考点48 排列与组合-备战2020年高考数学（理）考点一遍过.docx

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1、考点48 排列与组合（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.（3）能解决简单的实际问题.1排列（1）排列的定义一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2）排列数、排列数公式从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：假设有排好顺序的m个空位，从n个元素中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共

2、有种填法.这样，我们就得到公式，其中，且.这个公式叫做排列数公式.n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中，即有，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成.另外，我们规定1.于是排列数公式写成阶乘的形式为，其中，且.注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.2组合（1）组合的定义一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元

3、素中取出m个元素的一个组合.（2）组合数、组合数公式从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.，其中，且.这个公式叫做组合数公式.因为，所以组合数公式还可以写成，其中，且.另外，我们规定.（3）组合数的性质性质1：.性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合是一一对应关系.性质2：.性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素

4、中任取个后再取出元素a即可，有个组合.考向一 排列数公式和组合数公式的应用这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.典例1 （1）若，求的值；（2）的值(用数字作答).【答案】（1）7；（2）164.【解析】（1）由题可得，即，解得：或舍去），.（2）（）（）1（）1111164【名师点睛】本题考查排列数组合数的运算，考查计算能力，属于基础题.（1）在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等

5、式，最后得出问题的解.（2）利用求解 1（1）解不等式；（2）证明：.考向二 排列问题的求解解决排列问题的主要方法有： （1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置. （2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列. （3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. （4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

6、 （5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.典例2 室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有_种排法.（用数字作答）【答案】576【解析】把编号相邻的3组同学每两个同学捆成一捆，这3捆之间有种排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中有种插法，而捆好的3捆中每相邻的两个同学都有种排法.所以不同的排法种数为.2一个停车场有5个排成一排的空车位

7、，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有A6种B12种C36种D72种考向三 组合问题的求解组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏. 典例3 某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为A85B86C91D90【答案】B【解析】方法一（直接法）:由题意，可分三类考虑： 第1类，

8、男生甲入选,女生乙不入选:;第2类，男生甲不入选,女生乙入选:.第3类，男生甲入选,女生乙入选: .男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86. 方法二（间接法）:从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有种.男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为12034=86. 3在新一轮的高考改革中，一名高二学生在确定选修地理的情况下，想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习，则所选的两科中一定有生物的概率是ABCD考向四 排列与组合的综合应用先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问

9、题只需要用三步即可完成. 第一步：选元素，即选出符合条件的元素; 第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列; 第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数. 典例4 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有_种(用数字作答).【答案】2520【解析】方法一：先从10人中选出2人承担任务甲,再从余下8人中选出1人承担任务乙,最后从剩下的7人中选出1人承担任务丙. 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.方法二：先从10人中选出2人承担任务甲,再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙. 根据

10、分步乘法计数原理，不同的选法共有种.4某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有A60种B90种C150种D240种1已知，那么A20B30C42D722下列等式中，错误的是A BC D3甲、乙等五个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，则不同的排法种数为A48B60C72D1204某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有A12种B24种C36种D72种5从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的

11、3人中既有男生又有女生，则不同的选法有A1190种B420种C560种D3360种64位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A BC D7小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母都不与他相邻，则不同坐法的总数为A12B36C84D968数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为AB34C43D439用数字0，2，4，7，8，9组成无重复数字的六位数，其中大于420789的正整数的个数为A479B180

12、C455D45610元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为A48 B36 C24 D1211已知10件产品有2件是次品，为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为A6B7C8D912节目单上有10个位置,现有A,B,C 3个节目,要求每个节目前后都有空位且A节目必须在B,C节目之间,则不同的节目排法有种. 13已知集合，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为_.

13、14给四面体ABCD的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法种数共有. 15某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻,则不同的摆放方法有种(用数字作答). 16生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为_.17从1

14、到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）18某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.（1）该小组中男女学生各多少人？（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）194个编号为1,2,3,4的小球放入编

15、号为1,2,3,4的盒子中.（1）恰好有一个空盒子,有多少种放法?若把4个不同小球换成4个相同小球,恰好有一个空盒子,有多少种放法?（2）每个盒子放1个球,并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法?1（2019新课标全国理科）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是AB C D 2（2018新课标全国理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取

16、两个不同的数，其和等于30的概率是ABCD3（2017新课标全国理科）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A12种B18种C24种D36种4（2018新课标全国理科）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）5（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 6（2018浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)7（2017浙江理科）从6男2女共8

17、名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法（用数字作答）8（2017天津理科）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个（用数字作答）变式拓展1【解析】（1）由，得，化简得，解之得，又，由及得.（2），.【名师点睛】本题主要考查排列数的计算问题，要注意中隐含了3个条件：，；的运算结果为正整数在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解注意常用变形，（即），的应用2【答案】B【解析】方法一：把空着

18、的2个相邻的停车位看成一个整体，即2辆不同的车可以停进4个停车场，即不同的停车方法共有：种.方法二：由题意，若2辆不同的车相邻，则有种方法；若2辆不同的车不相邻，则利用插空法，2个相邻的停车位空着，利用捆绑法，所以有种方法.综上，共有12种方法，所以B选项是正确的.【名师点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意空位是相同的是解题的关键.分类讨论，利用捆绑法、插空法，即可得出结论.3【答案】C【解析】从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科，数量有，所选的2科中一定有生物，则需在从历史、政治、化学、物理4科中选1科，数量有，所以其概率为.故答案为C项.【名师点睛】本题考查组合问题，古典概型的计

19、算，属于简单题.先计算出从历史、政治、化学、生物、物理5科中选2科的数量，然后计算出按照两科里有生物，再选另一科的数量.最后根据古典概型的计算公式，得到答案.4【答案】C【解析】将5个班分成3组，有两类方法：（1）3，1，1，有种；（2）2，2，1，有种.所以不同的安排方法共有种.故选C.【名师点睛】本题主要考查了排列组合的实际应用问题：分组分配，注意此类问题一般要先分组再分配（即为排列），属于基础题.先将5人分成3组，3，1，1和2，2，1两种分法，再分配，应用排列组合公式列式求解即可.考点冲关1【答案】B【解析】，则.故选B.【名师点睛】本题考查了排列数和组合数的计算，属于简单题.2【答案

20、】C【解析】通过计算得到选项A，B，D的左、右两边都是相等的.对于选项C，所以选项C是错误的.故答案为C3【答案】C【解析】甲、乙等五个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，故先安排除甲、乙外的3人，共种方法，然后安排甲、乙在这3人之间的4个空里，共种方法，所以不同的排法种数为，故选C项.【名师点睛】本题考查排列问题，利用插空法解决不相邻问题，属于简单题.求解时，因为甲和乙不能相邻，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答案.4【答案】C【解析】由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C42=6(种)，再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A33=6(种)情况，所以共有6

21、5;6=36(种)不同的报名方法.5【答案】B【解析】要求参赛的3人中既有男生又有女生，分为两种情况：第一种情况：1名男生2名女生，有种选法；第二种情况：2名男生1名女生，有种选法，由分类计算原理可得不同的选法有种.故选B【名师点睛】本题考查分类计数原理和组合的应用，属于基础题.6【答案】D【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六、周日各2人，有种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

22、，选D7【答案】B【解析】记事件小明的父亲与小明相邻，事件小明的母亲与小明相邻，对于事件，将小明与其父亲捆绑，形成一个元素，与其他三个元素进行排序，则，同理可得，对于事件，将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则，由容斥原理可知，所求的坐法种数为，故选B【名师点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法以及容斥原理的应用，解题时要合理利用分类讨论思想与总体淘汰法，考查逻辑推理能力，属于中等题.8【答案】B【解析】将12名同学平均分成四组共有种方案，四组分别研究四个不同课题共有种方案，第一组选择一名组长有3种方案，第二组选择一名组长有3种方案，第三组

23、选择一名组长有3种方案，第四组选择一名组长有3种方案，选取组长的方案共有34种，根据分步乘法计数原理，可知满足题目要求的种数为34=34，故选B9【答案】C【解析】若十万位大于，则有个；若十万位等于，当万位大于时，有个，当万位等于千位不等于时，有个，当万位等于千位等于时，有个， 则一共有个.故选C【名师点睛】排列组合问题中涉及满足要求的几位数的个数时候，采用分类讨论比较方便，能精准的将满足要求的每类数利用排列数、组合数计算出来.10【答案】C【解析】分3步进行：歌曲节目排在首尾，有A22=2种排法.将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有A22=2种排法.排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有

24、3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有A22A31=6种排法，则这6个节目出场的不同编排种数为2×2×6=24，故选C11【答案】C【解析】设抽取件，次品全部检出的概率为，化简得，代入选项验证可知，当时，符合题意，故选C【名师点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.12【答案】40【解析】除A，B，C 3个节目外，还有7个位置，共可形成6个空，从6个空中选3个位置安排3个节目，有C63种方法，又A在中间，所以B，C有A22种方法，所以总的排法有C63A22=40种.13【答案】【解析】由组合数的性质得出，不考虑任何限制条件下不同

25、点的个数为，由于，坐标中同时含和的点的个数为，综上所述：所求点的个数为，故答案为.【名师点睛】本题考查排列组合思想的应用，常用的就是分类讨论和分步骤处理，本题中利用总体淘汰法，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14【答案】96【解析】由题意知，第一步涂DA有四种方法;第二步涂DB有三种方法;第三步涂DC有两种方法;第四步涂AB，若AB与DC相同，则一种涂法，第五步可分两种情况，若BC与AD相同，最后一步涂AC有两种涂法，若BC与AD不同，最后一步涂AC有一种涂法.若第四步涂AB，AB与CD不同，则AB涂第四种颜色，此时BC，AC只有一种涂法.综上，总的涂法种数是4

26、15;3×2×1×(2+1)+1×1=96.15【答案】24【解析】甲、乙两件工艺品的摆放方法有A22种，丙、丁与剩余的两件工艺品的摆放方法有A22A33种，由分步乘法计数原理可知，不同的摆放方法有A22A22A33=24种.16【答案】【解析】由题意，对六艺“礼、乐、射、御、书、数”进行全排列，基本事件的总数为种，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：当第一节是“数”，共有种不同的排法；当第二节是“数”，共有种不同的排法，所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为.【名师点睛】本题主要考查了排列、

27、组合的综合应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理分类求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17【解析】（1）偶数在末尾，五位偶数共有576个 （2）五位数中，偶数排在一起的有576个 （3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有144个【名师点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题求解时，（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问

28、题得以解决.18【解析】（1）设男生有人，则，即，解之得，故男生有6人，女生有3人.（2）方法一：按坐座位的方法： 第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有种；第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择，故一共有种重新站队方法.方法二：除序法：第一步：9名学生站队共有种站队方法；第二步：3名女生有种站队顺序；故一共有种站队方法，所以重新站队方法有种.（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；第二步：3名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种；第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种.故一共有种站队方法.【名师点睛】本题考查排列组合中的分类讨论，插空法

29、、除序法等，属于中档题.求解时，（1）设男生有人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.19【解析】（1）方法一：4个小球不同，4个盒子也不同，是排列问题，恰好有一个空盒子的放法可分两步完成.第一步，先将4个小球中的2个“捆”在一起，有C42种方法;第二步，把“捆”在一起的球与其他2个球分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A43种方法.所以共有C42A43=144(种)放法.方法二：因为有一个盒子是空的，所以先将

30、这4个小球分为三份，有种方法，再将这三份小球放入4个盒子中的3个盒子里，有A43种放法，所以共有·A43=144(种)放法.这里的小球是相同的，只是盒子不同，是组合问题，可分两步完成.第一步，先从4个盒子中选出3个盒子有C43种方法;第二步，从3个盒子中选出1个盒子放2个小球有C31种方法.所以共有C43·C31=12(种)放法.（2）分两步完成.第一步，从4个不同的小球中选1个小球，使它的编号与盒子编号相同有C41种方法;第二步，另外3个小球与盒子编号均不同，只有2种方法.所以共有C41·2=8(种)放法.直通高考1【答案】A【解析】由题知，每一爻有2种情况，一

31、重卦的6爻有种情况，其中6爻中恰有3个阳爻的情况有种情况，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A【名师点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题2【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C102=45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.3【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原

32、理，不同的安排方式共有种 故选D【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：按元素(或位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组注意各种分组类型中，不同分组方法的求解4【答案】16【解析】根据题意，没有女生入选有C43=4种选法，从6名学生中任意选3人有C63=20种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种，故答案是16.【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，

33、并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.5【答案】【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有种方法，其中恰好选中2名女生的方法有种，因此所求概率为.6【答案】1260【解析】若不取0，则排列数为C52C32A44；若取0，则排列数为C52C31A31A33,因此一共有C52C32A44+C52C31A31A33=1260个没有重复数字的四位数.7【答案】660【解析】由题意可得，“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”总的选择方法为（种）方法，其中

34、“服务队中没有女生”的选法有（种）方法，则满足题意的选法有：（种）【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式8【答案】【解析】【名师点睛】计数原理包含分类加法计数原理和分步乘法计数原理，本题中组成的四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，先利用分步乘法计数原理求每一类中的结果数，然后利用分类加法计数原理求总的结果数