专题4.2 应用导数研究函数的单调性 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版.docx

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1、专题4.2 应用导数研究函数的单调性新课程考试要求1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例4.5）、数学运算（多例）、数据分析等.考向预测（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； （2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性【知识清单】1利用导数研究函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于

2、0.在上为增函数在上为减函数【考点分类剖析】考点一 ：判断或证明函数的单调性【典例1】（2020·辽宁高三期中）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【典例2】（2020·全国高考真题（理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，)的单调性；【规律方法】1利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f(x)：(1)若f(x)>0，则yf(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f(x)<0，则yf(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f(x)0，则yf(x)是常数函数，不具有单调

3、性2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：确定函数f(x)的定义域；求导数f'(x)；由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.【变式探究】1. （2020·全国高考真题（文）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；2.已知函数，。（）若 ，求的值；（）讨论函数的单调性。【易错提醒】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不

4、等式解集的影响进行分类讨论讨论的标准有以下几种可能：(1)f(x)0是否有根；(2)若f(x)0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小考点二 ：求函数的单调区间【典例3】（2021·安徽芜湖市·高三二模（文）已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数为定义域内的单调递增函数，求实数的取值范围【总结提升】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)0或f(x)0求出单调区间(2)当方程f(x)0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定单调区间(3)若导函数的方

5、程、不等式都不可解，根据f(x)结构特征，利用图象与性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开【变式探究】（2020·金华市曙光学校高二月考）已知，那么单调递增区间_；单调递减区间_.考点三 ：利用函数的单调性研究函数图象【典例4】（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）ABCD【典例5】（2018·全国高考真题（理）函数的图像大致为 ()ABCD【规律方法】1.函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从

6、函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2函数的图象与函数的导数关系的判断方法(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致【变式探究】1.（2020·安徽金安六安一中高三其他（文）已知函数f(x)ex(x1)2(e为2.718 28)，则f(x)的大致图象是（ ）ABCD2.（2019·云南高考模拟（文）函数y=fx的

7、导函数y=f'x的图象如图所示，则函数y=fx的图象可能是（ ）ABCD考点四 ：利用函数的单调性解不等式【典例6】（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系【变式探究】（2020·山东奎文潍坊中学高二月考）【多选题】设f（x），g（

8、x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f（x），g'（x）为其导函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g'（x）0且g（3）0，则使得不等式f（x）g（x）0成立的x的取值范围是（ ）A（,3）B（3,0）C（0,3）D（3,+）考点五 ：利用函数的单调性比较大小【典例7】（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文）已知，则，的大小关系为（ ）ABCD【总结提升】在比较，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小【变式探究】（2020·新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义

9、在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）ABCD考点六 ：利用函数的单调性求参数的范围（值）【典例8】（2020·全国高三其他模拟（文）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD【典例9】（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（文）设函数，（1）求的单调区间；（2）设函数是单调递增函数，求实数的值【总结提升】1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围注意检验参数取“”时是否满足题意(2)可导函数

10、在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围再验证参数取“”时f(x)是否满足题意(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围2恒成立问题的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max(2)mf(x)恒成立mf(x)min【变式探究】1.（2020·山东肥城高二期中）若函数在区间单调递增，则的取值范围是_；若函数在区间内不单调，则的取值范围是_.2（2021·全国高三专题练习（理）设函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.