高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：5.5 数列的综合应用 Word版含答案_20210103224751.doc

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1、淘宝店铺：漫兮教育第五节数列的综合应用数列的综合应用能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题知识点数列的实际应用问题数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系必备方法解答数列应用题的步骤：(1)审题仔细阅读材料，认真理

2、解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中具体解题步骤用框图表示如下：自测练习1有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6秒钟 B7秒钟C8秒钟 D9秒钟解析：设至少需要n秒钟，则121222n1100，100，n7.答案：B2一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形的边数为_解析：由于凸n边形的内角和为(n2)，故n×(n2)

3、.化简得n225n1440.解得n9或n16(舍去)答案：93某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，则n17，即n6.答案：6考点一等差、等比数列的综合应用|在数列an中，a12，a212，a354，数列an13an是等比数列(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)证明：a12，a212，a354，a23a16，a33a218.又数列an13an是等

4、比数列，an13an6×3n12×3n，2，数列是等差数列(2)由(1)知数列是等差数列，(n1)×22n，an2n×3n1.Sn2×1×302×2×312n×3n1，3Sn2×1×32×2×322n×3n.Sn3Sn2×1×302×1×32×1×3n12n×3n2×2n×3n3n12n×3n，Sn×3n.等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)

5、分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的 1(2016·贵州七校联考)已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn为数列an的前n项和，a1b11，且b3S336，b2S28(nN*)(1)求an和bn；(2)若an<an1，求数列的前n项和Tn.解：(1)由题意得解得或或(2)若an<an1，由(1

6、)知an2n1，Tn.考点二数列的实际应用问题|为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值解(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量依题意，得an是首项为128，公比为150%的等比数列，bn是首项为400，公差为a的等差数

7、列所以an的前n项和 Sn256，bn的前n项和Tn400na.所以经过n年，该市被更换的公交车总数为S(n)SnTn256400na.(2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)10 000，所以256400×7a10 000，即21a3 082，所以a146.又aN*，所以a的最小值为147.解决数列应用题一个注意点解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，要求an还是Sn，特别是要弄清项数2某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每

8、年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围解：(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO2约y万吨，依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3，公差为0.3的等差数列，所以y5×9.3×(0.3)43.5(万

9、吨)所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43.5万吨(2)由已知得，2012年的SO2年排放量为9.30.39(万吨)，所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，公比为1p的等比数列由题意得9×(1p)8<6，由于0<p<1，所以1p<，所以1p<0.950 5，解得p>4.95%.所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为(4.95%,1)考点三数列与不等式的综合问题|(2015·高考浙江卷)已知数列an满足a1且an1ana(nN*)(1)证明：12(nN*)；(2)设数列a的前n项和为Sn，证明：(n

10、N*)证明(1)由题意得an1ana0，即an1an，故an.由an(1an1)an1得an(1an1)(1an2)(1a1)a1>0.由0<an得1,2，即12.(2)由题意得aanan1，所以Sna1an1.由和12得12，所以n2n，因此an1(nN*)由得(nN*)数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等 3(2016·云南一检)在数列an中，a1，an12，设bn，数列bn的前n项和是Sn.(1)证

11、明数列bn是等差数列，并求Sn；(2)比较an与Sn7的大小解：(1)bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，数列bn是公差为1的等差数列由a1，bn得b1，Sn3n.(2)由(1)知：bnn1n.由bn得an11.anSn73n6.当n4时，y3n6是减函数，y也是减函数，当n4时，anSn7a4S470.又a1S17<0，a2S27<0，a3S37<0，nN*，anSn70，anSn7.6.数列的综合应用的答题模板【典例】(12分)(2015·高考四川卷)设数列an(n1,2,3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1)求数

12、列an的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|<成立的n的最小值思路点拨由Sn2ana1，得a22a1，a34a1，再通过a1，a21，a3成等差数列确定首项a12是解决(1)的切入点；由(1)知是首项为，公比为的等比数列，所以Tn1，然后解不等式即可规范解答(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)所以a2.从而a22a1，a32a24a1.(2分)又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)所以a14a12(2a11)，解得a12.所以，数列an是首项为2，公比为2的等比数列故an2n.(6分)(2)由(

13、1)得.所以Tn1.(8分)由|Tn1|<，得<，即2n>1 000.因为29512<1 000<1 024210，所以n10.(10分)于是，使|Tn1|<成立的n的最小值为10.(12分)模板形成跟踪练习(2015·湖北七市联考)数列an是公比为的等比数列，且1a2是a1与1a3的等比中项，前n项和为Sn；数列bn是等差数列，b18，其前n项和Tn满足Tnn·bn1(为常数，且1)(1)求数列an的通项公式及的值；(2)比较与Sn的大小解：(1)由题意得(1a2)2a1(a31)，即2a1，解得a1，ann.设bn的公差为d，又即解得

14、或(舍)，.(2)由(1)知Sn1n，Snn1，又Tn4n24n，<，由可知<Sn.A组考点能力演练1(2015·杭州二模)在正项等比数列an中，2为a4与a14的等比中项，则2a7a11的最小值为()A16 B8C6 D4解析：因为an是正项等比数列，且2为a4与a14的等比中项，所以a4a148a7a11，则2a7a112a728，当且仅当a72时，等号成立，所以2a7a11的最小值为8，故选择B.答案：B2(2016·宝鸡质检)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之

15、和的是较小的两份之和，问最小的一份为()A. B.C. D.解析：由100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包，设较大的两份为20d,202d，较小的两份为20d,202d，由已知条件可得(2020d202d)20d202d，解得d，最小的一份为202d202×，故选A.答案：A3(2016·豫南十校联考)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的x，yR，都有f(x)·f(y)f(xy)若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是()A. B.C. D.解析：在f(x)·f(y)f(xy)中令

16、xn，y1，得f(n1)f(n)f(1)，又a1，anf(n)(nN*)，则an1an，所以数列an是首项和公比都是的等比数列，其前n项和Sn1，故选择C.答案：C4已知在等差数列an中，a1>0，d>0，前n项和为Sn，等比数列bn满足b1a1，b4a4，前n项和为Tn，则()AS4>T4 BS4<T4CS4T4 DS4T4解析：法一：设等比数列bn的公比为q，则由题意可得q>1，数列bn单调递增，又S4T4a2a3(b2b3)a1a4a1qa1(1q)a4(a4a1q)(b4b2)>0，所以S4>T4.法二：不妨取an7n4，则等比数列bn的公比q

17、2，所以S454，T445，显然S4>T4，选A.答案：A5正项等比数列an满足：a3a22a1，若存在am，an，使得am·an16a，m，nN*，则的最小值为()A2 B16C. D.解析：设数列an的公比为q，a3a22a1q2q2q2，ana1·2n1，am·an16aa·2mn216amn6，m，nN*，(m，n)可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m2，n4时，取最小值.答案：C6(2016·兰州双基)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn

18、_.解析：由题意，得(a13×2)2(a12)(a17×2)，解得a12，所以Sn2n×2n2n.答案：n2n7(2015·高考湖南卷)设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.解析：由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S23S1S3，即3S23S1S3S2，则3a2a3，得公比q3，所以ana1qn13n1.答案：3n18从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.解析：设倒n次后纯酒精与总溶液

19、的体积比为an，则ann，由题意知n<10%，n4.答案：49已知f(x)2sinx，集合Mx|f(x)|2，x>0，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列an，nN*.(1)求数列an的通项公式； (2)记bn，设数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn<.解：(1)|f(x)|2，xk，kZ，x2k1，kZ.又x>0，an2n1(nN*)(2)bn<，Tnb1b2bn<<，Tn<得证10已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2Sn·Sn1(n2)(1)求数列an的通项公式an；(2)求证：SSS.解：(1)an2Sn

20、3;Sn1(n2)，SnSn12Sn·Sn1.两边同除以Sn·Sn1，得2(n2)，数列是以2为首项，以d2为公差的等差数列，(n1)·d22(n1)2n，Sn.将Sn代入an2Sn·Sn1，得an(2)证明：S<(n2)，S，当n2时，SSS<；当n1时，S.综上，SSS.B组高考题型专练1(2015·高考浙江卷)已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由a12，an12an，得an2n(nN*)由题

21、意知：当n1时，b1b21，故b22.当n2时，bnbn1bn，整理得，所以bnn(nN*)(2)由(1)知anbnn·2n，因此，Tn22×223×23n·2n，2Tn222×233×24n·2n1，所以Tn2Tn222232nn·2n1.故Tn(n1)2n12(nN*)2(2015·高考安徽卷)设nN*，xn是曲线yx2n21在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标(1)求数列xn的通项公式；(2)记Tnxxx，证明：Tn.解：(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点(1,2)处

22、的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1)令y0，解得切线与x轴交点的横坐标xn1.所以数列xn的通项公式xn.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知Tnxxx222.当n1时，T1.当n2时，因为x2>，所以Tn>2××××.综上可得对任意的nN*，均有Tn.3(2014·高考新课标全国卷)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：<.证明：(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n12×3n1，所以.于是1<.所以<.