2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 教案.doc

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1、1 第三节第三节 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性与简单的线性规划问题规划问题 最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义， 能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 1二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 AxByC0 直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 AxByC0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由 x，

2、y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 常用结论 1确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法 把二元一次不等式 AxByC0(0)表示为 ykxb 或 ykxb 的形式若 ykxb，则平面区域为直线 AxByC0 的上方；若 ykxb，则平2 面区域为直线 AxByC0 的下方 2 点 P1(x1， y1)和 P2(x2， y2)位于

3、直线 AxByC0 的两侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0；位于直线 AxByC0 同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0. 一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)不等式 AxByC0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方 ( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一 ( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上 ( ) (4)目标函数 zaxby(b0)中，z 的几何意义是直线 axbyz0 在 y 轴上的截距 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1不等式组 x3y60，xy20表示的平面区域

4、是( ) C x3y60 表示直线 x3y60 左上方的平面区域，xy20 表示直线 xy20 及其右下方的平面区域，故选 C. 2不等式 2xy60 表示的区域在直线 2xy60 的( ) A右上方 B右下方 C左上方 D左下方 B 不等式 2xy60 可化为 y2x6， 结合直线 2xy60 的位置可知，选 B. 3投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方米； 投资生产 B 产品时， 每生产 100 吨需要资金 300 万元， 需场地 100 平方米 现某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900 平方米，则上述要求可用不等式组表示3 为 (

5、用 x，y 分别表示生产 A，B 产品的吨数，x 和 y 的单位是百吨) 200 x300y1 400200 x100y900 x0y0 由 题 意 知 ， x ， y满 足 的 关 系 式 为 200 x300y1 400，200 x100y900，x0，y0. 4设 x，y 满足约束条件 x3y3，xy1，y0，则 zxy 的最大值为 3 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由 zxy 得 yxz. 作出直线 yx，并平移该直线， 当直线 yxz 过点 A 时，目标函数取得最大值 由图知 A(3,0)，故 zmax303. 考点 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 1求平面区域面积的

6、方法 (1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域； (2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和 4 2根据平面区域确定参数的方法 在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中， 首先把不含参数的平面区域确定好， 然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案 (1) 不 等 式 组 2xy60，xy30，y2表 示 的 平 面 区 域 的 面 积为 (2)已

7、知关于 x，y 的不等式组 0 x2，xy20，kxy20所表示的平面区域的面积为3，则实数 k 的值为 (1)1 (2)12 (1)不等式组 2xy60，xy30，y2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC 的面积即为所求平面区域的面积 求出点 A，B，C 的坐标分别为 A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则ABC 的面积为S12(21)21. (2)直线 kxy20 恒过点(0,2)， 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 5 则 A(2,2k2)，B(2,0)，C(0,2)，由题意知 122(2k2)3，解得 k12. 解答本例 T(2)时，直线 kxy20 恒过定点(0

8、,2)是解题的关键 1.不等式组 x0，x3y4，3xy4，所表示的平面区域的面积等于( ) A.32 B.23 C.43 D.34 C 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示， A0，43， B(1,1)，C(0,4)，则ABC 的面积为1218343.故选 C. 2若不等式组 xy50，ya，0 x2，表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是( ) Aa5 Ba7 C5a7 Da5 或 a7 C 如图，当直线 ya 位于直线 y5 和 y7 之间(不含 y7)时满足条件，故选 C. 3点(2，t)在直线 2x3y60 的上方，则 t 的取值范围是 6 23， 直线 2x3y

9、60上方的点满足不等式 y23x2， t23(2)2，即 t23. 考点 2 求目标函数的最值问题(多维探究) 求线性目标函数的最值 求线性目标函数最值的一般步骤 (1)(2019 全国卷)若变量 x， y 满足约束条件 2x3y60，xy30，y20，则z3xy 的最大值是 (2)(2018 北京高考)若 x， y 满足 x1y2x， 则 2yx 的最小值是 (1)9 (2)3 (1)作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)， 由图易知，当直线 y3xz 过点 C 时，z 最小，即 z 最大 由 xy30，2x3y60， 解得 x3，y0， 即 C 点坐标为(3,0)， 故 zmax33

10、09. (2)x1y2x 可化为 yx1，y2x，其表示的平面区域如图中阴影部分所7 示，令 z2yx，易知 z2yx 在点 A(1,2)处取得最小值，最小值为 3. 解答本例 T(2)时， 首先要把约束条件变为 yx1，y2x，其次设目标函数为 z2yx. 教师备选例题 (2018 全国卷)若 x，y 满足约束条件 x2y50，x2y30，x50，则 zxy 的最大值为 9 画出可行域如图中阴影部分所示目标函数 zxy 可化为 yxz，作出直线 yx，并平移，当平移后的直线经过点 B 时，z 取得最大值联立，得 x2y30，x50，解得 x5，y4，所以 B(5,4)，故 zmax549.

11、求非线性目标函数的最值 常见的两种非线性目标函数及其意义 (1)点到点的距离型：形如 z(xa)2(yb)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方； (2)斜率型： 形如 zybxa， 表示区域内的动点(x， y)与定点(a， b)连线的斜率 8 实数 x，y 满足 xy10，x0，y2. (1)若 zyx，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围； (2)若 zx2y2，求 z 的最大值与最小值，并求 z 的取值范围 解 由 xy10，x0，y2，作出可行域， 如图中阴影部分所示 (1)zyx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率 因此yx的范围为直线 OB 的斜率到

12、直线 OA 的斜率(直线 OA 的斜率不存在，即 zmax不存在) 由 xy10，y2，得 B(1,2)， 所以 kOB212，即 zmin2， 所以 z 的取值范围是2，) (2)zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方 因此 x2y2的最小值为 OA2，最大值为 OB2. 由 xy10，x0，得 A(0,1)， 所以 OA2( 0212)21， OB2( 1222)25， 所以 z 的取值范围是1,5 母题探究 9 (1)保持本例条件不变，求目标函数 zy1x1的取值范围； (2)保持本例条件不变，求目标函数 zx2y22x2y3 的最值 解 (1)zy1x1可以看作过点

13、P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率，所以 z 的取值范围是(，0 (2)zx2y22x2y3 (x1)2(y1)21， 而(x1)2(y1)2表示点 P(1,1)与 Q(x，y)的距离的平方 PQ2， PQ2max(01)2(21)22， PQ2min|111|1212212， 所以 zmax213，zmin12132. 求定点到区域内动点的距离的最小值时，要数形结合，可能转化为点到直线的距离问题 线性规划中的参数问题 求解线性规划中含参问题的两种基本方法 (1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围 (2)先

14、分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数 (1)若实数 x，y 满足约束条件 xy1，xy1，3xy3，目标函数 zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则实数 a 的取值范围是( ) A6,2 B(6,2) C3,1 D(3,1) (2)若实数 x，y 满足不等式组 x3y30，2xy30，xmy10，其中 m0，且 xy 的最大10 值为 9，则实数 m . (1)B (2)1 (1)作出约束条件所表示的平面区域，如图所示 将 zax2y 化成 ya2xz2，当1a23 时，直线 ya2xz2的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值，即目标函

15、数 zax2y 在点(1,0)处取得最小值，解得6a2，故选 B. (2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设 zxy，则 yxz，当直线 yxz 经过点 A 时，xy 有最大值，此时 xy9，由 xy9，2xy30得 A(4,5)，将 A(4,5)代入 xmy10 得 45m10，解得 m1. 当参数在目标函数中时，应把斜率值的大小对最优解的影响作为解题突破口 1.(2019 北京高考)若 x， y 满足 x2，y1，4x3y10，则 yx 的最小值为 ，最大值为 3 1 x，y 满足的平面区域如图所示 11 设 zyx， 则 yxz. 把 z 看作常数，则目标函数是可平行移动的直线

16、，z 的几何意义是直线 yxz 的纵截距，通过图象可知，当直线 yxz 经过点 A(2,3)时，z 取得最大值，此时 zmax321. 当经过点 B(2，1)时，z 取得最小值，此时 zmin123. 2 若实数 x， y 满足约束条件 2xy40，x2y20，x10，则y1x的最小值为 32 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y1x表示平面区域内的点与定点 P(0,1)连线的斜率由图知，点 P 与点 A1，12连线的斜率最小，所以y1xminkPA1211032. 3已知 x，y 满足约束条件 xy40，x2，xyk0，且 zx3y 的最小值为 2，则常数 k . 2 作出不

17、等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 12 由 zx3y 得 y13xz3，结合图形可知当直线 y13xz3过点 A 时，z最小， 联立方程，得 x2，xyk0，得 A(2，2k)， 此时 zmin23(2k)2，解得 k2. 考点 3 线性规划的实际应用 解线性规划应用问题的一般步骤 (1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系 (2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量 x，y，并列出相应的不等式组和目标函数 (3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解) (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值) (5)检

18、验：根据结果，检验反馈 (2017 天津高考)电视台播放甲、 乙两套连续剧， 每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数 (1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域； 13 (2)问电视台每

19、周播出甲、 乙两套连续剧各多少次， 才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x，y 满足的数学关系式为 70 x60y600，5x5y30，x2y，x0，xN，y0，yN， 即 7x6y60，xy6，x2y0，x0，xN，y0，yN， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分中的整数点 (2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z60 x25y. 考虑 z60 x25y，将它变形为 y125xz25，这是斜率为125，随 z 变化的一组平行直线.z25为直线在 y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大 又因为 x，y 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 z

20、60 x25y 经过可行域上的点 M 时，截距z25最大，即 z 最大 解方程组 7x6y60，x2y0，得 x6，y3，则点 M 的坐标为(6,3) 所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时，才能使总收视人次最多 14 本例中 x，yN，因此二元一次不等式组所表示的平面区域是整数点组成的 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1 千元/件甲、乙两种产品都需要在 A，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A 设备 2 小时， B 设备 6 小时； 生产一件乙产品需用 A 设备 3 小时， B 设备 1 小时 A，B 两种设备每月可使用时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( ) A320 千元 B360 千元 C400 千元 D440 千元 B 设生产甲产品 x 件，生产乙产品 y 件，利润为 z 千元，则 2x3y480，6xy960，x，yN*，z2xy，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示， 作出直线 2xy0，平移该直线，当直线经过直线 2x3y480 与直线 6xy960 的交点(150,60)时，z 取得最大值，为 360.