考点21 数列的概念与简单表示法-备战2020年高考数学（理）考点一遍过_20210103224731.docx

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1、考点21 数列的概念与简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.一、数列的相关概念1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成简记为2数列与函数的关系数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方

2、法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集）这一条件.3数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10无穷数列项数无限的数列，如数列1，2，3，4，按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，常数列各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正数，如1

3、，1，1，1，1，1，无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，二、数列的表示方法（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况（2）解析法：主要有两种表示方法，通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图由此

4、可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点三、数列的前n项和与通项的关系数列的前n项和通常用表示，记作，则通项若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示考向一 已知数列的前几项求通项公式1常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用或处理根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

5、2常见的数列的通项公式：（1）数列1，2，3，4，的通项公式为；（2）数列2，4，6，8，的通项公式为；（3）数列1，4，9，16，的通项公式为；（4）数列1，2，4，8，的通项公式为；（5）数列1，的通项公式为；（6）数列，的通项公式为3根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式典例1 根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.（1）；（2）8，98，998，9998，;（3）;（4）1，6，12，20，；（5）【解析】（1）符号问题可通过或表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面

6、的数的绝对值总比前面数的绝对值大，故通项公式为.（2）各项分别加上2，即得数列:10，100，1000，10000， ，故数列的一个通项公式为an=10n2.（3）各项的分母依次为:21，22，23，24， ，容易看出第2，3，4项的分子比相应分母小3，再由各项的符号规律，把第1项变形为，既符合符号变化的规律，也满足了分子与分母之间的关系，故数列的一个通项公式为.（4）容易看出第2，3，4项满足规律:项的序号×(项的序号+1).而第1项却不满足，因此考虑分段表示，即数列的一个通项公式为.（5）数列变形为所以.典例2 如图，图、图、图、图分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形

7、，按同样的方式构造图形，则第个图包含的单位正方形的个数是ABCD【答案】C【解析】设第个图包含个互不重叠的单位正方形，图、图、图、图分别包括1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，由此类推可得：.经检验满足条件.故选C.【名师点睛】本题解题的关键是研究相邻两项的关系得出递推公式，再由累加法法得出第项的表达式，利用等差数列的求和公式即可得出答案，属于中档题.根据图、图、图、图分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，寻找规律，可得第个图包含个互不重叠的单位正方形，求和即可得到答案.1数列的通项公式不可能为ABCD考向二 利用与的关系求通项公式已知求的一般步骤：（1）先利用求出；（2）

8、用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起典例3 在数列an中，a1=5，a2=4，数列an的前n项和Sn=A2n+B（A，B为常数）.（1）求实数A，B的值；（2）求数列an的通项公式.【解析】（1）由题意得S1=2A+B=a1=5，S2=4A+B=a1+a2=9，解方程组2A+B=54A+B=9，得A=2B=1，A=2，B=1（2）由（1）得Sn=2n+1+1当n2时，a

9、n=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n，又当n=1时，a1=S1=5不满足上式，an=5，n=12n，n2典例4 已知数列的前项和为，且满足，（1）求的值；（2）求数列的通项公式【解析】（1）， ， （2）由，得数列是首项为， 公差为的等差数列， 当时， 而适合上式，2已知数列的各项都是正数，其前项和满足，则数列的通项公式为_考向三 由递推关系式求通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式（2）：常

10、用累乘法，即利用恒等式求通项公式（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解（4）：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解（5）：把原递推公式转化为，解法同类型3（6）：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解（7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解（8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可（9）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可典例5 已知数列an中，a1=1，an=n(an+1an

11、)(n).求数列an的通项公式.【解析】方法一(累乘法)an=n(an+1an)，即，(n2).以上各式两边分别相乘，得.又a1=1，an=n(n2).a1=1也适合上式，an=n.方法二(迭代法)由知，则an=a1×a2a1×a3a2×a4a3××an-1an-2×anan-1=1×21×32×43××n-1n-2×nn-1=n.典例6 在数列中，.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】（1）由已知有，又当时，满足上式 () （2）由（1）知，而，令 ，

12、 ，得3在数列中，为常数，（1）求的值； （2）设，求数列的通项公式.考向四 数列的性质数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.1数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值2数列的单调性（1）数列单调性的判断方法：作差法：数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列作商法：当时，数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列当时，数列是递减数列；数列是递增数列；数列是常数列（2）数列单调性的应用：构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项当解

13、不唯一时，比较各解对应的项的大小即可（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围典例7 已知数列，其通项公式为 ，判断数列的单调性 【解析】方法一：，则 即，故数列是递增数列.方法二：，则 即数列是递增数列 （注：这里要确定的符号，否则无法判断与的大小）方法三：令，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，则函数在上单调递增，故数列是递

14、增数列典例8 已知正项数列an的前n项和为Sn，且a13+a23+a33+an3=Sn2对任意nN*恒成立.（1）证明：2Sn=an2+an；（2）求数列an的通项公式；（3）若bn=2Sn+man，数列bn是递增数列，求m的取值范围.【解析】（1）由a13+a23+a33+an3=Sn2，得a13+a23+a33+an-13=Sn-12(n2)，两式相减得an3=Sn2-Sn-12=an(Sn+Sn-1).又an>0，所以an2=Sn+Sn-1=2Sn-an，即2Sn=an2+an(n2)，当n=1时，a13=S12，得a1=1，也满足2S1=a12+a1，所以2Sn=an2+an.（

15、2）当n2时，得an2-an-12=an+an-1，又an>0，所以an-an-1=1，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，故an=1+(n-1)=n.（3）因为an=n，Sn=n(n+1)2，所以bn=n2+(m+1)n.所以bn+1-bn=(n+1)2+(m+1)(n+1) -n2-(m+1)n=2n+m+2>0对任意nN*恒成立，所以m>-2n-2，得m>-4.故m的取值范围是.4已知数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）判断数列的单调性，并证明.1数列，的一个通项公式是Aan=(1)n+1Ban=(1)nCan=(1)n+1Dan=(1)n2在

16、数列中，则的值为ABCD以上都不对3若数列的前项和，则它的通项公式是ABCD4如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是A B C D 5已知数列的前n项和为，（），则A32B64C128D2566已知数列满足，则的最小值为ABC8D97意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为A672B673C1346D20198若数列满足，则_9数列的前项和，若，则的最小值为_.10已知数列满足，则的通项

17、公式为_11已知an是递增数列，且对任意的自然数n(n1)，都有恒成立，则实数的取值范围为_. 12如图所示的数阵中，第64行第2个数字是_.13已知数列an的通项公式an=n27n8.（1）数列中有多少项为负数?（2）数列an是否有最小项?若有，求出其最小项.14已知数列的前项和为，且（1）求，；（2）求数列的通项公式15已知数列的前项和满足（1）求，的值；（2）已知数列满足，求数列的通项公式16已知正数数列an的前n项和为Sn，满足，.（1）求数列an的通项公式；（2）设，若是递增数列，求实数a的取值范围17已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求数列的

18、前项和.1（2018新课标全国理科）记为数列的前项和，若，则_2（2015江苏）数列an满足a1=1且an+1-an=n+1(nN*)，则数列的前10项和为          .3（2015新课标全国理科）为数列的前n项和.已知an>0，an22an4Sn3.（1）求an的通项公式；（2）设.求数列bn的前n项和.变式拓展1【答案】B【解析】对于A，当为奇数，当为偶数，正确；对于B，当为奇数，当为偶数，不正确；对于C，当为奇数，当为偶数，正确；对于D，当为奇数，当为偶数，正确.故选B.【名师点睛】本

19、题考查数列的通项公式，考查分类讨论与计算能力，属于基础题.对分为奇数、偶数讨论即可判断.2【答案】【解析】因为数列的各项都是正数，其前项和满足，所以当时，；当时，即，即，所以数列是等差数列，又，因此，因此，又也满足，所以，.故答案为.【名师点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项公式，灵活处理递推公式即可，属于常考题型.求解时，先由递推公式求出，再由时，整理，求出，进而可求出结果.3【解析】（1）将代入，得，由，得（2）由，得，即当时，因为，所以因为也适合上式，所以【名师点睛】本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是累加法，注

20、意新数列的首项与原数列首项的关系.4【解析】（1）.数列是等比数列，即数列的通项公式为. （2）数列是递减数列.证明如下：设，是递减数列，即数列是递减数列.【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及的知识点有：根据数列的递推公式判断其为等比数列，等比数列的求和公式，判断并证明数列的单调性，属于中档题目.（1）根据题中所给的条件，写出之后两式相减，得到，从而得到数列是等比数列，利用求和公式求得；（2）将进行化简，之后应用单调性的定义证明数列是递减数列.考点冲关1【答案】C【解析】对于选项A，当n=2时，a2=，不满足题意，所以A不正确;对于选项B，当n=1时，a1=，不满足题意，所以B不正确;

21、对于选项D，当n=2时，a2=，不满足题意，所以D不正确;当n=1，2，3，4时，an=(1)n+1均满足题意，C正确.2【答案】B【解析】由题得，所以数列的周期为3，又2019=3×673，所以.故选B.【名师点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.先通过列举找到数列的周期，再根据周期求解.3【答案】B【解析】当时，当n=1时，满足上式，所以数列的通项公式为.故选B4【答案】D【解析】由题意知，根据累加法得，故选D.5【答案】B【解析】由，得，又，即，且，即数列1是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，即.故选B【名师点睛

22、】本题考查了数列递推式，考查利用构造法求数列的通项公式，属于中档题求解时，由已知数列递推式构造等比数列1，求其通项公式得到，再由求解6【答案】C【解析】由知：，相加得：，又，所以时，单调递减，时，单调递增，因为，所以的最小值为，故选.【名师点睛】本题考查数列通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.先根据叠加法求，再利用数列单调性求最小值.7【答案】C【解析】由数列各项除以2的余数，可得为，所以是周期为3的周期数列，一个周期中的三项和为，因为，所以数列的前2019项的和为，故选C.【名师点睛】本题主要考查了由递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和

23、：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.8【答案】 【解析】由已知得，所以，9【答案】12【解析】当，当n=1，满足上式，故=2n，=，对称轴为n=，故n=2或3 时，最小值为12.故答案为12.【名师点睛】本题考查由求数列通项，考查数列最值，考查计算能力，是基础题，注意n为正整数，是易错题.求解时，先由求得，再利用二次函数求的最小值.10【答案】【解析】当时，由，得；当时，由，可得，两式相减得，故故答案为：【名师点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力

24、.11【答案】(3，+)【解析】由an为递增数列，得an+1an=(n+1)2+(n+1)n2n=2n+1+>0恒成立，即>2n1在n1时恒成立，令f(n)=2n1，n，则f(n)max=3.只需>f(n)max=3即可.故实数的取值范围为(3，+).12【答案】【解析】由题意，从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，其中满足，则，当时，则，所以第64行的第2个数字为【名师点睛】本题主要考查了数列的应用问题，其中解答中根据题意把从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，求得数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题13【解析】（1

25、）令an<0，即n27n8<0，得1<n<8.又nN*，所以n=1，2，3，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项.（2）函数y=x27x8图象的对称轴为x=3.5，所以当1x3时，函数单调递减;当x4时，函数单调递增，所以当n=3或4时，数列an有最小项，且最小项a3=a4=20.14【解析】（1）且，时，时，解得（2）时，化为：时上式也成立【名师点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其性质，属于中档题已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公

26、式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等差数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.15【解析】（1），. （2）因为，所以，当时，有，则，即所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.因为，所以.则，.，以上个式子相加得：，又因为，所以.16【解析】（1），=Sn1+Sn2（n3）相减可得：，an0，an10，anan1=1（n3）n=2时，=a1+a2+a1，即=2+a2，a20，解得a2=2因此n=2时，anan1=1成立数列an是等差数列，公差为1an=1+n1=n（2）=（n1）2+a（n1），bn是递增数列，bn+1bn=n2+an（n1）2a（n1）=2

27、n+a10，即a12n恒成立，a1，即实数a的取值范围是（1，+）【名师点睛】本题考查由前n项和与an的关系求数列的通项公式，考查等差数列的通项公式和数列的单调性问题，属于中档题（1）由 an2Sn+Sn1（n2），可得an12Sn1+Sn2 （n3），两式相减可得 anan11，再由a11，可得an的通项公式（2）根据an的通项公式化简bn和bn+1，由题意得bn+1bn0恒成立，分离变量即可得a的范围17【解析】（1），且，即，由累乘法得，则数列是首项为，公差为的等差数列，通项公式为.（2）由（1）知，则，.【名师点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式、裂项相消法求解数列的前项和的问题

28、；关键是能够根据递推关系确定采用累乘法求解通项；根据的形式确定裂项的方式，属于常规题型.（1）根据可得，利用累乘法可求得；（2）由的通项公式可知数列为等差数列，利用等差数列求和公式求得，得到；再利用裂项相消法求得.直通高考1【答案】【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，解得，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的

29、变形方向即可得结果.2【答案】 【解析】因为a1=1且an+1-an=n+1，所以an=an-an-1+an-1-an-2+a2-a1+a1=n+n-1+2+1=n(n+1)2，则，所以数列1an的前10项和为.3【解析】（1）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3.可得an+12-an2+2(an+1an)=4an+1，即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1an).由于an>0，可得an+1an=2.又a12+2a1=4a1+3，解得a1=1(舍去)或a1=3.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1.（2）由an=2n+1可知bn=.设数列bn的前n项和为Tn，则Tn=b1+b2+bn=.