 b232225，故，故 C 的方程为的方程为x24y251，故选，故选

16、C. 2(2020 天津高考天津高考)设双曲线设双曲线 C 的方程为的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，过抛物线，过抛物线 y24x 的焦点和点的焦点和点(0，b)的直线为的直线为 l.若若 C 的一条渐近线与的一条渐近线与 l 平平行，另一条渐近线与行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线垂直，则双曲线 C 的方程的方程为为( ) A.x24y241 Bx2y241 C.x24y21 Dx2y21 解析：解析：选选 D 法一：法一：由题知由题知 y24x 的焦点坐标为的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点，则过焦点和点(0，b)的直线方程为的直线方程为 xyb1，而，而x2a2y2b21

17、的渐近线方程为的渐近线方程为xayb0 和和xayb0，由，由 l 与一条渐近线平行，与另一与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得条渐近线垂直，得 a1，b1，故选，故选 D. 法二：法二：由题知双曲线由题知双曲线 C 的两条渐近线互相垂直，则的两条渐近线互相垂直，则 ab，即渐近线方程为，即渐近线方程为 x y0，排除，排除 B、C.又知又知 y24x 的焦点坐标为的焦点坐标为(1,0)，l 过点过点(1,0)，(0，b)，所以，所以b0011，b1，故选，故选 D. 考点三考点三 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 考法考法(一一) 求双曲线的渐近线方程求双曲线的渐近线方程 例例 1 (1

18、)(2021 湖南长沙模拟湖南长沙模拟)已知双曲线已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，M 为双曲线上一点，若为双曲线上一点，若 cosF1MF214，|MF1|2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的渐近线方程为( ) Ay 3x By33x Cy x Dy 2x (2)已知双曲线已知双曲线 C：x23y21，O 为坐标原点，为坐标原点，F 为为 C 的右焦点，过的右焦点，过 F 的直线与的直线与 C 的两条渐的两条渐近线的交点分别为近线的交点分别为 M，N.若若OMN 为直角三角形，则为直角三角形，则|MN|( ) A.32

19、 B3 C2 3 D4 解析解析 (1)由题意，得由题意，得|MF1|MF2|2a， 又又|MF1|2|MF2|，|MF1|4a，|MF2|2a， 9 cosF1MF216a24a24c224a2a14， 化简得化简得 c24a2，即，即 a2b24a2，b23a2， 又又 a0，b0，ba 3， 此双曲线的渐近线方程为此双曲线的渐近线方程为 y 3x，故选，故选 A. (2)法一：法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y13x.设两条渐近设两条渐近线的夹角为线的夹角为 2，则有，则有 tan 1333，所以，所以 30 .所以所以MON260 .又又OMN

20、为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MNON，如图所示在，如图所示在RtONF 中，中，|OF|2，则，则|ON| 3.在在 RtOMN 中，中，|MN|ON| tan 2 3 tan 60 3.故选故选 B. 法二：法二：因为双曲线因为双曲线x23y21 的渐近线方程为的渐近线方程为 y33x，所以，所以MON60 .不妨设过点不妨设过点 F 的的直线与直线直线与直线 y33x 交于点交于点 M， 由， 由OMN 为直角三角形， 不妨设为直角三角形， 不妨设OMN90 ， 则， 则 MFO60 ，又直线，又直线 MN 过点过点 F(2,0)，

21、所以直线，所以直线 MN 的方程为的方程为 y 3(x2)， 由由 y 3 x2 ，y33x，得得 x32，y32， 所以所以 M 32，32，所以，所以|OM| 322 322 3， 所以所以|MN| 3|OM|3，故选，故选 B. 答案答案 (1)A (2)B 方法技巧方法技巧 涉及双曲线渐近线的几个常用结论涉及双曲线渐近线的几个常用结论 (1)求双曲线求双曲线x2a2y2b21(a0，b0)或或y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常的渐近线方程的方法是令右边的常数等于数等于 0，即令，即令x2a2y2b20，得，得 ybax，或令，或令y2a2x2b20，得，得

22、yabx. (2)已知渐近线方程为已知渐近线方程为 ybax，可设双曲线方程为，可设双曲线方程为x2a2y2b2(a0，b0，0) 提醒提醒 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于 x 轴、轴、y 轴对称轴对称 考法考法(二二) 求双曲线的离心率求双曲线的离心率 10 例例 2 (1)若双曲线若双曲线 C：x2a2y2b21 (a0，b0)的渐近线与圆的渐近线与圆(x3)2y21 无交点，则无交点，则 C 的的离心率的取值范围为离心率的取值范围为( ) A. 1，3 24 B 1，2 33 C. 3 24， D 2 33

23、， (2)(2019 全国卷全国卷)已知双曲线已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，过，过 F1的直线与的直线与 C 的两条渐近线分别交于的两条渐近线分别交于 A，B 两点若两点若F1A AB ，F1B F2B 0，则，则 C 的离心的离心率为率为_ 解析解析 (1)双曲线渐近线为双曲线渐近线为 bx ay0 与圆与圆(x3)2y21 无交点，无交点， 圆心到渐近线的距离大于半径，即圆心到渐近线的距离大于半径，即3ba2b21， 8b2a2，8(c2a2)a2，即，即 8c29a2， eca3 24.故选故选 C. (2)法一法一：由

24、：由F1A AB ，得，得 A 为为 F1B 的中点的中点 又又O 为为 F1F2的中点，的中点， OABF2. 又又F1B F2B 0，F1BF290 . |OF2|OB|， OBF2OF2B. 又又F1OABOF2，F1OAOF2B， BOF2OF2BOBF2， OBF2为等边三角形为等边三角形 如图所示，不妨设如图所示，不妨设 B 为为 c2，32c . 点点 B 在直线在直线 ybax 上，上，ba 3， 离心率离心率 eca1b2a22. 11 法二法二：F1B F2B 0，F1BF290 .在在 RtF1BF2中，中，O 为为 F1F2的中点，的中点，|OF2|OB|c.如图， 作

25、如图， 作 BHx 轴于轴于 H， 由， 由 l1为双曲线的渐近线， 可得为双曲线的渐近线， 可得|BH|OH|ba， 且， 且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F2(c,0) 又又F1A AB ，A 为为 F1B 的中点的中点 OAF2B，babca，c2a，离心率离心率 eca2. 答案答案 (1)C (2)2 方法技巧方法技巧 1求双曲线的离心率或其范围的方法求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求求 a，b，c 的值，由的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求直接求 e. (2)列出含有列出含有 a，b，c 的齐次方程的齐次方程(或不等式或不

26、等式)，借助，借助 b2c2a2消去消去 b，然后转化成关于，然后转化成关于 e 的的方程方程(或不等式或不等式)求解，注意求解，注意 e 的取值范围的取值范围 (3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法例如，令因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法例如，令 a1，求出相应，求出相应 c 的值，进而求的值，进而求出离心率，能有效简化计算出离心率，能有效简化计算 (4)通过特殊位置求出离心率通过特殊位置求出离心率 2 双曲线 双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的渐近线的斜率的渐近线的斜率k与离心率与离心率e的关系： 当的关系： 当k0时，时， kbac2a2a c2a21 e21；当；当

27、 k0 时，时，kba e21. 考法考法(三三) 与双曲线有关的范围、最值问题与双曲线有关的范围、最值问题 例例 3 (2021 晋中模拟晋中模拟)已知已知 M(x0，y0)是双曲线是双曲线 C：x22y21 上的一点，上的一点，F1，F2是双曲线是双曲线C 的两个焦点的两个焦点若若MF1 MF2 0，则，则 y0的取值范围是的取值范围是( ) A. 33，33 B 36，36 C. 2 23，2 23 D 2 33，2 33 解析解析 由题意知由题意知 a 2，b1，c 3， 设设 F1( 3，0)，F2( 3，0)， 则则MF1 ( 3x0，y0)，MF2 ( 3x0，y0) 因为因为M

28、F1 MF2 0，所以，所以( 3x0)( 3x0)y200， 即即 x203y200. 因为点因为点 M(x0，y0)在双曲线在双曲线 C 上，上， 12 所以所以x202y201，即，即 x2022y20， 所以所以 22y203y200，所以所以33y00，b0)的左的左焦点焦点 F 和虚轴的上端点和虚轴的上端点 B(0，b)，且与圆，且与圆 x2y28 交于点交于点 M，N，若，若|MN|2 5，则双曲，则双曲线的离心率线的离心率 e 的取值范围是的取值范围是( ) A(1， 6 B 1，62 C. 62， D 6，) 解析：解析：选选 C 设圆心到直线设圆心到直线 l 的距离为的距离

29、为 d(d0)， 因为因为|MN|2 5，所以，所以 2 8d22 5，即，即 00，b0)的左焦点的左焦点 F 和虚轴的上端点和虚轴的上端点 B(0，b)，得得|k|bc. 所以所以bc33，即，即b2c213，所以，所以c2a2c213， 即即 11e213，所以，所以 e62， 于是双曲线的离心率于是双曲线的离心率 e 的取值范围是的取值范围是 62， . 3(2020 全国卷全国卷)已知已知 F 为双曲线为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，的右焦点，A 为为 C 的右顶点，的右顶点，B 为为 C 上的点，且上的点，且 BF 垂直于垂直于 x 轴若轴若 AB 的斜率为

30、的斜率为 3，则，则 C 的离心率为的离心率为_ 14 解析：解析：设设 B(c，yB)，因为，因为 B 为双曲线为双曲线 C：x2a2y2b21 上的点，所以上的点，所以c2a2y2Bb21，所以，所以 y2Bb4a2.因为因为 AB 的斜率为的斜率为 3，所以，所以 yBb2a，b2aca3，所以，所以 b23ac3a2，所以，所以 c2a23ac3a2，所以所以 c23ac2a20，解得，解得 c2a 或或 ca(舍去舍去)，所以，所以 C 的离心率的离心率 eca2. 答案：答案：2 4设设 F1，F2分别为双曲线分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，的左、右焦点，

31、P 为双曲线右支上一点，若为双曲线右支上一点，若3|PF2|PF1|2a |PF2|的最的最大值为大值为13a，则双曲线的渐近线斜率的取值范围为，则双曲线的渐近线斜率的取值范围为_ 解析：解析： |PF1|PF2|2a， 3|PF2|PF1|2a |PF2|3|PF2| |PF2|2a 2a |PF2|3|PF2|PF2|25a|PF2|4a23|PF2|4a2|PF2|5a32 |PF2|4a2|PF2|5a13a， 当且当且仅当仅当|PF2|4a2|PF2|，即，即|PF2|2a 时，等号成立，此时时，等号成立，此时|PF1|4a.|PF1|PF2|F1F2|，即有即有 6a2c， 9a2

32、c2，8a2b2，解得，解得 0ba2 2， 2 2ba0， b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 y 3x，则该双曲线的离心率为，则该双曲线的离心率为_ 解析解析 由题意知由题意知ba 3，即，即 b23a2， 所以所以 c2a2b24a2，所以，所以 eca2. 答案答案 2 名师微点名师微点 根据双曲线的渐近线与离心率之间的关系，可以利用渐近线方程中的根据双曲线的渐近线与离心率之间的关系，可以利用渐近线方程中的ba确定双曲线的离心率确定双曲线的离心率eca 1 ba2. 方法方法(三三) 利用双曲线的定义利用双曲线的定义 例例 3 设设 F1，F2分别是双曲线分别是双曲线x2a2y2b21

33、(a0，b0)的左、 右焦点， 若双曲线上存在点的左、 右焦点， 若双曲线上存在点 A，使使F1AF290 且且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为_ 解析解析 因为因为F1AF290 ， 故， 故|AF1|2|AF2|2|F1F2|24c2， 又， 又|AF1|3|AF2|， 且， 且|AF1|AF2|2a，所以，所以 10a24c2，即，即c2a252，故，故 eca102. 答案答案 102 名师微点名师微点 双曲线上的点双曲线上的点 A 与两个焦点构成一个直角三角形， 结合直角三角形的属性和双曲线的定义，与两个焦点构成一个直角三角形， 结合直角三角形的属性和双

34、曲线的定义，建立关系即可求出双曲线的离心率建立关系即可求出双曲线的离心率 方法方法(四四) 利用关于利用关于 a，c 的齐次方式的齐次方式 例例 4 已知点已知点 F 是双曲线是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于作垂直于 x 轴的直线与双曲线交于轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的是锐角三角形，则该双曲线的离心率离心率 e 的取值范围是的取值范围是( ) A(1，) B(1,2) C(2,1 2) D(1,1 2) 解析解析 若若ABE 是锐角三角形，只需是锐角

35、三角形，只需AEF45 ，在，在 RtAFE 中，中，|AF|b2a，|FE|a 16 c，则，则b2aac，即，即 b2a2ac，即，即 2a2c2ac0，则，则 e2e20，解得，解得1e2，又，又e1，则，则 1e2，故选，故选 B. 答案答案 B 名师微点名师微点 根据题意建立根据题意建立 a，c 之间的关系，结合之间的关系，结合 eca建立关于建立关于 e 的一元二次方程或不等式求解的一元二次方程或不等式求解 二、创新考查方式二、创新考查方式领悟高考新动向领悟高考新动向 1.一种画双曲线的工具如图所示，长杆一种画双曲线的工具如图所示，长杆 OB 通过通过 O 处的铰链与固定好的短处的

36、铰链与固定好的短杆杆 OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点连接，取一条定长的细绳，一端固定在点 A，另一端固定在点，另一端固定在点 B，套上铅笔套上铅笔(如图所示如图所示)作图时，使铅笔紧贴长杆作图时，使铅笔紧贴长杆 OB，拉紧绳子，移动笔尖，拉紧绳子，移动笔尖M(长杆长杆 OB 绕绕 O 转动转动)， 画出的曲线即为双曲线的一部分 若， 画出的曲线即为双曲线的一部分 若|OA|10， |OB|12，细绳长为，细绳长为 8，则所得双曲线的离心率为，则所得双曲线的离心率为( ) A.65 B.54 C.32 D.52 解析：解析： 选选 D 设设|MB|t， 则由题意， 可得， 则由题意，

37、 可得|MO|12t， |MA|8t， 有， 有|MO|MA|4|AO|10，由双曲线的定义可得动点，由双曲线的定义可得动点 M 的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距 2c10，实轴，实轴长长 2a4，即，即 c5，a2，所以，所以 eca52.故选故选 D. 2(多选多选)对于渐近线方程为对于渐近线方程为 x y0 的双曲线，下列结论正确的是的双曲线，下列结论正确的是( ) A实轴长与虚轴长相等实轴长与虚轴长相等 B离心率是离心率是 2 C过焦点且与过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等 D顶

38、点到渐近线与焦点到渐近线的距离的比值为顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离的比值为 2 解析：解析：选选 ABC 依题意，不妨设渐近线方程为依题意，不妨设渐近线方程为 x y0 的双曲线方程为的双曲线方程为 x2y2(0)，因，因此实轴长与虚轴长均为此实轴长与虚轴长均为 2 |，所以，所以 A 正确；由于实轴长与虚轴长相等，所以离心率为正确；由于实轴长与虚轴长相等，所以离心率为 2，所以所以 B 正确；过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为正确；过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为 2 |，而双曲线的实轴，而双曲线的实轴长也为长也为 2 |，所以，所以 C 正确；由相似三角形可知

39、，顶点到渐近线与焦点到渐正确；由相似三角形可知，顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离的比近线的距离的比值为值为ac22，所以，所以 D 错误故选错误故选 A、B、C. 3.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一如图是青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形上下对称，可看成一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面若该花瓶的最小直径为是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面若该花瓶的最小直径为 16 cm，瓶口直径为，瓶口直径为 20 cm，瓶高，瓶高

40、 20 cm，则该双曲线的离心率为，则该双曲线的离心率为_ 17 解析：解析：以花瓶最细处所在直线为以花瓶最细处所在直线为 x 轴，花瓶的竖直对称轴为轴，花瓶的竖直对称轴为 y 轴，建立如图轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)由题意可由题意可知知 a8，图中的，图中的 A 点坐标为点坐标为(10,10)将将 a8，(10,10)代入双曲线方程，可得代入双曲线方程，可得b403，所以，所以ba53，所以，所以 e1 ba2343. 答案答案：343 课时跟踪检测课时跟踪检测 一、基础练一、基础练练手感熟练练手感熟

41、练度度 1双曲线双曲线x22y21 的实轴长为的实轴长为( ) A4 B2 C2 3 D2 2 解析：解析：选选 D 由题知由题知 a22，a 2，故实轴长为，故实轴长为 2a2 2，故选，故选 D. 2双曲线双曲线x25y2101 的渐近线方程为的渐近线方程为( ) Ay12x By22x Cy 2x Dy 2x 解析：解析：选选 C 双曲线双曲线x25y2101 的渐近线方程为的渐近线方程为x25y2100，整理得，整理得 y22x2， 解得解得 y 2x，故选，故选 C. 3已知双曲线已知双曲线x24y2b21(b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 3x y0，则，则 b( ) A2 3

42、B 3 C.32 D12 解析解析： 选选 A 因为双曲线因为双曲线x24y2b21(b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 yb2x， 又渐近线方程为又渐近线方程为 y 3x，所以所以b2 3，b2 3，故选故选 A. 4设双曲线设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为的虚轴长为 4，一条渐近线为，一条渐近线为 y12x，则双曲线，则双曲线 C 的的方程为方程为( ) A.x216y241 Bx24y2161 C.x264y2161 Dx2y241 18 解析：解析：选选 A 因为双曲线因为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为的虚轴长为 4，所以，所以 2b4，

43、b2， 因为双曲线因为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为的一条渐近线为 y12x，所以，所以ba12a2b4， 所以双曲线所以双曲线 M 的方程的方程为为x216y241，故选，故选 A. 5若若 a1，则双曲线，则双曲线x2a2y21 的离心率的取值范围是的离心率的取值范围是( ) A( 2，) B( 2，2) C(1， 2) D(1,2) 解析：解析：选选 C 由题意得双曲线的离心率由题意得双曲线的离心率 ea21a， 即即 e2a21a211a2. a1，01a21，111a22，1e 2. 6(2020 北京高考北京高考)已知双曲线已知双曲线 C：x26y231

44、，则，则 C 的右焦点的坐标为的右焦点的坐标为_；C 的焦点的焦点到其渐近线的距离是到其渐近线的距离是_ 解析：解析：双曲线双曲线 C：x26y231 中，中，c2639，c3，则，则 C 的右焦点的坐标为的右焦点的坐标为(3,0)C 的的渐近线方程为渐近线方程为 y36x，即，即 y12x，即，即 x 2y0，则，则 C 的焦点到其渐近线的距离的焦点到其渐近线的距离 d33 3. 答案答案：(3,0) 3 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1若实数若实数 k 满足满足 0k9，则曲线，则曲线x225y29k1 与曲线与曲线x225ky291 的的( ) A离心率相等离心率相等 B

45、虚半轴长相等虚半轴长相等 C实半轴长相等实半轴长相等 D焦距相等焦距相等 解析：解析：选选 D 由由 0k0，b0)的右焦点是的右焦点是 F，左、右顶点分别是，左、右顶点分别是 A1，A2，过，过 F 作作 A1A2的垂线与双曲线交于的垂线与双曲线交于 B, C 两点若两点若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A12 B22 C 1 D 2 19 解析解析： 选选 C 由题设易知由题设易知 A1(a,0)， A2(a,0)， B c，b2a， C c，b2a.A1BA2C， b2acab2aca1，整理得整理得 ab.渐近线方程为渐近线方程为 ybax

46、，即即 y x，渐近线的斜率为渐近线的斜率为 1. 3 已知双曲线已知双曲线x24y221 的右焦点为的右焦点为 F， P 为双曲线左支上一点， 点为双曲线左支上一点， 点 A(0， 2)， 则， 则 APF 周长的最小值为周长的最小值为( ) A4(1 2) B4 2 C2( 2 6) D 63 2 解析：解析：选选 A 设双曲线的左焦点为设双曲线的左焦点为 F，易得点，易得点 F( 6，0)，APF 的周长的周长 l|AF|AP|PF|AF|2a|PF|AP|，要使，要使APF 的周长最小，只需的周长最小，只需|AP|PF|最小，易知当最小，易知当 A，P，F三点共线时取到最小值，故三点共

47、线时取到最小值，故 l2|AF|2a4(1 2)故选故选 A. 4在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线中，已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为的离心率为 5，从双，从双曲线曲线 C 的右焦点的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为引渐近线的垂线，垂足为 A，若，若AFO 的面积为的面积为 1，则双曲线，则双曲线 C 的方程的方程为为( ) A.x22y281 Bx24y21 C.x24y2161 Dx2y241 解析：解析：选选 D 因为双曲线因为双曲线 C 的的右焦点右焦点 F 到渐近线的距离到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以，所以 ab2，又，

48、又双曲线双曲线 C 的离心率为的离心率为 5，所以，所以 1b2a2 5，即，即 b24a2，解得，解得 a21，b24，所以双曲，所以双曲线线 C 的方程为的方程为 x2y241，故选，故选 D. 5(2020 全国卷全国卷)设设 O 为坐标原点，直线为坐标原点，直线 xa 与双曲线与双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两的两条渐近线分别交于条渐近线分别交于 D，E 两点若两点若ODE 的面积为的面积为 8，则，则 C 的焦距的最小值为的焦距的最小值为( ) A4 B8 C16 D32 解析：解析：选选 B 由题意知双曲线的渐近线方程为由题意知双曲线的渐近线方程为 ybax.因为因

49、为 D，E 分别为直线分别为直线 xa 与双曲线与双曲线C 的两条渐近线的交点， 所以不妨设的两条渐近线的交点， 所以不妨设 D(a， b)， E(a， ， b)， 所以， 所以 SODE12a|DE|12a2bab8，所以，所以 c2a2b22ab16，所以，所以 c4，所以，所以 2c8，所以，所以 C 的焦距的最小值为的焦距的最小值为 8，故选故选 B. 6 已知双曲线 已知双曲线 C：x2a2y2b21 的一条渐近线的一条渐近线 l 的倾斜角的倾斜角为为3， 且， 且 C 的一个焦点到的一个焦点到 l 的距离为的距离为 3， 20 则双曲线则双曲线 C 的方程为的方程为( ) A.x2

50、12y241 Bx24y2121 C.x23y21 Dx2y231 解析：解析：选选 D 由由x2a2y2b20 可得可得 ybax，即渐近线的方程为，即渐近线的方程为 ybax，又一条渐近线，又一条渐近线 l 的倾斜的倾斜角为角为3， 所以所以batan3 3. 因为双曲线因为双曲线 C 的一个焦点的一个焦点(c,0)到到 l 的距离为的距离为 3， 所以所以|bc|a2b2b 3， 所以所以 a1， 所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为 x2y231. 7(2021 黄山一诊黄山一诊)双曲线双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线与直线的一条渐近线与直线 x2y10 垂直，