专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

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1、专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值新课程考试要求了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例2）、数学运算（多例）、数据分析等.考向预测（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性（3）以研究函数的

2、单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势 （4）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；（5）适度关注生活中的优化问题.【知识清单】1函数的极值 (1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左

3、侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值【考点分类剖析】考点一 ：函数极值的辨析【典例1】（2021·河北沧州市·高三三模）已知函数，则（ ）A的单调递减区间为B的极小值点为1C的极大值为D的最小值为【答案】C【

4、解析】先对函数求导，令，再利用导数判断其单调性，而，从而可求出的单调区间和极值【详解】.令，则，所以在上单调递减.因为，所以当时，；当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故的极大值点为1，的极大值为故选：C【典例2】（2020·江苏高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）A是函数的极小值点B是函数的极小值点C函数在区间上单调递增D函数在处切线的斜率小于零【答案】BC【解析】由图象得时，时，故在单调递减，在单调递增，故是函数的极小值点，故选：BC【总结提升】1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f

5、(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f (x)的图象，应先找出f (x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解2.f(x)在xx0处有极值时，一定有f (x0)0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在xx0两侧的符号后才可下结论；若f (x0)0，则f(x)未必在xx0处取得极值，只有确认x1<x0<x2时，f(x1)·f(x2)<0，才可确定f(x)在xx0处取得极值【变式探究】1. （2020·山东高二期中）【多选题】已知函数，则（ ）A时，的图象位于轴下方B

6、有且仅有一个极值点C有且仅有两个极值点D在区间上有最大值【答案】AB【解析】由题,函数 满足 ,故函数的定义域为由 当 时 ，所以，则的图象都在轴的下方，所以A正确；又，在令 则 ，故 函数单调递增，则函数 只有一个根 使得 当时 函数单调递減 ，当时，函数单调递增，所以函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确；又 所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确.故选：AB.2.（重庆高考真题）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f (x)，且函数y(1x)f (x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(D)A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)

7、和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】D【解析】由函数的图象可知，f (2)0，f (1)0，f (2)0，并且当x2时，f (x)0，当2x1，f (x)0，函数f(x)有极大值f(2)又当1x2时，f (x)0，当x2时，f (x)0，故函数f(x)有极小值f(2)故选D【易错提醒】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值考点二：

8、已知函数求极值点的个数【典例3】（2021·山东日照市·高三月考）已知函数（1）若讨论的单调性；（2）当时，讨论函数的极值点个数【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）答案见解析【解析】（1）求得，令，可得，求得函数的单调性，结合，结合的符号，即可求解；（2）当时，由（1）得到只有一个极值点；当时，由，求得，得出函数的单调性和最值，再结合和分类讨论，结合单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数定义域为，可得，令，可得，因为所以，所以在上为增函数，又因为，所以，所以的增区间为，的减区间为（2）当时，由（1）可知在上有唯一极小值，所以极值点个数为1个当时，则，得，当时

9、，时，所以，令，因为，所以，即在上单调递减，所以，所以（）当时，在上恒成立，即在上恒成立，所以无极值点（）当时，即易知，所以存在唯一使得，且当时，当时，则在处取得极大值；又，所以当时，当时，即在处取得极小值；故此时极值点个数为2，综上所述：当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为2；当时，的极值点个数为1【易错提醒】极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号【变式探究】（2019·河南高考模拟（文）已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值点个数.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）依题意，故，又，故所求切线方程为.（

10、2）依题意.令，则，且当时，当时，所以函数在单调递减，在单调递增，当时，恒成立，.函数在区间单调递增，无极值点； 当时，故存在和，使得，当时，当时，当时，所以函数在单调递减，在和单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点.综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点.考点三：已知函数求极值（点）【典例4】（2021·安徽师范大学附属中学高三其他模拟（文）函数的极值点是_.【答案】1【解析】利用导数判断单调性，即可求出极值点.【详解】的定义域为，所以令，解得，令，解得，所以为的极值点.故答案为：1.【典例5】（2020·河北高三其他模拟（文）已知函数，.（1）当时，证明：

11、；（2）当时，函数是否存在极大值，若存在，求出极大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，极大值为0.【解析】(1)把代入，结合导数可求的最大值，然后结合二次函数的性质可求的最小值，进而可证；(2)先对求导，然后确定导数符号，判断函数的单调性，然后结合函数的性质及极值存在条件可求.【详解】（1）当时，易得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故，因为，所以，（2）由题意得，()，令，则，当时，在上单调递减，且，所以当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取得极大值，当时，令得，当时，单调递增，当时，单调递减，且，所以，又，所以存在使得，当时，单调递减，当时，单调递增

12、，当时，单调递减，所以的极大值，综上，当时，的极大值为0.【规律方法】(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0,求出函数定义域内的所有根；检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值(2)若函数yf(x)在区间(a,b)内有极值,那么yf(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值【变式探究】1. （2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文）若是函数的极值点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】求导，根据是函数的极值点，由

13、求解.【详解】因为函数，所以，因为是函数的极值点，所以，即，两边取以e为底的对数得： ，即，令 ，即 ，因为，所以 在上递增，所以，即，故选：C2.（2020·山东潍坊中学高二月考）已知是的极小值点，那么函数的极大值为_.【答案】【解析】函数的导数，由题意得，即，解得，得或，即函数在和上单调递增；，得，函数在上单调递减；故在处取极小值，处取极大值，且为即故答案为：考点四：已知极值(点)，求参数的值或取值范围【典例6】（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（文）已知函数在处有极值10，则（ ）AB0C或0D或6【答案】A【解析】根据数在处有极小值10，可得，

14、求出参数的值，然后再验证，得到答案.【详解】由函数有.函数在处有极小值10.所以，即解得: 或当时，令得或，得所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.显然满足函数在处有极小值10.当时，所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10.所以故选：A【典例7】（2018·北京高考真题（文）设函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.（）若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为0，求a；（）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（）12；（）(1,+)【解析】（）因为f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex，所以f'(x)=a

15、x2-(a+1)x+1ex.f'(2)=(2a-1)e2，由题设知f'(2)=0，即(2a-1)e2=0，解得a=12.（）方法一：由（）得f'(x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex.若a>1，则当x(1a,1)时，f'(x)<0；当x(1,+)时，f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a1，则当x(0,1)时，ax-1x-1<0，所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1,+).方法二：f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.（1）

16、当a=0时，令f'(x)=0得x=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1)1(1,+)f'(x)+0f(x)极大值f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.当x1=x2，即a=1时，f'(x)=(x-1)2ex0，f(x)在R上单调递增，f(x)无极值，不合题意.当x1>x2，即0<a<1时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1)1(1,1a)1a(1a,+)f'(x)+00+f(x)极大值极小值f(x)在x=1处取得极大值，

17、不合题意.当x1<x2，即a>1时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1a)1a(1a,1)1(1,+)f'(x)+00+f(x)极大值极小值f(x)在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(-,1a)1a(1a,1)1(1,+)f'(x)0+0f(x)极小值极大值f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为(1,+).【规律方法】由函数极值（个数）求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转

18、化为讨论f(x)0根的有无(个数)然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号【变式探究】1.（2021·四川成都市·石室中学高三一模（文）在中，分别为，所对的边，若函数有极值点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】先求出，根据条件可得有两个不同的实数根，从而其，得到，由余弦定理得出的范围，再由余弦的二倍角公式结合二次函数的性质可得答案.【详解】由，根据有极值点，则有两个不同的实数根.所以，即由余弦定理可得，由，所以，由，则所以的范围是故选：B2.（2020·石

19、嘴山市第三中学高二期末（理）设函数在处取得极值为0，则_【答案】【解析】，因为函数y=f(x)在处取得极值为0，所以，解得（舍）或，代入检验时无极值所以（舍）符合题意所以=填【特别提醒】已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性考点五：利用导数求函数的最值【典例8】（2021·北京高考真题）已知函数（1）若，求在处切线方程；（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值【答案】（1）；（2）函数的

20、增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.【解析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当时，则，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，. 【规律方法】求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f(x)，解方程f(x)0；第三步列出关于x，f(x)，f(x)的变化表；第四步求极值、端点值，比较大小，确定最值特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较

21、【典例9】（2019·全国高考真题（文）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2) .【解析】 (1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为. 所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 所以，而，所以.即的取值范围是.综上

22、得的取值范围是.【易错提醒】求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值【变式探究】1.（2020·浙江宁波诺丁汉附中高二期中）已知函数则的最小值为_，最大值为_.【答案】 【解析】则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，则当时，；又，所以.故答案为： ；.2.（2019·新疆高考模拟（文）已知函数（其中e是自然对数的底数）当时，求的最小值；当时，求在上的最小值【答案】（I）；（II） 【解析】（I）时， 当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增当时，取得最小值

23、（II），令得作出和的函数图象如图所示：由图象可知当时，即当时，即在上单调递减，在上单调递增的最小值为考点六：根据函数的最值求参数的值（范围）【典例10】（2021·全国高三二模）已知直线与曲线相切，当取得最大值时，的值为_【答案】【解析】设切点为，根据导数的几何意义，可得，即可求得b的表达式，又切点在曲线上，代入可得，设，利用导数判断其单调性，求得极值，即可得答案.【详解】设切点为，因为，所以，即，又因为，所以，所以.令所以当时，则在区间上单调递增，当时，则在区间上单调递减所以所以的最大值为1，此时.故答案为：1【典例11】（2021·重庆高三其他模拟）已知函数，.（1）

24、求的单调性；（2）若，且的最小值小于，求的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）【解析】（1）求出导函数，判断函数在当时，当时，判断导函数的符号，判断函数的单调性（2）求解函数的单调区间，求出函数的最小值，再构造函数，判断函数的单调性，结合零点存在定理即可求解【详解】解：（1），当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，则，令，则，在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增，（2）由（1）知，则，令，则，令，在上单调递减，又， ，存在，使得，即，在上单调递增，在，上单调递减，又， ，的取值范围为【易错提醒

25、】1由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论2已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决【变式探究】1（2021·四川高三月考（文）设函数，已知且，若的最小值为，则的值为（ ）ABC或D2【答案】A【解析】令，得到.令，则，分类讨论函数的单调性，即可求得.【详解】令，由图象可知.因为，则，得，所以.令，则，当时，在上单调递减，所以，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，舍去.综上可得.故选A.2.（2019·北京高考模拟（文）设函数 若，则的最小值为_； 若有最小值，则实数的取值范围是_【答案】 【解析】（1）当a=1,=()=()>0,1>x>ln2;()<0,x<ln2;故当=，单调递增，故，又所以的最小值为0(2) 当a<0时，由(1)知=单调递减，故（）单调递减，故故无最小值，舍去；当a=0时，f(x)最小值为-1，成立当a>0时，（）单调递增，故对=，当0<aln2,由(1)知,此时最小值在x=a处取得，成立当a>ln2, 由(1)知,此时最小值为,即有最小值，综上a故答案为 ；