专题4.2 应用导数研究函数的单调性 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版.docx

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1、专题4.2 应用导数研究函数的单调性练基础1（浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）A BC D【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D2（2020·重庆市第七中学校高三期中）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出的减区间，只需，解不等式求出a的范围.【详解】解：，当，即时，有，即在上函数是减函数，从而，即且，解得所以实数a的取值范围是故选：A.3（2021·广东高三其他模拟）已知函数，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意画出函数大致图象，然后根据图象得出，再用

2、表示出，根据所得关于的函数单调性可得结果【详解】函数大致图象如下：则由图可得，而，故，令，则在，上为单调增函数，故选：D4（2021·全国高三专题练习（文）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为的定义域为，由，得，解得，所以的递增区间为由于在区间上单调递增，则，所以，解得.因此，实数的取值范围是故选：A.5（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据条件判断函数关

3、于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.【详解】解：，函数关于对称，又，恒成立，则是增函数，得，故选：A.6【多选题】（2021·全国高三其他模拟）如图是函数的部分图像，则的解析式可能是（ ）ABCD【答案】AC【解析】由函数为偶函数，得到必为奇函数，排除B选项；根据时，可排除D选项，对于A、C项，得出函数的解析式，结合三角函数的性质和导数，逐项判定，即可求解.【详解】由函数的图像关于轴对称，所以函数为偶函数，又由为奇函数，则函数必为奇函数，排除B选项；当时，可得，排除D选项.对于A中，函数为偶函数，且当时，当或时，可得，又由，当时，所以函数

4、在轴右侧先单调递增，且，所以函数在附近存在单调递减区间，选项A符合；对于C中，函数为偶函数，当时，当或时，可得，又由，当时，所以函数在轴右侧先单调递增，且，所以函数在附近存在单调递减区间，选项C符合.故选：AC.7【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则下列结论正确的有（ ）ABCD函数在上是减函数【答案】BC【解析】求出函数的导数，根据在与处取得极值以及函数的单调区间，结合韦达定理求出，之间的关系，判断其符号，进而可得到结论【详解】因为，所以，由图知的增区间是，减区间是，所以的解集为，的解集为，所以，A错误；因为在与处取得极值，则，是方程的根

5、，由韦达定理可知，B正确；由图可知，由韦达定理可知，故，故，C正确；因为的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，所以在上递减，在上递增，D错误，故选：BC8（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】先解出.再由是的充分不必要条件即可得出答案.【详解】在上单调递增在上恒成立.即在上恒成立，所以：.又是的充分不必要条件，即.故答案为：.9. (2019年高考北京理)设函数（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式

6、，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.10（2020·四川省内江市第六中学高三月考）已知，函数（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求a，b的值；（2）设，若在上为增函数，求a的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）求出的导数，由题可得，列出式子即可求出；（2）可得，求出导数，可得对任意，有恒成立，由此可求出a的取值范围.【详解】（1），依题意有，且，可得，解得,或.（2）在上是增函数.可得，依题意有, 对任意，有恒成立. 由，则，

7、可得.练提升TIDHNEG1（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数，满足且，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】首先根据题中的条件得到，从而得到；再根据时得到，结合函数的单调性得到，从而得到.【详解】由得，由得，两式相加得，因为，所以，又因为 ，所以；因为，所以，即，所以；令，则，当时，所以在内单调递增，即，所以，即，又令，则，当时，所以在内单调递增，所以由，得到.所以.故选：D.2.【多选题】（2021·山东济南市·高三其他模拟）数列an满足a11，anan+1+ln（1+an+1）（），则（ ）A存在n使an0B任意n使an0Canan+1Danan

8、+1【答案】BD【解析】构造函数，研究其单调性，然后根据单调性判断每一个选项.【详解】解：设f(x)x+ln（1+x），其定义域为（1，+），则f(x)1+在（1，+）上大于0恒成立，故f(x)在（1，+）上单调递增，且f（0）0，若an0，则an+1+ln（1+an+1）0，即f（an+1）0，即f（an+1）f（0），则由f(x)的单调性可得an+10，即an0可得an+10，又由a110可得：任意，使an0，故A错，B对，又由anan+1ln（1+an+1）且an+10，故ln（1+an+1）0，anan+10anan+1，故C错，D对，故选：BD3（2021·辽宁高三其他模拟

9、）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】先对函数进行求导，由导数在上恒成立即可求出实数的取值范围.【详解】，由题意知在上恒成立且不恒为0，显然时，恒成立，所以只需在 上恒成立且不恒为0，即在 上恒成立且不恒为0，所以只需当时，又当时，有，所以，即有最大值，所以，即.故答案为：.4（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文）若函数在区间是增函数，则的取值范围是_【答案】【解析】先求导，根据题意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得结果.【详解】由知，,时，是增函数，又，在上恒成立，而，故答案为：5（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）已知函

10、数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】根据函数奇偶性的定义，得到为奇函数，再根据导数求得函数为上单调递减函数，把不等式，转化为，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且满足，即，所以函数为奇函数，又由，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以函数为上单调递减函数，又因为，即，即，所以，即，解得，即不等式的解集为.故答案为：.6（2020·重庆市云阳江口中学校高三月考）已知函数，且对于任意实数x，恒有. （1）求函数的解析式；（2）已知函数在区间上单调，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由偶函数定义待定系数b即可；（2）函数在区间上单调转化为“在上恒

11、成立”和“在上恒成立”两个问题分别求解.【详解】（1）由题设得：，则，对于任意实数x都成立，.（2）， .要使在上单调，只需在上恒成立，或在上恒成立则在上恒成立，或在上恒成立即在上恒成立，或在上恒成立.设，则.要使在上恒成立，则，要使 在上恒成立，则.或.7（2021·全国高三专题练习（理）设函数.（）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； （）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（）设切点为，求出切线方程并计算与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论.（）由题设可得，利用参变分离可得的取值范围.【详解

12、】（）当时， 设图象上任意一点，切线斜率为. 过点的切线方程为.令，解得；令，解得. 切线与坐标轴围成的三角形面积为.所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关. （）由题意，函数的定义域为.因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即当，恒成立，所以因为当，当且仅当时取等号.所以当时，所以. 所以的取值范围为.8（2021·河南商丘市·高三月考（理）已知函数.（1）求的最大值；（2）若，分析在上的单调性.【答案】（1）最大值为；（2）在上单调递减.【解析】(1)求导后，判断单调性进而求出最大值即可；(2)由题意可知，求导后表达式比较复杂，故因式分解后构造新的函数，通过二次求导来判

13、断的正负号，进而判断出在上的单调性.【详解】(1)由条件知，令，得，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为.(2)由已知得，所以，当时，.令，则，当时，所以，所以在上单调递减，所以，所以，从而，所以在上单调递减.9（2021·全国高三专题练习）已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数对都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求出函数导数，分,讨论，当时，根据两根关系讨论，即可求出函数的单调区间；（2）不妨令，由恒成立可得在上为减函数，利用导数恒成立求解即可.【详解】（1）依题意有定义域为，当时，当时，为增函数，当时，为

14、减函数；当时，令，得，（i）当，即当时，则时，在，上均为增函数；在上为减函数；（ii）当，即时，上为增函数；(iii)当，即时，则时，在，上均为增函数；在上为减函数.综上：当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为；当时，增区间为和，减区间为；当时，增区间为，减区间为.（2）不妨令，则，即，令，则在上为减函数.即对恒成立.令，当时，所以当时，故的取值范围为.10（2020·四川成都市·北大附中成都为明学校高三月考（文）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得到，求导，分别求得，写出切

15、线方程； （2）设，易知在上单调递减，则， 然后分，讨论求解.【详解】（1）当时， 则， 所以， 所以，所求切线方程为，即. （2）设，则，所以在上单调递减，从而，即. （i）当时，则，则，若在上单调递增，则对于任意的恒成立，即.因为，所以当时，所以，又，此时的取值范围为（ii）当时，则，则，若在上单调递增，则对于任意的恒成立，即.因为，所以当时，所以，此时的取值范围为. （iii）当时，则存在唯一的，使得.当时，即存在且，使得，从而，即，这与“在上为增函数”矛盾，此时不合题意.综上，实数的取值范围练真题TIDHNEG1（2021·全国高考真题（理）设，则（ ）ABCD【答案】B【解

16、析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,由于，在x>0时,所以,即函数在0,+)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B.2.（2018·全国高考真题（文）函数y=-x4+x2+2的图像大致为（ ）A BC D【答案】D【解析】函

17、数过定点0,2，排除A,B，求得函数的导数f'x=-4x3+2x=-2x2x2-1，由f'x>0得2x2x2-1<0，得x<-22或0<x<22，此时函数单调递增，排除C，故选D.3（2017·江苏高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_。【答案】【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为4（2020·全国高考真题（文）已知函数（1）讨论的单调性；【答案】（1）详见解析；(2).【解析】（1）由题，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，

18、得，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增.5.（2019年高考全国卷理）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）或.【解析】（1）令，得x=0或.若a>0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a0时，由（1）知，在0，1单调递增，所以在区间0，l的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，即a=0，（ii）当a3时，由（1）知，在0

19、，1单调递减，所以在区间0，1的最大值为，最小值为此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1（iii）当0<a<3时，由（1）知，在0，1的最小值为，最大值为b或若，b=1，则，与0<a<3矛盾.若，则或或a=0，与0<a<3矛盾综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在0，1的最小值为-1，最大值为16（2016北京理）设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【答案】（），；（2）的单调递增区间为.【解析】（1）因为，所以.依题设，即解得；（2）由（）知.由即知，与同号.令，则.所以，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，故的单调递增区间为.