高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：6.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 Word版含答案.doc

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1、淘宝店铺：漫兮教育第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题简单的线性规划(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决知识点一二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC>0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分易误提醒画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为axbyc>0(a>0)必备方法确定二元一次不等式表示平面区域的方法

2、：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在直线的同一侧，反之在直线的另一侧自测练习1不等式组表示的平面区域是()解析：x3y60表示直线x3y60及右下方部分，xy2<0表示直线xy20左上方部分故不等式组表示的平面区域为选项B所示部分答案：B2不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C. D.解析：平面区域如图所示解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.SABC××1.答案：C知识点二线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条

3、件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题易误提醒线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有自测练习3已知变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y的取值范围为()A7,23 B8,23C7,8 D7,25解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z2x

4、3y得yx，平移直线yx知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B(2,1)，zmin2×23×17，在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A(4,5)，zmax2×43×523，故选A.答案：A4已知点P(x，y)满足目标函数zxay(a<0)的最大值和最小值之和为0，则a的值为()A B2C1 D解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，A(1,0)，B(2,1)，C(1,1)，当zxay过点A，B，C时，z的值分别为1,2a,1a.a<0，zmin1a.当2a>1，即a>1时，zmax2a，2a1a0，a(舍去

5、)；当2a1，即a1时，zmax1，11a0，a2，符合条件，故选B.答案：B考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域|1(2016·济南模拟)不等式组表示的平面区域的面积为()A4B1C5 D无穷大解析：不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即为所求求出点A，B，C的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则ABC的面积为S×(21)×21.答案：B2(2015·高考重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A3 B1C. D3解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组

6、表示的平面区域为三角形，则m>1.由解得即A(1m,1m)由解得即B.因为SABCSADCSBDC(22m)(m1)2，所以m1或m3(舍去)，故选B.答案：B3设集合A，B(x，y)|3xy110，则AB中元素的个数为()A0 B1C2 D无数解析：由题意作出集合A表示的平面区域如图中阴影部分所示，在同一直角坐标系中作出集合B表示的直线，观察图形可知，两集合的交集为一条线段，故AB中的元素有无数个答案：D确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有

7、等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，即在直线AxByC0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧常选(1,0)或(0,1)点考点二线性目标函数的最值及应用|线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致归纳起来常见的命题探究角度有：1求线性目标函数的最值2求非线性目标函数的最值3求线性规划中的参数4线性规划的实际应用探究一求线性目标函数的最值1(2015·高考全国卷)

8、若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A处，z取得最大值，且zmax.答案：探究二求非线性目标函数的最值2(2015·高考全国卷)若x，y满足约束条件则的最大值为_解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A(1,3)处，取得最大值3.答案：3探究三求线性规划中的参数值或范围3(2015·高考山东卷)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3B2C2 D3解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数zaxy的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上

9、的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有a×204，解得a2.答案：B4已知实数x，y满足不等式组若目标函数zyax(aR)取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是()A(1，) B1，)C(2，) D2，)解析：如图所示，当a0时，直线yaxz知在点(1,3)不可能取得最大值，则当a>0时，目标函数zyax要在(1,3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a>1，故选A.答案：A探究四线性规划的实际应用5(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产

10、品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B16万元C17万元 D18万元解析：根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则目标函数为z3x4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x4y0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax3×24×318，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.答案：D1求目标函数的最值的三个步骤：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(

11、1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.20.转化思想在非线性目标函数最值问题中的应用【典例】变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围思维点拨点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，·表示点(x，y)和连线的斜率；x2y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示点(x，y)和点(3,2)的距离的平方解(1)由约束条

12、件作出(x，y)的可行域如图所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)z×z的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin×.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.16z64.方法点评(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是

13、利用转化思想与数形结合的思想方法，给目标函数赋予一定的几何意义(3)本题错误率较高出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题跟踪练习(2016·湖州质检)已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tanAOB的最大值等于()A.B.C. D.解析：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A为(1,2)，B为(2,1)时，tanAOB取得最大值，此时由于tan kBO，tan kAO2，故tanAOBtan ()，故选C.答案：CA组考点能力演练1(2016·唐山期末)设变量x，y满足则目标函数z2x3y的最小值为()

14、A7B8C22 D23解析：变量x，y满足的区域如图阴影部分所示：目标函数z2x3y在点(2,1)处取得最小值7，故选A.答案：A2在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为()A2 B.C. D1解析：作出可行域如图所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max1，故选D.答案：D3在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A(x，y)|xy1，且x0，y0，则平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积为()A2 B1C. D.解析：不等式所表示的可行域如图所示，设axy，bxy，则此两目标函数的范围分别为axy0,1，bxy1,1，又ab2

15、x0,2，ab2y0,2，点坐标(xy，xy)，即点(a，b)满足约束条件作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S×2×11，故选B.答案：B4设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a>0，b>0)的最大值为4，则ab的取值范围是()A(0,4) B(0,4C4，) D(4，)解析：作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，zaxby(a>0，b>0)过点A(1,1)时取最大值，ab4，ab24，a>0，b>0，ab(0,4，故选B.答案：B5已知实数x，y满足：则z2x2y1的取值

16、范围是()A.B0,5C.D.解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x2y10，平移l可知2×2×1z<2×22×(1)1，即z的取值范围是.答案：D6(2015·石家庄二检)已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数zkxy(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k的值为_解析：由目标函数zkxy(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kxy0的倾斜角为120°，于是有ktan 120°，所以k.答案：7

17、已知实数x，y满足则wx2y24x4y8的最小值为_解析：目标函数wx2y24x4y8(x2)2(y2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方由实数x，y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线xy10的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又，所以wmin.答案：8(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是_万元

18、解析：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，由题意知利润z5x3y，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x3，y4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元答案：279已知实数x，y满足求z的取值范围解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z2的取值范围可转化为点(x，y)与(1，1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，1)与(，1)所在直线的斜率为22，点(0,0)与(1，1)所在直线的斜率为1，所以z的取值范围为(，124，)10若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax

19、2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，过A(3,4)取最小值2，过C(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知1<<2，解得4<a<2.故所求a的取值范围为(4,2)B组高考题型专练1(2015·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数zx6y的最大值为()A3 B4C18 D40解析：作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z取得最大值18.答案：C2(

20、2014·高考新课标全国卷)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5 B3C5或3 D5或3解析：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解当a5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)由得交点A(3，2)，则目标函数zx5y过A点时取得最大值zmax35×(2)7，不满足题意，排除A，C选项当a3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)由得交点B(1,2)，则目标函数zx3y过B点时取得最小值zmin13×27，满足题意答案：B3(2015·高考广东卷)若变量x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为()A4 B.C6

21、 D.解析：作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线yx经过点A时z取得最小值由得此时，zmin3×12×.答案：B4(2014·高考安徽卷)不等式组表示的平面区域的面积为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知SABC×2×(22)4.答案：45(2015·高考北京卷)如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z2x3y的最大值为_解析：由题意，目标函数z2x3y的可行域为ABC边界及其内部(如图所示)，令z0，即2x3y0，平移直线2x3y0至目标函数的可行域内，可知当2x3yz过点A(2,1)时，z取得最大值，即zmax2×23×17.答案：7