高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案:7.7 立体几何中的向量方法 Word版含答案_20210103224747.doc
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1、淘宝店铺:漫兮教育第七节立体几何中的向量方法空间角(1)空间角的定义(2)掌握线线角、线面角、面面角的求法知识点一直线的方向向量与平面的法向量1直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量2平面的法向量:直线l,取直线l的方向向量a,则向量a叫作平面的法向量易误提醒(1)通常取直线上的两个特殊点构成直线的方向向量;当直线平行于x轴,y轴或z轴时,直线的方向向量可分别取i(1,0,0),j(0,1,0),k(0,0,1)(2)求平面的法向量时,建立的方程组有无数组解,利用赋值法,只要给x,y,z中的一个变量赋一特殊值(常赋值1,0,1),
2、即可确定一个法向量,赋值不同,所求法向量不同,但n(0,0,0)不能作为法向量必备方法平面的法向量求法步骤:(1)设平面的法向量为n(x,y,z)(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2);(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(4)解方程组,取其中的一组解,即得法向量自测练习1若直线l平面,直线l的方向向量为s、平面的法向量为n,则下列结论正确的是()As(1,0,2),n(1,0,1)Bs(1,0,1),n(1,2,1)Cs(1,1,1),n(1,2,1)Ds(1,1,1),n(2,2,2)解析:直线与平面平行,直线的方向向量和
3、平面的法向量垂直,经检验只有选项C中s·n0,故选C.答案:C2设u(2,2,t),v(6,4,4)分别是平面,的法向量若,则t()A3B4C5 D6解析:,则u·v2×62×(4)4t0,t5.答案:C知识点二利用空间向量求空间角1求两条异面直线所成的角设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则l1与l2所成的角a与b的夹角a,b范围0<0<a,b<关系cos |cos a,b|cosa,b2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,则sin |cosa,n|.3求二面角的大小(1)
4、若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角(如图a)(2)设n1,n2分别是二面角l的两个半平面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图b、c)易误提醒(1)空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同,如两向量的夹角范围是0,两异面直线所成的角的范围是.(2)用平面的法向量求二面角时,二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况自测练习3已知两平面的法向量分别为m(0,1,0),n(0,1,1),则两平面所成的二面角为()A45° B135°C45°或135° D90
5、176;解析:cosm,n,即m,n45°,其补角为135°.两平面所成二面角为45°或135°.答案:C4若平面的一个法向量为n(4,1,1),直线l的一个方向向量为a(2,3,3),则l与所成角的正弦值为_解析:设l与所成角为,则sin |cosn,a|.答案:考点一异面直线所成角|(2015·云南模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AB的中点(1)求直线AD和直线B1C所成角的大小;(2)求证:平面EB1D平面B1CD.解不妨设正方体的棱长为2个单位长度,以DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示
6、的空间直角坐标系Dxyz.根据已知得:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2)(1)(2,0,0),(2,0,2),cos,.直线AD和直线B1C所成角为.(2)证明:取B1D的中点F,得F(1,1,1),连接EF.E为AB的中点,E(2,1,0),(1,0,1),(0,2,0),·0,·0,EFDC,EFCB1.DCCB1C,EF平面B1CD.又EF平面EB1D,平面EB1D平面B1CD.注意向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是此异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的
7、夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角1直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,设BC2,则B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以(1,1,2),(1,0,2),故BM与AN所成角的余弦值cos .答案:C考点二直线与平面所成角|(2015·高考全国卷)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB16,BC10,AA18,点E,F分别在A1B1,D1
8、C1上,A1ED1F4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面所成角的正弦值解(1)交线围成的正方形EHGF如图(2)作EMAB,垂足为M,则AMA1E4,EMAA18.因为EHGF为正方形,所以EHEFBC10.于是MH6,所以AH10.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),(10,0,0),(0,6,8)设n(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则即所以可取n(0,4,3)又
9、(10,4,8),故|cosn,|.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角2如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,DAB90°,ADBC,AD侧面PAB,PAB是等边三角形,DAAB2,BCAD,E是线段AB的中点(1)求证:PECD;(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值解:(1)证明:因为AD侧面PAB,PE平面PAB,所以A
10、DPE.又因为PAB是等边三角形,E是线段AB的中点,所以PEAB.因为ADABA,所以PE平面ABCD.而CD平面ABCD,所以PECD.(2)以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0),C(1,1,0),D(2,1,0),P(0,0,)(2,1,0),(0,0,),(1,1,)设n(x,y,z)为平面PDE的法向量由即令x1,可得n(1,2,0)设PC与平面PDE所成的角为,则sin |cos,n|.所以PC与平面PDE所成角的正弦值为.考点三二面角|(2015·高考北京卷)如图,在四棱锥AEFCB中,AEF为等边三角形,平面AE
11、F平面EFCB,EFBC,BC4,EF2a,EBCFCB60°,O为EF的中点(1)求证:AOBE;(2)求二面角FAEB的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值解(1)证明:因为AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB,AO平面AEF,所以AO平面EFCB.所以AOBE.(2)取BC中点G,连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形,所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB,又OG平面EFCB,所以OAOG.如图建立空间直角坐标系Oxyz,则E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,(2a),0),(a,0,a),(a2,
12、(a2),0)设平面AEB的法向量为n(x,y,z),则即令z1,则x,y1.于是n(,1,1)平面AEF的法向量为p(0,1,0)所以cosn,p.由题知二面角FAEB为钝角,所以它的余弦值为.(3)因为BE平面AOC,所以BEOC,即·0.因为(a2,(a2),0),(2,(2a),0),所以·2(a2)3(a2)2.由·0及0<a<2,解得a.3(2015·高考安徽卷)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EFB1
13、C;(2)求二面角EA1DB1的余弦值解:(1)证明:由正方形的性质可知A1B1ABDC,且A1B1ABDC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1CA1D,又A1D面A1DE,B1C面A1DE,于是B1C面A1DE.又B1C面B1CD1,面A1DE面B1CD1EF,所以EFB1C.(2)因为四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,所以AA1AB,AA1AD,ABAD且AA1ABAD,以A为原点,分别以,为x轴,y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0
14、,1,1),而E点为B1D1的中点,所以E点的坐标为(0.5,0.5,1)设面A1DE的法向量n1(r1,s1,t1),而该面上向量(0.5,0.5,0),(0,1,1),由n1,n1得(1,1,1)为其一组解,所以可取n1(1,1,1)设面A1B1CD的法向量n2(r2,s2,t2),而该面上向量(1,0,0),(0,1,1),由此同理可得n2(0,1,1)所以结合图形知二面角EA1DB1的余弦值为.24.向量法在立体几何探索性问题中的应用【典例】(2016·绵阳诊断)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90°,AE平面ABCD,EFCD,BCCDAEEFAD1.
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