2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5节 利用导数解决不等式恒(能)成立问题 教案.doc

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1、1 第五节第五节 利用导数解决不等式恒利用导数解决不等式恒(能能)成立问成立问题题 考点 1 恒成立问题 分离参数法求范围 若 f(x)a 或 g(x)a 恒成立， 只需满足 f(x)mina 或 g(x)maxa 即可，利用导数方法求出 f(x)的最小值或 g(x)的最大值，从而问题得解 已知 f(x)xln x，g(x)x3ax2x2. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若对任意 x(0，)，2f(x)g(x)2 恒成立，求实数 a 的取值范围 解 (1)因为函数 f(x)xln x 的定义域为(0， )， 所以 f(x)ln x1.令 f(x)0，得 ln x10，解得 0 x1

2、e，所以 f(x)的单调递减区间是(0，1e)令 f(x)0，得 ln x10，解得 x1e，所以 f(x)的单调递增区间是(1e，)综上，f(x)的单调递减区间是(0，1e)，单调递增区间是(1e，) (2)因为 g(x)3x22ax1，由题意得 2xln x3x22ax1 恒成立因为 x0，所以 aln x32x12x在 x(0，)上恒成立设 h(x)ln x32x12x(x0)， 则h(x)1x3212x2（x1）（3x1）2x2.令h(x)0， 得x11， x213(舍) 当 x 变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，) h(x) 0 h(x) 极大值

3、 所以当 x1 时，h(x)取得极大值，也是最大值，且 h(x)maxh(1)2，所以若 ah(x)在 x(0，)上恒成立，则 ah(x)max2，即 a2，故实数2 a 的取值范围是2，) 利用分离参数法来确定不等式 f(x，)0(xD，为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为 f1()f2(x)或 f1()f2(x)的形式 (2)求 f2(x)在 xD 时的最大值或最小值 (3)解不等式 f1()f2(x)max或 f1()f2(x)min，得到 的取值范围 把参数看作常数利用分类讨论方法解决 对于不适合分离参数的不等式， 常常将参数看作常数直接构造函数

4、，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围 已知函数 f(x)ln xax，aR. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若不等式 f(x)a0 在 x(1，)上恒成立，求 a 的取值范围 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa. 当 a0 时，f(x)0 恒成立， 则 f(x)只有单调递增区间是(0，) 当 a0 时，由 f(x)0， 得 0 x1a； 由 f(x)0，得 x1a； 所以 f(x)的单调递增区间是(0，1a)，单调递减区间是(1a，) (2)f(x)a0 在 x(1，)上恒成立，即 ln xa(x1)0 在 x(1，)上恒成立 设 g

5、(x)ln xa(x1)，x0，则 g(x)1xa，注意到 g(1)0， 当 a1 时，g(x)0 在 x(1，)上恒成立， 则 g(x)在 x(1，)上单调递减， 所以 g(x)g(1)0，即 a1 时满足题意 当 0a1 时，令 g(x)0， 3 得 1x1a； 令 g(x)0，得 x1a. 则 g(x)在(1，1a)上单调递增， 所以当 x(1，1a)时，g(x)g(1)0， 即 0a1 时不满足题意(舍去) 当 a0 时，g(x)1xa0， 则 g(x)在(1，)上单调递增， 所以当 x(1，)时，g(x)g(1)0， 即 a0 时不满足题意(舍去) 综上所述，实数 a 的取值范围是1

6、，) 已知 f(x)ax22ln x，aR. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若对任意的 x0，2f(x)2(a1)x 恒成立，求整数 a 的最小值 解 (1)由题意得 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2ax22x. 当 a0 时，f(x)0，f(x)在(0，)内单调递减 当 a0 时，令 f(x)0，得 xaa或 xaa(负值舍去) 当 x(0，aa)，f(x)0，f(x)单调递减； 当 x(aa，)，f(x)0，f(x)单调递增 (2)由题意得 2ax22ln x2(a1)x， 整理得 2(ln xx1)a(2xx2) 因为 x0， 所以原命题等价于 a2（ln xx1）

7、（2xx2）在区间(0， )内恒成立 令 g(x)2（ln xx1）2xx2， 4 则 g(x)2（x1）（2ln xx）（2xx2）2， 令 h(x)2ln xx，易知 h(x)在(0，)内单调递增 又 h(0.5)2ln 20.50，h(1)10，故存在唯一的 x0(0.5，1)，使得h(x0)0. 当 0 xx0时，h(x)0，即 g(x)0，g(x)单调递增；当 xx0时，h(x)0，即 g(x)0，g(x)单调递减 故函数 g(x)的极大值为 g(x0)，也为最大值，且 2ln x0 x00， 所以 g(x)max2（ln x0 x01）2x0 x20 x02x0（x02）1x0，

8、所以 a1x0.又1x0(1，2)，且 a 为整数， 故整数 a 的最小值为 2. 考点 2 能成立问题 存在 xa，b，f(x)a 成立f(x)maxa. 存在 xa，b，f(x)a 成立f(x)mina. 存在 x1a，b，对任意 x2a，b，f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)min. 已知函数 f(x)3ln x12x2x，g(x)3xa. (1)若 f(x)与 g(x)的图象相切，求 a 的值； (2)若x00，使 f(x0)g(x0)成立，求参数 a 的取值范围 解 (1)由题意得，f(x)3xx1，g(x)3，设切点为(x0，f(x0)，则 kf(x0)3x0 x013

9、，解得 x01 或 x03(舍)，所以切点为(1，12)，代入 g(x)3xa，得 a52. (2)设 h(x)3ln x12x22x.x00，使 f(x0)g(x0)成立， 等价于x0，使 h(x)3ln x12x22xa 成立， 等价于 ah(x)max(x0) 5 因为 h(x)3xx2x22x3x （x1）（x3）x， 令h（x）0，x0，得 0 x1；令h（x）0，x0，得 x1. 所以函数 h(x)3ln x12x22x 在(0，1)上单调递增， 在(1，)上单调递减，所以 h(x)maxh(1)52， 即 a52， 因此参数 a 的取值范围为(，52) (1)“恒成立”“存在性”

10、问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化 (2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题 已知函数 f(x)axex(aR)，g(x)ln xx. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)x0(0，)，使不等式 f(x)g(x)ex成立，求 a 的取值范围 解 (1)因为 f(x)aex，xR. 当 a0 时，f(x)0，f(x)在 R 上单调递减； 当 a0 时，令 f(x)0 得 xln a. 由 f(x)0 得 xln a，所以 f(x)的单调递增区间为(，ln a)； 由 f(x)0 得 xln a，所以 f(x)的单调递减区间为(ln a，) (2)因为x0(0，)，使不等式 f(x)g(x)ex，则 axln xx，即 aln xx2. 设 h(x)ln xx2，则问题转化为 a(ln xx2)max， 由 h(x)12ln xx3， 令 h(x)0，则 x e. 6 当 x 在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表： x (0， e) e ( e，) h(x) 0 h(x) 极大值12e 由上表可知，当 x e时，函数 h(x)有极大值，即最大值为12e，所以 a12e.