2022届高三数学一轮复习（原卷版）第十二章 12.5立体几何问题-教师版.docx

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1、 第1课时进门测1多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A. B2 C. D.答案D解析由三视图可知该几何体为一个三棱柱削去一个三棱锥得到的几何体，该三棱柱的体积为×2×2×24，三棱锥的体积为××2×2×1，所以该几何体的体积为4，故选D.2正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为()A相交 B平行C垂直相交 D不确定答案B解析如图取B1C1中点为F，连接EF，DF，DE，则EFA1B1，DFB1B，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.3设，是

2、三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的序号填上)答案或解析由线面平行的性质定理可知，正确；当b，a时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为或.4在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_答案解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量

3、为n(x，y，z)，则n，n，则令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.作业检查无第2课时阶段训练题型一求空间几何体的表面积与体积例1如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置 (1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积(1)证明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此得EFHD，折后EF与HD保持垂直关系，即EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得

4、DOBO4，所以OH1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S×6×8××3.所以五棱锥DABCFE的体积V××2.思维升华(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图

5、的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积解(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2，则正棱锥侧面的斜高为.S侧3××2×9.S表S侧S底9××(2)296.(2)设正三棱锥PABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r. VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABCS侧·rSABC·

6、rS表·r(32)r.又VPABC×××(2)2×12，(32)r2，得r2.S内切球4(2)2(4016).V内切球(2)3(922).题型二空间点、线、面的位置关系例2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.因为AB平面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1.又AB平面AB

7、E，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明方法一如图1，取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.方法二如图2，取AC的中点H，连接C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HFAB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1綊AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平

8、面C1HF，所以C1F平面ABE.(3)解因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABC·AA1×××1×2.思维升华(1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题证明C1F平面ABE：()利用判定定理，关键是在平面ABE中找(作)出直线EG，且满足C1FEG.()利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进

9、行体积的转化如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明(1)由ASAB，AFSB知F为SB中点，则EFAB，FGBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，则AFBC.又BCAB，AFABA，则BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.题型三空间角的计算例3如图，在矩形ABCD中，已知AB2，AD4，点E，F分别在AD，BC上，且AE1，

10、BF3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上(1)求证：CDBE；(2)求线段BH的长度；(3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值(1)证明BH平面CDEF，BHCD，又CDDE，BHDEH，CD平面DBE，CDBE.(2)解方法一设BHh，EHk，过F作FG垂直ED于点G，线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得解得线段BH的长度为2.方法二如图，过点E作ERDC，过点E作ES平面EFCD，分别以直线ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设点B(0，y，z)(y>0，z>0)，由于F(2,2,0)，BE，BF3，解得于是

11、B(0,1,2)，线段BH的长度为2.(3)解方法一延长BA交EF于点M，AEBFMAMB13，点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，点A到平面EFCD的距离为，而AF，故直线AF与平面EFCD所成角的正弦值为.方法二由(2)方法二知(2，1,2)，故(，)，(，)，设平面EFCD的一个法向量为n(0,0,1)，直线AF与平面EFCD所成角的大小为，则sin .如图，在四棱锥PABCD中，ABPA，ABCD，且PBBCBD，CD2AB2，PAD120°.(1)求证：平面PAD平面PCD；(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值(1)证明BCBD，取CD的中点E，连接B

12、E，BECD，ABCD，且CD2AB，ABDE，且ABDE，四边形ABED是矩形，BEAD，且BEAD，ABAD，又ABPA，PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，AB平面PAD，CD平面PAD，又CD平面PCD，平面PAD平面PCD.(2)解以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示PBBCBD，CD2AB2，PAD120°，PA2，ADBE2，BC，则P(0，1，)，D(0,2,0)，B(，0,0)，C(2，2,0)，(0,3，)，(，1，)，(，2,0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则取x，得n(，1，)，设直线PD与平面PBC所成的角为，

13、则sin |cos，n|，直线CD与平面PBC所成角的正弦值为.第3课时阶段重难点梳理1如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ACB1D，BB1底面ABCD，E，F，H分别为AD，CD，DD1的中点，EF与BD交于点G.(1)证明：平面ACD1平面BB1D；(2)证明：GH平面ACD1.证明(1)BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1.又ACB1D，BB1B1DB1，AC平面BB1D.AC平面ACD1，平面ACD1平面BB1D.(2)设ACBDO，连接OD1.E，F分别为AD，CD的中点，EFODG，G为OD的中点H为DD1的中点，HGOD1.GH平面ACD1，OD1平面ACD1

14、，GH平面ACD1.2如图，梯形ABEF中，AFBE，ABAF，且ABBCADDF2CE2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE平面ABCD.(1)证明：AC平面BEF；(2)求三棱锥DBEF的体积(1)证明如图，取BF的中点M，设AC与BD交点为O，连接MO，ME.由题设知，CE綊DF，MO綊DF，CE綊MO，故四边形OCEM为平行四边形，EMCO，即EMAC.又AC平面BEF，EM平面BEF，AC平面BEF.(2)解平面CDFE平面ABCD，平面CDFE平面ABCDDC，BCDC，BC平面DEF.三棱锥DBEF的体积为VDBEFVBDEFSDEF·BC××

15、;2×2×2.3如图，在多面体EFABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形，ABEABC90°，四边形DCEF为平行四边形，平面DCEF平面ABCD.(1)求证：DF平面ABCD；(2)若BCCDCEAB，求直线BF与平面ADF所成角的正弦值(1)证明由四边形DCEF为平行四边形，知EFCD，所以EF平面ABCD.又平面ABEF平面ABCDAB，从而有ABCDEF.因为ABEABC90°，所以ABBE，ABBC，又因为BEBCB，所以AB平面BCE，因为CE平面BCE，所以ABCE.又四边形DCEF为平行四边形，有DFCE，所以DCDF，又因为平

16、面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDDC，所以DF平面ABCD.(2)解不妨设BC1，则BCCDCE1，AB2，四边形ABCD为直角梯形，连接BD，则有BDAD，则BDAD，由DF平面ABCD，知DFBD，因为DFADD，所以BD平面FAD，则BFD即为直线BF与平面ADF所成角，在BFD中，DFBD，BD，DF1，则BF，所以sinBFD，所以直线BF与平面ADF所成角的正弦值为.4如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明：平面ABEFEFD

17、C；(2)求二面角E-BC-A的余弦值(1)证明由已知可得AFDF，AFFE，DFFEF，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角D-AF-E的平面角，故DFE60°，则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知，ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由

18、BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60°，从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)，则cosn，m.故二面角E-BC-A的余弦值为.5如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，ADBC，AB平面BEC，ECCB，已知BC2AD2AB2.(1)证明：BD平面DEC；(2)若二面角AEDB的大小为30°，求EC的长度(1)证明因为AB平面BEC，所以ABEC.又因为ECBC，ABB

19、CB，所以EC平面ABCD.因为BD平面ABCD，所以ECBD.由题意可知，在梯形ABCD中，有BDDC，所以BD2DC2BC2，所以BDDC.又ECCDC，所以BD平面DEC.(2)解如图，以点B为坐标原点，以BA所在直线为z轴，BC所在直线为y轴，以过点B且平行于CE的直线为x轴，建立空间直角坐标系设|a>0，则B(0,0,0)，E(a,2,0)，A(0,0,1)，C(0,2,0)，D(0,1,1)设平面AED的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，得平面AED的一个法向量为m(1,0，a)，设平面BED的法向量为n(x，y，z)，则即令x2，得平面BED的一个法向量为n(2，a，a)又二面角AEDB的大小为30°，所以cos 30°|，得a1，所以EC1.19