高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含答案.doc

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1、淘宝店铺：漫兮教育第三节空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、线、面的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义(2)了解可以作为推理依据的公理和定理(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题知识点一平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线易误提醒三点不一定能确定一个平面当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面自测练习1下列命题中，真命题是()A空间不同三点确

2、定一个平面B空间两两相交的三条直线确定一个平面C两组对边相等的四边形是平行四边形D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内解析：A是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；B不正确，两两相交的三条直线不一定共线；C不正确，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；D正确，故选D.答案：D知识点二空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系,图形语言符号语言a b是异面直线a易误提醒(1)直线与平面的位置关系包括线在面内与线在面外其中线在面外包括线与面相交和线与面平行，易出错(2)两平面的位置关系不平行一定

3、相交，一般指的是两不重合的平面自测练习2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_答案：b与相交或b或b知识点三异面直线所成角、平行公理及等角定理1异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角(2)范围：.2平行公理平行于同一条直线的两条直线平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补易误提醒1有关异面直线问题的易误点：(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交；(2)不能把异面直线误解为分别在是不同平面内的两

4、条直线(3)异面直线不具有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线2关于等角定理的易忽视点：(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等自测练习3已知a，b是异面直线，直线c直线a，那么c与b()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线解析：若cb，ca，ab，与a，b异面矛盾c，b不可能是平行直线答案：C4长方体ABCD

5、73;A1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线BD1与CC1所成的角为()A.B.C. D.解析：长方体中BB1CC1，则D1BB1为异面直线BD1与CC1所成的角，在BB1D1中，B1D1BB1，所以D1BB1，故选A.答案：A考点一平面的基本性质|1.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1AC，A1，C1，A，C四点共面，A1C平面ACC1A1，MA1C，M平面AC

6、C1A1，又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上A，M，O三点共线答案：A2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EFA1B.又A1BCD1，所以EFCD1，所以E，C，D1，F四点共面(2)因为EFCD1，EF<CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P

7、平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，所以P直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点证明线共面或点共面的三种常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合考点二空间两直线的位置关系|1(2016·绵阳模拟)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为()A0B1C2 D3解析：在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交

8、，还可能异面，所以错，显然成立，故选B.答案：B2下列四个命题中错误的是()A若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面B若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D两条异面直线不可能垂直于同一个平面解析：过两条平行直线，有且只有一个平面，A正确；如果四点中存在三点共线，则四点共面，B正确；两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，这样的两条直线共面，D正确答案：C判断空间两直线位置关系的三种策略(1)对于异面直线，可采用直接法或反证法进行判定(2)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、

9、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断(3)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直考点三异面直线所成角|(2015·高考浙江卷)如图，在三棱锥A­BCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_解析如图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则MEAN，则异面直线AN，CM所成的角即为EMC.由题可知CN1，AN2，ME.又CM2，DN2，NE，CE，则cos CME.答案(1)作异面直线所成的角常用平移法，平移法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端

10、点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲为：“一作、二证、三求”计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行直三棱柱ABC­A1B1C1中，若BAC90°，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30°B45°C60°D90°解析：分别取AB，AA1，A1C1的中点D，E，F，则BA1DE，AC1EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为DEF(或其补角)，设ABACAA12，则DEEF，DF，由余弦定理得，DEF120°.答案：C22.构造模型法判断空间线面位置关系【典例】已知m，n是

11、两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确的命题是()A BCD思维点拨构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系解析借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、互相垂直，如图(2)所示；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn.答案A方法点评(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地

12、作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断跟踪练习下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到

13、平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确答案：CA组考点能力演练1l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：如图长方体ABCD­A1B1C1D1中，ABAD，CDAD但有ABCD，因此A不正确；又ABDCA1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直

14、的定义易知B正确答案：B2(2016·广东佛山模拟)如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A. B. C. D2解析：如图，取AC中点G，连FG，EG，则FGC1C，FGC1C；EGBC，EGBC，故EFG即为EF与C1C所成的角，在RtEFG中，cosEFG.答案：B3如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()解析：在A图中分别连接PS，QR，易证PSQR，P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQRS，P，Q，

15、R，S共面；如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，四点不共面，故选D.答案：D4.(2016·衡水中学模拟)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行解析：连接C1D，BD.N是D1C的中点，N是C1D的中点，MNBD.又CC1BD，CC1MN，故A，C正确ACBD，MNBD，MNAC，故B正确故选D.答案：D5如图所示，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQAC，则下列命题中，错误

16、的是()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45°解析：由题意可知PQAC，QMBD，PQQM，所以ACBD，故A正确；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正确；由PNBD知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以MPN45°，故D正确；而ACBD没有条件说明其相等，故选C.答案：C6设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序

17、号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错答案：7(2016·济南一模)在正四棱锥V­ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为_解析：如图，设ACBDO，连接VO，因为四棱锥V­ABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC，所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案：8.如图所示，正方

18、体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)解析：由图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.答案：9已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D、B、F、E四

19、点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线证明：(1)如图所示，因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，所以EFBD.所以EF，BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q.又QEF，所以Q.则Q是与的公共点，同理，P点也是与的公共点所以PQ.又A1CR，所以RA1C，R且R.则RPQ，故P、Q、R三点共线10.如图，在三棱锥P­ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，

20、PA2.求：(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC×2×22，三棱锥P­ABC的体积为VSABC·PA×2×2.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.B组高考题型专练1(2014·高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1

21、与l4的位置关系不确定解析：如图所示正方体ABCD ­A1B1C1D1，取l1为BB1，l2为BC，l3为AD，l4为CC1，则l1l4，可知选项A错误；取l1为BB1，l2为BC，l3为AD，l4为C1D1，则l1l4，故B错误，则C也错误，故选D.答案：D2(2015·高考广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交解析：可用反证法假设l与l1，l2都不相交，因为l与l1都在平面内，于是ll1，同理

22、ll2，于是l1l2，与已知矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交答案：D3(2014·高考大纲卷)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：设正四面体ABCD的棱长为2.如图，取AD的中点F，连接EF，CF.在ABD中，由AEEB，AFFD，得EFBD，且EFBD1.故CEF为直线CE与BD所成的角或其补角在ABC中，CEAB；在ADC中，CFAD.在CEF中，cosCEF.所以直线CE与BD所成角的余弦值为.答案：B4(2015·高考四川卷)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为_解析：取BF的中点N，连接MN，EN，则ENAF，所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角在EMN中，当点M与点P重合时，EMAF，所以当点M逐渐趋近于点Q时，直线EN与EM的夹角越来越小，此时cos 越来越大故当点M与点Q重合时，cos 取最大值设正方形的边长为4，连接EQ，NQ，在EQN中，由余弦定理，得cosQEN，所以cos 的最大值为.答案：