通用版2020版高考数学大一轮复习第5讲函数的单调性与最值学案理新人教A版20190313377_20210103224800.docx

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1、第5讲函数的单调性与最值1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图像描述自左向右看图像是 自左向右看图像是 2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫作函数y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(

2、1)对于任意xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)对于任意xI,都有; (2)存在x0I,使得 结论M为最大值M为最小值常用结论1.函数的单调性(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反. (3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(x)的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y=f(x)的单调性相同.(5)复合函数单调

3、性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.2.单调性定义的等价形式:设x1,x2a,b,x1x2.(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0或f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则f(x)在闭区间a,b上是增函数;(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)<0或f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则f(x)在闭区间a,b上是减函数.3.函数最值的两条结论:(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.

4、(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.题组一常识题1.教材改编 函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数,则a的取值范围是. 2.教材改编 函数f(x)=(x-2)2+5(x-3,3)的单调递增区间是;单调递减区间是. 3.教材改编 函数f(x)=3x+1(x2,5)的最大值与最小值之和等于. 4.教材改编 函数f(x)=|x-a|+1在2,+)上是增函数,则实数a的取值范围是. 题组二常错题索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在

5、区间上单调”两个概念.5.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是. 6.已知函数f(x)=(a-2)x,x2,12x-1,x<2是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围为. 7.函数y=f(x)是定义在-2,2上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是. 8.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减函数,则实数a的取值范围是. (2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-,4,则a的值为. 探究点一函数单调性的判断与证明例1 判断函数f(x)=ax+x-

6、3x+2(a>1),x(-2,+)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.        总结反思 (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:任取x1,x2D,且x1<x2;作差f(x1)-f(x2);变形(通常是因式分解和配方);定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).变式题 (1)下列函数中,在(0,+)上单调递增的函数是()A.y=-x2+1B.y=|x-1|C.y=1-1x-1D.y=ln x+x(2)2018·茂名二联 设函数f(

7、x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是()A.y=f(x)2在R上为增函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=2-f(x)在R上为减函数D.y=-f(x)3在R上为增函数探究点二求函数的单调区间例2 (1)2018·石嘴山一模 函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是()A.(-1,1B.1,3)C.(-,1D.1,+)(2)设函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.    总结反思 (1)求函数单调区间的常见方法:定义法;图像法;导数法.(2

8、)求复合函数单调区间的一般步骤为:确定函数的定义域;求简单函数的单调区间;求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.(3)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“”连接.变式题 (1)2019·成都七中一诊 函数f(x)=x2-2x-8的单调递增区间是()A.(-,-2B.(-,1C.1,+)D.4,+)(2)已知函数f(x)=-x|x|+2x,则下列结论正确的是()A.f(x)的单调递增区间是(0,+)B.f(x)的单调递减区间是(-,0)C.f(x)的单调递增区间是(-,-1) D.f(x)的单调递增区间是(-1,1)探究点三利用

9、函数单调性解决问题微点1利用函数的单调性比较大小例3 已知f(x)是定义在(0,+)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)x1-x2>0.记a=f(30.2)30.2,b=f(0.32)0.32,c=f(log25)log25,则()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a   总结反思 比较函数值的大小时,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性去比较大小.微点2利用函数的单调性解决不等式问题例4 (1)2018·广州模拟 已知函

10、数f(x)=log2(4x+1)+x,则不等式f(log3x)<1的解集为()A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-1,1)(2)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<x1-x2,且f(2)=3,则不等式f(3x-1)>3x的解集为()A.(2,+)B.(-,2)C.(1,+)D.(-,1)   总结反思 解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义,具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f

11、”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.微点3利用函数的单调性求最值问题例5 (1)已知a>0,设函数f(x)=2018x+1+20172018x+1+2018x3(x-a,a)的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为()A.2018B.2019C.4035D.4036(2)2018·龙岩质检 函数f(x)=13x-log2(x+4)在区间-2,2上的最大值为.    总结反思 若函数f(x)在区间a,b上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数f(x)在区间a,b上不单调,则最小值为函数f(x)在

12、该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.微点4利用函数的单调性求参数的范围(或值)例6 (1)2018·南充三模 已知f(x)=(3-a)x,x(-,1,ax,x(1,+)是R上的增函数,那么实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(1,+)D.32,3(2)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间1,+)上是增函数,则a的取值范围是.    总结反思 (1)根据函数的单调性,将题设条件转化为含参数的不等式(组),即可求出参数的值或范围;(2)若分段

13、函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.应用演练1.【微点1】2018·南阳第一中学模拟 已知a,bR,0<a<b<1,则下列不等式错误的是()A.a3<b3B.2a<2bC.log2a<log3bD.loga2<logb22.【微点3】设函数f(x)=2xx-2在区间3,4上的最大值和最小值分别为M,m,则m2M=()A.23B.38C.32D.833.【微点4】已知函数f(x)=ax2-2x-5a+6对任意两个不相等的实数x1,x22,+),都有不等式f(x2)-f(x1)x2-x1>0成立

14、,则实数a的取值范围是()A.(0,+)B.12,+C.0,12D.12,24.【微点2】2018·昆明检测 已知函数f(x)=e-x,x0,-x2-2x+1,x>0,若f(a-1)f(-a),则实数a的取值范围是()A.-,12B.12,+C.0,12D.12,15.【微点3】2018·河南六市联考 若函数f(x)=|x|-1x2,1|x|9的最大值为M,最小值为m,则M-m=()A.24181B.24281C.269D.319第5讲函数的单调性与最值考试说明 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.【课前双基巩固

15、】知识聚焦1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的2.增函数或减函数区间D3.f(x)Mf(x0)=M对点演练1.a<12解析 当2a-1<0,即a<12时,f(x)是R上的减函数.2.(2,3-3,2解析 由函数f(x)=(x-2)2+5(x-3,3)的图像(图略)即可得到单调区间.3.32解析 函数f(x)=3x+1在2,5上是减函数,所以最大值为f(2)=1,最小值为f(5)=12,所以最大值与最小值之和为1+12=32.4.a2解析 因为函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是a,+),当f(x)在2,+)上单调递增时,满足2,+)

16、a,+),所以a2.5.32,4解析 函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-x-322+254,x(-1,4)的单调递减区间为32,4,函数f(x)的单调递减区间为32,4.6.-,138解析 由题知a-2<0,(a-2)×2122-1,解得a138,即实数a的取值范围是-,138.7.-1,1)解析 由条件知-2a+12,-22a2,a+1>2a,解得-1a<1.8.(1)a-3(2)-3解析 (1)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a4,得a-3.(2)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a=4,得a=-3.【课堂考点探究】

17、例1思路点拨 直接判断单调性即可,再按照单调性的定义证明单调性.解:该函数在(-2,+)上单调递增.证明如下: 任取x1,x2(-2,+),不妨设x1<x2,则x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,又a>1,所以ax2>ax1,即有ax2-ax1>0,所以f(x2)-f(x1)=ax2+x2-3x2+2-ax1-x1-3x1+2=(ax2-ax1)+(x2-3)(x1+2)-(x1-3)(x2+2)(x1+2)(x2+2)=(ax2-ax1)+5(x2-x1)(x1+2)(x2+2)>0,故函数f(x)在(-2,+)上单调递增.变式题(1)

18、D(2)C解析 (1)对于选项A,函数y=-x2+1在(0,+)上单调递减,故A错;对于选项B,函数y=|x-1|在(0,+)上先减后增,故B错;对于选项C,函数y=1-1x-1在(0,1)和(1,+)上均单调递增,但在(0,+)上不单调递增,故C错;对于选项D,函数y=ln x+x在(0,+)上单调递增,所以D正确.(2)A错,比如f(x)=x在R上为增函数,但y=f(x)2在R上不具有单调性;B错,比如f(x)=x在R上为增函数,但y=|f(x)|=|x|在(0,+)上为增函数,在(-,0)上为减函数;C对,f(x)在R上为增函数,所以-f(x)在R上单调递减,所以y=2-f(x)在R上为

19、减函数;D错,比如f(x)=x在R上为增函数,但y=-f(x)3=-x3在R上为减函数.故选C.例2思路点拨 (1)先令t=-x2+2x+3>0求得函数的定义域,再根据复合函数的单调性的性质判定函数的单调递增区间;(2)作出函数g(x)的图像,由图像可得单调递减区间.(1)A(2)0,1)解析 (1)令t=-x2+2x+3>0,求得-1<x<3,故函数的定义域为(-1,3).由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x(-1,3)的单调递增区间为(-1,1,故函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1.(2)由题意知g(x)=x2,x>1,0,

20、x=1,-x2,x<1,该函数的图像如图所示,其单调递减区间是0,1).变式题(1)D(2)D解析 (1)由x2-2x-80得x4或x-2.令t=x2-2x-8,则y=t为增函数,又t=x2-2x-8在4,+)上单调递增,原函数的单调递增区间为4,+),故选D.(2)由题意可得函数的定义域为R.函数f(x)=-x|x|+2x,f(-x)=x|-x|-2x=-f(x),f(x)为奇函数.当x0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,由二次函数的性质可知,函数在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减;由奇函数的性质可得,函数在(-1,0)上单调递增,在(-,-1)上单调递减.综

21、上可得,函数的单调递增区间为(-1,1). 故选D.例3思路点拨 先根据已知条件判定y=f(x)x的单调性,再比较大小.B解析 f(x)是定义在(0,+)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)x1-x2>0,函数y=f(x)x是(0,+)上的增函数.1<30.2<30.5=3<2,0<0.32<1,log25>2,0<0.32<30.2<log25,b<a<c.故选B.例4思路点拨 (1)分析函数的单调性,将不等式转化为f(log3x)<f(0),进一步转化为求解log3x&l

22、t;0即可;(2)构造函数,利用单调性把所求不等式中的函数符号去掉,得出一般的不等式,解该不等式即可.(1)A(2)C解析 (1)易知函数f(x)=log2(4x+1)+x是R上的增函数,且f(0)=log2(1+1)=1,所以f(log3x)<1可以转化为f(log3x)<f(0),结合函数的单调性可以将不等式转化为log3x<0,解得0<x<1,从而得原不等式的解集为(0,1).(2)由已知条件知f(x1)-x1<f(x2)-x2对任意x1<x2恒成立,故函数g(x)=f(x)-x为R上的增函数,且g(2)=f(2)-2=1.不等式f(3x-1)&

23、gt;3x,即f(3x-1)-(3x-1)>1,即g(3x-1)>1=g(2),所以3x-1>2,得3x>3,解得x>1,故所求不等式的解集为(1,+).例5思路点拨 (1)对原函数解析式化简变形,利用常见函数的单调性确定f(x)的单调性,从而得到函数的最大值和最小值;(2)函数f(x)可看成是由函数y=13x和函数y=-log2(x+4)组合而成的,分别考查这两个函数的单调性可得函数f(x)在区间-2,2上的最大值.(1)C(2)8解析 (1)f(x)=2018x+1+20172018x+1+2018x3=2018(2018x+1)-12018x+1+2018x

24、3=2018-12018x+1+2018x3.因为y=-12018x+1,y=2018x3均为增函数,所以f(x)在-a,a上单调递增,故最大值为f(a),最小值为f(-a),所以M+N=f(a)+f(-a)=2018-12018a+1+2018a3+2018-12018-a+1+2018(-a)3=4036-1=4035.(2)因为函数y=13x和函数y=-log2(x+4)是定义域内的减函数,所以函数f(x)=13x-log2(x+4)在区间-2,2上单调递减,则所求函数的最大值为f(-2)=13-2-log2(-2+4)=9-1=8.例6思路点拨 (1)根据一次函数以及指数函数的性质,结

25、合函数的单调性得到不等式组,解出即可.(2)根据解析式求出所给函数的单调递增区间,利用1,+)是所得单调递增区间的子集,求得a的取值范围.(1)D(2)(-,1解析 (1)由题意得3-a>0,a>1,3-aa,解得32a<3,故选D.(2)f(x)=e|x-a|=ex-a,xa,ea-x,x<a,f(x)在a,+)上为增函数,则由题意得1,+)a,+),a1.应用演练1.D解析 因为函数y=x3与函数y=2x在定义域内单调递增,所以A,B正确;由log2a<log3a<log3b可得C正确;函数y=log2x单调递增,所以log2a<log2b<

26、0,所以1log2a>1log2b,即loga2>logb2,所以D错误.故选D.2.D解析 由题意得f(x)=2xx-2=2+4x-2,所以函数f(x)在区间3,4上单调递减,所以M=f(3)=2+43-2=6,m=f(4)=2+44-2=4,所以m2M=426=83.故选D.3.D解析 因为函数f(x)=ax2-2x-5a+6对任意两个不相等的实数x1,x22,+),都有不等式f(x2)-f(x1)x2-x1>0成立,所以函数f(x)=ax2-2x-5a+6在2,+)上单调递增.易知a=0时不合题意,所以只需a>0,a×22-2×2-5a+60,

27、-22a2,解得12a2,即实数a的取值范围是12,2,故选D.4.A解析 函数f(x)=e-x=1ex在(-,0上为减函数,函数f(x)=-x2-2x+1在(0,+)上为减函数,且e-0=-02-2×0+1,所以函数f(x)在(-,+)上为减函数.由f(a-1)f(-a)得a-1-a,解得a12.故选A.5.B解析 令t=|x|,1t9,则f(x)=g(t)=t-1t2,由y=t,y=-1t2在1,9上单调递增,可得g(t)=t-1t2在1,9上单调递增,所以f(x)的最小值m=g(1)=1-112=0,f(x)的最大值M=g(9)=9-192=24281,所以M-m=24281,

28、故选B.【备选理由】 例1考查抽象函数单调性的证明以及函数不等式的求解,考查转化思想和计算能力;例2考查的是有关函数值比较大小的问题,在求解的过程中,需要抓住题中的条件f(1+x)=f(1-x),得到函数图像的对称性,再结合单调性比较大小;例3需要构造函数,利用函数单调性求解,考查学生的观察能力和运用条件的能力,有一定的难度;例4涉及绝对值函数的最值问题,一般利用绝对值定义去掉绝对值,将函数转化为分段函数,再根据函数单调性确定函数的最值.例1配合例1使用 函数f(x)对任意的m,nR都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x>0时,恒有f(x)>1.(1)求证:f(x)在R

29、上是增函数;(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.解:(1)证明:设x1,x2R,且x1<x2,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)>1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)是R上的增函数. (2)因为m,nR,不妨设m=n=1,所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1,即f(2)=2f(1)-1,所以f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4,所以f(1)=2,所以f(a

30、2+a-5)<2等价于f(a2+a-5)<f(1).因为f(x)在R上为增函数,所以a2+a-5<1,得-3<a<2,即a(-3,2).例2配合例3使用 2018·莆田质检 设函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)是1,+)上的增函数,则a=f(0.623),b=f(0.723),c=f(0.713)的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a解析 A根据f(1+x)=f(1-x),可得函数f(x)的图像关于直线x=1对称,结合f(x)是1,+)上的增函数,可得函

31、数f(x)是(-,1上的减函数.利用幂函数和指数函数的单调性,可以确定0.623<0.723<0.713<1,所以f(0.623)>f(0.723)>f(0.713),即a>b>c,故选A.例3配合例4使用2018·石家庄三模 已知函数f(x)=ex-1+e1-x,则满足f(x-1)<e+e-1的x的取值范围是()A.1<x<3B.0<x<2C.0<x<eD.1<x<e解析 A令u=ex-1,u(0,+),其为单调递增函数,则f(x)=g(u)=u+1u,u(0,+),易知g(u)在(0,

32、1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,且当x=1时,u=e1-1=1.复合函数的单调性符合同增异减,x(-,1)时,函数f(x)单调递减;x(1,+)时,函数f(x)单调递增.函数f(x)的最小值f(x)min=f(1),又当x=0或x=2时,f(x)=e+e-1,f(x-1)<e+e-1即为0<x-1<2,解得1<x<3.例4配合例5使用 若函数f(x)=|x+a|+b在区间-1,2上的最大值为M,最小值为m,则M-m的值()A.与a有关,与b有关B.与a有关,与b无关C.与a无关,与b无关D.与a无关,与b有关解析 B当-a2时,f(x)=-x-a+b,M=f(-1)=1-a+b,m=f(2)=-2-a+b,M-m=3;当-a-1时,f(x)=x+a+b,m=f(-1)=-1+a+b,M=f(2)=2+a+b,M-m=3;当-1<-a<2时,M=maxf(-1),f(2)=max|-1+a|+b,|2+a|+b,m=f(-a)=b,M-m=max|-1+a|,|2+a|.综上,M-m的值与a有关,与b无关,故选B.14