考点21 平面向量基本定理与坐标表示及运算-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过.docx

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1、考点21平面向量基本定理与坐标表示及运算【命题解读】 平面向量基本定理与坐标表示及运算是高考的一个热门考点，对于平面向量的考察主要从这方面出题，尤其是数量积的运算是考察的重中之重，题目的难易度适中，以选择或者填空为主，出多项选择题的机率也是比较大的，总体来说还是学生比较好得分的。【命题预测】预计2021年的高考平面向量基本定理与坐标表示及运算还是以选择题或者填空题为主，难易度以中等难度为主，数量积的运算考察机率大。【复习建议】 集合复习策略：1.理解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解和坐标表示；3.理解平面向量的数量积运算；4.掌握运用坐标进行平面向量的加法、减法、数乘与数量

2、积的运算。考向一平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数1，2，使a=1e1+2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算a=（x1，y1） b=（x2，y2）a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) a=(x1，y1)(2)向量的坐标求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1)， |AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.&#

3、160;3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b0，则aba=b(R) x1y2-x2y1=0. 1. 【2020湖南省高三月考】如图所示，在中，点在线段上，且，若，则ABC2D【答案】B【解析】，所以，从而求得，故选B2. 【2020安徽省高三月考】设为所在平面内一点，若，则_【答案】-3【解析】为所在平面内一点, ，B，C，D三点共线.若，化为： =+，与=+，比较可得： ，解得.即答案为-3.考向二 平面向量的数量积及坐标运算1.平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内

4、积),记作a·b,即a·b=|a|b|cos ,并规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0. (2)几何意义向量的投影: a|cos (|b|cos )叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. 向量的数量积:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积. (3)向量的夹角已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则AOB=(0°180°)叫作向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作ab. 2.平面向量数量积的运算律已

5、知向量a,b,c和实数. 交换律: a·b=b·a;  数乘结合律:(a)·b=(a·b)= a·(b) (R); 分配律:(a+b)·c= a·c+b·c. 3.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,是a与e的夹角. e·a=a·e=|a|cos .  ab a·b=0.  当a与b同向时,a·b=|a|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|b|. 特别地,a·a=

6、|a|2或|a|=a·a  cos =a·b|a|b|. |a·b|a|b|. 4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角.|a|=x12+y12a·b= x1x2+y1y2ab x1x2+y1y2=0cos = x1x2+y1y2x12+y12x22+y221. 【2020四川省阆中中学高三二模】已知向量，且，则m=A8B6C6D8【答案】D【解析】，又，3×4+（2）×（m2）0，解得m8故选D2. 【2020河北省高三月考】已知向量，满足，且，

7、则向量与的夹角的余弦值为ABCD【答案】D【解析】由题意可知：，解得：.故选：D.3. 【2020湖北省高三零模】已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为ABCD【答案】B【解析】在上投影为，即.，又，.本题选B题组一（真题在线）1. 【2020年高考全国卷文数】已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是Aa+2bB2a+bCa2bD2ab2. 【2020年新高考全国卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是A B C D3. 【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A BC D 4. 【2019年高考全

8、国II卷理数】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A3B2C2D35. 【2020年高考全国卷文数】设向量，若，则 .6. 【2020年高考天津】如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_7. 【2020年高考北京】已知正方形的边长为2，点P满足，则_；_8. 【2020年高考浙江】已知平面单位向量，满足设，向量，的夹角为，则的最小值是_9. 【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则_.10. 【2019年高考天津卷理数】在四边形中，点在线段的延长线上，且，则_题组二1. 【2020全国高三月考（理）】如图，在

9、中，为边的中点，且，则向量的模为（ ）ABC或D或2. 【2020山东济宁·高三其他模拟】已知点是边长为的正方形的内切圆上一动点，则的取值范围是（ ）ABCD3. 【2020湖南长郡中学高三月考】若平面向量，满足，则对于任意实数，的最小值是（ ）ABCD4. 【2020河南省高考模拟】已知平面内的两个单位向量，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且，若，则值为ABC2D45. 【2020沙坪坝重庆八中高三月考】已知向量，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若在上的投影为，则向量与的夹角为C存在，使得D的最大值为6.【2020重庆西南大学附中高三月考】如图，

10、中，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是（ ）A在方向上的投影为0BCD若，则 7. 【2020全国高三月考（理）】已知的重心为，其中，且，共线， 则_8.【2020湖北省鄂州高中高三月考】在中，则的大小为_.9. 【2020甘肃省武威十八中高三期末】已知向量，若，则_.10. 【2020江西省宁都中学高三月考】如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，则的最小值为_.题组一1.D【解析】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.2.A【解析】

11、如图，的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.3.B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B4. C【解析】由，得，则，故选C5. 5【解析】由可得，又因为，所以，即，故答案：5.6. ；【解析】，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,，的坐标为,又,则，设，则（其中），所以，当时，取得最小值.故答案为：；.7. ；【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，则点，因此，.故答案为：；.8

12、. 【解析】，.故答案为：.9. 【解析】因为，所以，所以，所以 10. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30°，则，.因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，所以.所以.题组二1. B【解析】因为，所以.因为，所以故选：B2.B【解析】建立坐标系如图所示，设，其中,易知，.故选：B.3.A【解析】由题意得，设向量夹角为，则，设与的夹角为，故选：A4. D【解析】由题意，可得在的角平分线上，所以,再由可得，即，再由，得，解得，故，所以，故选D5. BCD【解析】若，则，则，故A错误；若在上的投影为，且，则，故B正确；若，若，则，即，故，故C正确； ，因为，则当时，的最大值为，故D正确，故选：BCD6.ABC【解析】因为在中，在中，由余弦定理得，所以满足，所以，又E为CD的中点，所以，所以，对于A选项：在方向上的投影为，故A正确；对于B选项：，故B正确；对于C选项：，故C正确；对于D选项：，设，所以，解得（负值舍去），故D不正确，故选：ABC.7. 3【解析】的重心为，共线，则存在实数，使得,，解得，.故答案为：3.8. 【解析】由题意，得.因为，所以为正三角形，从而.9.4【解析】，故答案为410. 【解析】根据条件：,又,.又,三点共线,.,.的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为.