通用版2020版高考数学大一轮复习第13讲变化率与导数学案理新人教A版20190313345.docx

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1、第13讲变化率与导数、导数的运算1.变化率与导数(1)平均变化率:概念对于函数y=f(x),f(x2)-f(x1)x2-x1=yx叫作函数y=f(x)从x1到x2的变化率 几何意义函数y=f(x)图像上两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的 物理意义若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则yx就是该质点在x1,x2上的速度 (2)导数:概念点x0处limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x,我们称它为函数y=f(x)在处的导数,记为f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limx0yx= li

2、mx0f(x0+x)-f(x0)x区间(a,b)当x(a,b)时,f'(x)=limx0yx=limx0叫作函数在区间(a,b)内的导数 几何意义函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图像在该点处切线的.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程是 物理意义函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的方程 2.导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广常数函数C'=0(C为常数)幂函数(xn)'=(nZ)&#

3、160;1x'=-1x2三角函数(sin x)'=,(cos x)'= 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(ax)'=(a>0,且a1) (ex)'=ex对数函数(logax)'=(a>0,且a1) (ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四则运算法则加减f(x)±g(x)'= i=1nfi(x)'=i=1nf'i(x)乘法f(x)·g(x)'= Cf(x)'=Cf'

4、(x)除法f(x)g(x)'= (g(x)0)1g(x)'=-g'(x)g(x)2复合函数求导复合函数y=fg(x)的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积” 题组一常识题1.教材改编 向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为. 2.教材改编 已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=5284100-x(80<x<100),当净化

5、到纯净度为98%时费用的瞬时变化率为. 3.教材改编 y=ln(x+1)的导数是y'=. 4.教材改编 曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于. 题组二常错题索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x0)与f(x0)',f'(ax+b)与f(ax+b)'的区别.5.函数f(x)=x2在区间1,2上的平均变化率为,在x=2处的导数为. 6.已知函数y=sin 2x,则y'=. 7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)=. 8

6、.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)=,f(2x+3)'=. 探究点一导数的运算例1 (1)若函数f(x)=x·ex+f'(1)·x2,则f'(1)=. (2)函数y=sin(x+1)-cosx2的导数为y'=.    总结反思 (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.变式题 (1)已知函数f(x)=si

7、n2x-3,则f'3=()A.3B.32C.12D.1(2)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.1探究点二导数的几何意义角度1求切线方程例2 2018·南昌模拟 曲线y=3sin x+16x3+1在点(0,1)处的切线方程为.    总结反思 (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围

8、;(3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.变式题 已知f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作函数y=f(x)图像的切线,则切线方程为. 角度2求切点坐标例3 设aR,函数f(x)=ex+aex是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为.    总结反思 (1)f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标;(2)切点既在曲线上也在切线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要.变式题 曲线y=ex在点A处的切线与直线x-y+1=0平行,则点A的坐标为()A.(-1,e-1)B.(0,1)C.

9、(1,e)D.(0,2)角度3求参数的值或范围例4 (1)若f(x)=2ex+3ax+b的图像在点(0,1)处的切线l与直线x+2y-5=0垂直,则a+b=()A.1B.-1C.2D.-2(2)2018·莆田模拟 已知定义在(0,+)上的函数f(x)=x2-m,h(x)=6ln x-4x,设曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同,则m=()A.-3B.1C.3D.5   总结反思 (1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2

10、)注意曲线上点的横坐标的取值范围.变式题 已知函数f(x)=ln(x+1)·cos x-ax的图像在点(0,f(0)处的切线的倾斜角为45°,则a=()A.-2B.-1C.0D.3第13讲变化率与导数、导数的运算考试说明 1.导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景.理解导数的几何意义.2.导数的运算能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x的导数.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)平均斜率平均(

11、2)x=x0f(x+x)-f(x)x斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)瞬时速度2.nxn-1cos x-sin xaxln a1xlnaf'(x)±g'(x)f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)f'(x)g(x)-g'(x)f(x)g(x)2y'u·u'x对点演练1.0.16 dm/L解析 易知r(V)=33V4,故气球中空气的体积从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率为r(2)-r(1)2-10.16(dm/L).2.1321元/吨解析 c&#

12、39;(x)=5284(100-x)2,代入x=98计算可得. 3.1x+1解析 y'=1x+1×(x+1)'=1x+1.4.2解析 y'=x'ex-1+xex-1·(x-1)'=(x+1)ex-1,所以y'|x=1=2,即曲线在点(1,1)处切线的斜率为2.5.34解析 函数f(x)=x2在区间1,2上的平均变化率为22-122-1=3.因为f'(x)=2x,所以f(x)在x=2处的导数为2×2=4.6.2cos 2x解析 方法一:y'=(2sin xcos x)'=2(sin x)'

13、;cos x+2sin x(cos x)'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x.方法二:y'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x.7.-8解析 因为f'(x)=2x+3f'(2),令x=2,得f'(2)=-2,所以f(x)=x2-6x,于是f(2)=-8.8.3(2x+3)26(2x+3)2解析 f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2,f(2x+3)'=(2x+3)3'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)对函数f

14、(x)=x·ex+f'(1)·x2求导,令x=1,即可求得f'(1)的值;(2)根据导数的四则运算法则及复合函数的求导法则求解.(1)-2e(2)cos(x+1)+12sinx2解析 (1)f(x)=x·ex+f'(1)·x2,f'(x)=ex+x·ex+2f'(1)x,f'(1)=e+e+2f'(1),解得f'(1)=-2e.(2)将函数y=sin(x+1)看作y=sin u和u=x+1的复合函数,则y'x=y'u·u'x=(sin u)'

15、;·(x+1)'=cos u=cos(x+1).同理可以求出y=cosx2的导数为y'=-12sinx2.所以所求函数的导数为y'=cos(x+1)+12sinx2.变式题(1)D(2)B解析 (1)函数f(x)=sin2x-3,f'(x)=2cos2x-3,f'3=2cos23-3=2cos3=1,故选D.(2)因为f'(x)=aax-1,所以f'(2)=a2a-1=2,解得a=23,故选B.例2思路点拨 先求导,从而得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程.3x-y+1=0解析 求导得y'=3cos x+12x2,当x=

16、0时,可得切线斜率k=3,所以切线方程为y=3x+1,即3x-y+1=0.变式题y=-2或y=9x+16解析 对函数求导,得f'(x)=3x2-3.当点P(-2,-2)为切点时,切线斜率k=3×(-2)2-3=9,根据点斜式得切线方程为y=9x+16.当点P(-2,-2)不是切点时,设切点坐标为(m,n),则n=m3-3m,n+2m+2=3m2-3,可得m=1,所以切点为(1,-2),此时切线方程为y=-2.综上,切线方程为y=9x+16或y=-2.例3思路点拨 先根据f(x)为偶函数求得a=1,再建立方程,解得切点的横坐标.ln 2解析 由题意可得f(x)=f(-x),即e

17、x+aex=e-x+ae-x,即(1-a)ex-1ex=0对任意xR都成立,所以a=1,所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.设切点为(x0,y0),则f'(x0)=ex0-e-x0=32,由于f'(x)是R上的增函数,且f'(ln 2)=32,所以x0=ln 2, 即切点的横坐标为ln 2.变式题B解析 设点A的坐标为(x0,ex0).因为y'=ex,所以曲线在点A处的切线斜率k=y'|x=x0=ex0,又切线与直线x-y+1=0平行,所以ex0=1,解得x0=0,所以切点A的坐标为(0,1).例4思路点拨 (1)求出原函数的导

18、函数,根据题意列出关于a,b的方程(组),计算即可得到结果;(2)先设两曲线的公共切点为(a,b)(a>0),再根据两函数在x=a处的导数相等及切点在两曲线上列方程组,即可解得m的值.(1)B(2)D解析 (1)f(x)=2ex+3ax+b,f'(x)=2ex+3a.由题意得f'(0)=2+3a=2,解得a=0.点(0,1)在f(x)=2ex+3ax+b的图像上,2+b=1,解得b=-1.a+b=0+(-1)=-1.(2)设两曲线在公共点(a,b)处的切线相同(a>0).由题得f'(x)=2x,h'(x)=6x-4,则b=a2-m,b=6lna-4a

19、,2a=6a-4,解得a=1,b=-4,m=5.变式题C解析 f'(x)=cosxx+1-ln(x+1)·sin x-a.函数f(x)=ln(x+1)·cos x-ax的图像在点(0,f(0)处的切线的倾斜角为45°,1-a=1,a=0,故选C.【备选理由】 例1考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力;例2在知识点的交汇处命题,分别考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,利用导数的几何意义求切线方程等知识;例3是一道导数新概念题,需要依据新定义求解,计算量较大,供学有余力的同学学习;例4是导数几何意义的应用与求参数取值范围的综合问题,并涉及数形

20、结合思想,有一定的综合性.例1配合例1使用 设函数f(x)=x(2017+ln x).若f'(x0)=2018,则x0=()A.eB.e2C.ln 2D.1解析 D因为f(x)=x(2017+ln x),所以f'(x)=2018+ln x,所以f'(x0)=2018+ln x0=2018,所以x0=1.例2配合例2使用 2018·荆州中学月考 函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x3-2x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为. 答案 7x-y-4=0解析 函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0

21、时,f(x)=x3-2x2,当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2=-f(x),当x>0时,f(x)=x3+2x2.f(1)=1+2=3,f'(x)=3x2+4x,f'(1)=7,所求切线方程为y-3=7(x-1),即7x-y-4=0.例3配合例4使用 2018·石家庄质检 定义:如果函数f(x)在区间a,b上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f(b)-f(a)b-a,f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是区间a,b上的一个双中值函数.已知函

22、数f(x)=x3-65x2是区间0,t上的一个双中值函数,则实数t的取值范围是()A.35,65B.25,65C.25,35D.1,65解析 A由题意知,在区间0,t上存在x1,x2(0<x1<x2<t)满足f'(x1)=f'(x2)=f(t)-f(0)t=t3-65t2t=t2-65t.f(x)=x3-65x2,f'(x)=3x2-125x,方程3x2-125x=t2-65t在区间(0,t)上有两个不同的实数解.令g(x)=3x2-125x-t2+65t(0<x<t),则需满足1252-1265t-t2>0,g(0)=65t-t2&

23、gt;0,g(t)=2t2-65t>0,t>25,解得35<t<65,实数t的取值范围是35,65,故选A.例4配合例4使用 已知函数f(x)=3-x(x0),x(x>0),若函数g(x)=f(x)-12x-b有且仅有两个零点,则实数b的取值范围是. 答案 0<b<12解析 函数g(x)=f(x)-12x-b有且仅有两个零点,函数f(x)=3-x(x0),x(x>0)与函数y=12x+b的图像有且仅有两个交点,作出函数f(x)=3-x(x0),x(x>0)与函数y=12x+b的图像,如图所示.当b=0时,两函数图像有一个交点,是一个临界值.当直线y=12x+b与f(x)=x(x>0)的图像相切时,两函数图像有一个交点,此时b的值是另一个临界值.设切点为(m,m),m>0,f'(x)=12·1x(x>0),12·1m=12,解得m=1,故切点为(1,1),故b=1-12=12.结合图像可得,0<b<12.11