2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6讲　高效演练分层突破 (4).doc

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1、 基础题组练 1 (2020 湖南长沙一模)已知一种元件的使用寿命超过 1 年的概率为 0.8， 超过 2 年的概率为 0.6，若一个这种元件使用到 1 年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过 2 年的概率为( ) A0.75 B0.6 C0.52 D0.48 解析：选 A设一个这种元件使用到 1 年时还未损坏为事件 A，使用到 2 年时还未损坏为事件 B， 则由题意知 P(AB)0.6， P(A)0.8， 则这个元件使用寿命超过 2 年的概率为 P(B|A)P(AB)P(A)0.60.80.75，故选 A 2设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6，0.5，0.5，

2、0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少 3 人需使用设备的概率为( ) A0.25 B0.30 C0.31 D0.35 解析：选 C设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件 A，B，C，D，则 P(A)0.6，P(B)P(C)0.5，P(D)0.4，恰好 3 人使用设备的概率 P1P(ABCDABCDABCDABCD) (1 0.6)0.50.50.4 0.6(1 0.5)0.50.4 0.60.5(1 0.5)0.4 0.60.50.5(10.4)0.25， 4 人使用设备的概率 P20.60.50.50.40.06， 故所求概率 P0.250.060.31. 3某机械研究所对新研

3、发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的 200 个机械元件情况如下： 使用时间/天 1020 2130 3140 4150 5160 个数 10 40 80 50 20 若以频率为概率， 现从该批次机械元件中随机抽取 3 个， 则至少有 2 个元件的使用寿命在 30 天以上的概率为( ) A1316 B2764 C2532 D2732 解析：选 D由表可知元件使用寿命在 30 天以上的概率为15020034，则所求概率为 C2334 2143432732. 4某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p, 各成员的支付方式相互独立设 X为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，DX

4、2.4，P(X4)P(X6)，则 p( ) A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 解析：选 B由题意知，该群体的 10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以 DX10p (1p)2.4，所以 p0.6 或 p0.4.由 P(X4)P(X6)，得 C410p4(1p)6C610p6(1p)4，即(1p)2p2，所以 p0.5，所以 p0.6. 5 (2020 河南中原名校联盟一模)市场调查发现， 大约45的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器 经工商局抽样调查， 发现网上购买的家用小电器的合格率约为1720，而实体店里的家用小电器的合格率约为910.现工商

5、局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是( ) A67 B56 C45 D25 解析：选 A因为大约45的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为1720，所以某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为4511720325，又实体店里的家用小电器的合格率约为910， 所以某家用小电器是在实体店里购买的， 且被投诉的概率约为1451910150，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性 P32532515067. 6投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学

6、每次投篮投中的概率为 0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_ 解析：该同学通过测试的概率 PC230.620.40.630.4320.2160.648. 答案：0.648 7小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为“4 个人去的景点不相同”，事件 B 为“小赵独自去一个景点”，则 P(A|B)_ 解析：小赵独自去一个景点共有 4333108 种情况，即 n(B)108，4 个人去的 景点不同的情况有 A44432124 种，即 n(AB)24，所以 P(A|B)n(AB)n(B)2410829. 答案：29 8某次知识竞赛规则如下：在主

7、办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率为_，该选手回答了 5 个问题结束的概率为_ 解析：依题意，该选手第 2 个问题回答错误，第 3，4 个问题均回答正确，第 1 个问题回答正误均有可能，则所求概率 P0.80.20.820.20.20.8210.20.820.128. 依题意， 设答对的事件为 A， 可分第 3 个正确与错误两类， 若第 3 个正确则有 AAAA或A AAA两类情况，其概率为：0.80.20.80.20.20.2

8、0.80.20.025 60.006 40.032 0.该选手第 3 个问题的回答是错误的，第 1，2 两个问题回答均错误或有且只有 1 个错误， 则所求概率 P0.2320.20.80.20.0080.0640.072.所以， 所求概率为 0.032 00.0720.104. 答案：0.128 0.104 9(2020 湖南两市联考)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况一个运动员出线记 1 分，未出线记 0 分假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的 (1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至

9、少有一名出线的概率； (2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分数之和为随机变量 ，求随机变量 的分布列 解：(1)记“甲出线”为事件 A， “乙出线”为事件 B， “丙出线”为事件 C， “甲、乙、丙至少有一名出线”为事件 D， 则 P(D)1P(A B C)11314252930. (2) 的所有可能取值为 0，1，2，3. P(0)P(A B C)130； P(1)P(AB C)P(A B C)P(A B C)1360； P(2)P(ABC)P(ABC)P(ABC)920； P(3)P(ABC)310. 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 130 1360 920 310 10

10、.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图如图所示，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 (1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率； (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列 解： (1)设 A1表示事件“日销售量不低于 100 个”， A2表示事件“日销售量低于 50 个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里， 有连续 2 天的日销售量不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个” 因此 P(A1)(0.

11、0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108. (2)X 可能的取值为 0，1，2，3，相应的概率为 P(X0)C03(10.6)30.064， P(X1)C130.6(10.6)20.288， P(X2)C230.62(10.6)0.432， P(X3)C330.630.216. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 综合题组练 1(2020 南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是 30 项基础设施类工程、20 项民生类工程和 10

12、 项产业建设类工程现有 3 名民工相互独立地从这 60 个项目中任选一个项目参与建设，则这 3 名民工选择的项目所属类别互异的概率是( ) A12 B13 C14 D16 解析：选 D记第 i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事 件 Ai，Bi，Ci，i1，2，3.由题意，事件 Ai，Bi，Ci(i1，2，3)相互独立，则 P(Ai)306012，P(Bi)206013，P(Ci)106016，i1，2，3，故这 3 名民工选择的项目所属类别互异的概率是PA33P(AiBiCi)612131616. 2(多选)甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 6

13、 个红球，2 个白球和 2个黑球，先从甲罐中随机取出 1 个球放入乙罐，分别以 A1，A2，A3表示事件“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”，再从乙罐中随机取出 1 个球，以 B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，下列结论正确的是( ) A事件 B 与事件 A1不相互独立 BA1，A2，A3是两两互斥的事件 CP(B|A1)711 DP(B)35 解析：选 ABC由题意 A1，A2，A3是两两互斥事件， P(A1)51012，P(A2)21015，P(A3)310， P(B|A1)P(BA1)P(A1)1271112711，P(B|A2)611， P(B|A3)611， P(B)P(A1B)P

14、(A2B)P(A3B) P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3) 12711156113106111322. 所以 D 不正确 3.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为23，13，则小球落入 A 袋中的概率为_ 解析：法一：由题意知，小球落入 A 袋中的概率为：P(A)1P(B)1 13131323232323. 法二：因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将

15、落入 A 袋，所以小球落入 A 袋中的概率为 C1323132C232321323. 答案：23 4已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别是 0.7，0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响 (1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是_； (2)若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是_ 解析： (1)记“甲在第 i 次试跳成功”为事件 Ai， “乙在第 i 次试跳成功”为事件 Bi， “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C 法一：P(C)P(A1B1)P(A1B1)P(A1B1) P(A1)P(B1)P(A1)P(B1)P(A1)P(B1

16、) 0.70.40.30.60.70.60.88. 法二：由对立事件的概率计算公式得 P(C)1P( A1B1)1P( A1)P( B1)10.30.40.88. (2)设“甲在两次试跳中成功 i 次”为事件 Mi， “乙在两次试跳中成功 i 次”为事件 Ni，所以所求概率 PP(M1N0)P(M2N1)P(M1)P(N0)P(M2)P(N1)C120.70.30.420.72C120.60.40.302 4. 答案：(1)0.88 (2)0.302 4 5甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按行驶里程数 R(单位：公里)可分

17、为三类车型，A：80R150，B：150R250，C：R250.甲从 A，B，C 三类车型中挑选，乙从 B，C 两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如表： A B C 甲 15 p q 乙 14 34 若甲、乙都选 C 类车型的概率为310. (1)求 p，q 的值； (2)求甲、乙选择不同车型的概率； (3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如表： 车型 A B C 补贴金额(万元/辆) 3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为 X，求 X 的分布列 解：(1)甲选 C 为事件甲C，P 甲Cq，乙选 C 为事件乙C，P 乙C34， 所以根据题意：P 甲CP 乙C34q31

18、0， 所以 q25. 又因为15pq1. 所以 p25. (2)甲、乙选不同车型为事件 M，则 M甲A乙BC甲B乙C甲C乙B， 所以 P(M)1512534251435. (3)根据题意，X 为 7，8，9，10， P(X7)1514120.P(X8)1534251452014. P(X9)2534251482025. P(X10)2534310.其分布列为 X 7 8 9 10 P 120 14 25 310 6.甲、 乙两人各射击一次， 击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响 (1)求甲射击 4 次，至少有 1

19、次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率； (3)假设每人连续 2 次未击中目标，则终止其射击问：乙恰好射击 5 次后，被终止射击的概率是多少？ 解：(1)记“甲连续射击 4 次，至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，则事件 A1的对立事件A1为“甲连续射击 4 次，全部击中目标”由题意知，射击 4 次相当于做 4 次独立重复试验 故 P(A1)C442341681. 所以 P(A1)1P(A1)116816581. 所以甲连续射击 4 次，至少有一次未击中目标的概率为6581. (2)记“甲射击 4 次，恰好有 2 次击中目标”

20、为事件 A2， “乙射击 4 次，恰好有 3 次击中目标”为事件 B2， 则 P(A2)C242321232827， P(B2)C3434313412764. 由于甲、乙射击相互独立， 故 P(A2B2)P(A2)P(B2)827276418. 所以两人各射击 4 次，甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为18. (3)记“乙恰好射击 5 次后，被终止射击”为事件 A3， “乙第 i 次射击未击中“为事件Di(i1，2，3，4，5)， 则 A3D5D4D3(D2 D1D2D1D2D1)， 且 P(Di)14. 由于各事件相互独立，故 P(A3)P(D5)P(D4)P(D3)P(D2 D1D2D1D2D1) 141434(343434141434)451 024. 所以乙恰好射击 5 次后被终止射击的概率为451 024.