2022届高三数学一轮复习（原卷版）第9讲　高效演练分层突破.doc

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1、 基础题组练 1某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数x 之间关系的是( ) Ay100 x By50 x250 x100 Cy502x Dy100log2x100 解析：选 C根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得故选 C 2已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动设点P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 S，则函数 Sf(x)的图象是( ) 解析：选 D依

2、题意知当 0 x4 时，f(x)2x；当 4x8 时，f(x)8；当 80)，则 y1mx.当 x10 时，y1m102，所以 m20.因为每月车载货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为 n(n0)，则y2nx.当 x10 时，y210n8，所以 n45.所以两项费用之和为 yy1y220 x4x5220 x4x58，当且仅当20 x4x5，即 x5 时取等号所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 5 千米处故选 A 4某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入若该高校 2017 年全年投入科研经费 1 300 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长

3、12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过 2 000 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 2 0.30)( ) A2020 年 B2021 年 C2022 年 D2023 年 解析：选 B若 2018 年是第一年，则第 n(nN)年科研费为 1 3001.12n，由 1 3001.12n2 000，可得 lg 1.3n lg 1.12lg 2，得 n0.050.19，n3.8，n4，即 4 年后，到 2021 年科研经费超过 2 000 万元故选 B 5(2019 高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2

4、m152lgE1E2，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A 1010.1 B 10.1 C lg 10.1 D 1010.1 解析：选 A根据题意，设太阳的星等与亮度分别为 m1与 E1，天狼星的星等与亮度分别为 m2与 E2，则由已知条件可知 m126.7，m21.45，根据两颗星的星等与亮度满足m2m152lg E1E2， 把 m1与 m2的值分别代入上式得， 1.45(26.7)52lgE1E2， 得 lg E1E210.1，所以E1E21010.1，故选 A 6某辆汽车每次加油都把油箱加满

5、，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2019 年 5 月 1 日 12 35 000 2019 年 5 月 15 日 48 35 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为_升 解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了 48 升油，说明这段时间总耗油量为 48 升，而行驶的路程为 35 60035 000600(千米)，故每 100 千米平均耗油量为 48 68(升) 答案：8 7李冶(11921279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数

6、学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为 13.75 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池的直径和方田的边长分别是_步和_步(注：240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算) 解析：设圆池的半径为 r 步，则方田的边长为(2r40)步，由题意，得(2r40)23r213.75240，解得 r10 或 r170(舍)，所以圆池的直径为 20 步，方田的边长为 60 步 答案：20 60 8一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该

7、产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(xN*)件当 x20 时，年销售总收入为(33xx2)万元；当 x20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元，则 y(万元)与 x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资) 解析：当 0 x20 时，y(33xx2)x100 x232x100；当 x20 时，y260100 x160 x. 故 yx232x100，0 x20，160 x，x20(xN*) 当 0 x20 时，yx232x100(x16)2156，x16 时，ymax156.而当 x20时，

8、160 x140，故当 x16 时取得最大年利润 答案：yx232x100，0 x20，160 x，x20(xN*) 16 9.如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE4 米，CD6米 为了合理利用这块钢板， 在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上 (1)设 MPx 米，PNy 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形 BNPM 面积的最大值 解：(1)作 PQAF 于点 Q，所以 PQ8y，EQx4， 在EDF 中，EQPQEFFD，所以x48y42，所以 y12x10，定义域为x|4x8 (2)设矩

9、形 BNPM 的面积为 S，则 S(x)xyx10 x2 12(x10)250，所以 S(x)是关于 x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为 x10，所以当 x4，8时，S(x)单调递增，所以当 x8 时，矩形 BNPM 面积取得最大值 48 平方米 10某公司对营销人员有如下规定：年销售额 x(单位：万元)在 8 万元以下，没有奖金； 年销售额 x(单位：万元)，x8，64时，奖金为 y 万元，且 ylogax，y3，6，且年销售额越大，奖金越多； 年销售额超过 64 万元，按年销售额的 10%发奖金 (1)求奖金 y 关于 x 的函数解析式； (2)若某营销人员争取奖金 y4，10(单位：

10、万元)，则年销售额 x(单位：万元)在什么范围内？ 解：(1)依题意，ylogax 在 x8，64上为增函数，所以loga83，loga646，解得 a2，所以y0，0 x64. (2)易知 x8，当 8x64 时，要使 y4，10，则 4log2x10，解得 16x1 024，所以 16x64；当 x64 时，要使 y4，10，则 40 x100，所以 64x100.综上所述，当年销售额 x16，100时，奖金 y4，10 综合题组练 1(创新型)我们定义函数 yx(x表示不大于 x 的最大整数)为“下整函数”；定义 yx(x表示不小于 x 的最小整数)为“上整函数”；例如4.34，55；4

11、.35，55.某停车场收费标准为每小时 2 元，即不超过 1 小时(包括 1 小时)收费 2 元，超过一小时，不超过 2 小时(包括 2 小时)收费 4 元，以此类推若李刚停车时间为 x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( ) A2x1 B2(x1) C2x D2x 解析：选 C如 x1 时，应付费 2 元， 此时 2x14，2(x1)4，排除 A，B；当 x0.5 时，付费为 2 元，此时2x1，排除 D，故选 C 2素数也叫质数，法国数学家马林 梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数 已知第 20 个梅森素数为 P24 4231，第

12、19个梅森素数为Q24 2531， 则下列各数中与PQ最接近的数为(参考数据： lg 20.3)( ) A1045 B1051 C1056 D1059 解析： 选 B 由题知PQ24 423124 25312170.令 2170k， 则 lg 2170lg k， 所以 170lg 2lg k 又 lg 20.3，所以 51lg k，即 k1051，所以与PQ最接近的数为 1051.故选 B 3某食品的保鲜时间 t(单位：小时)与储藏温度 x(恒温单位：)满足函数关系 t(x)64，x0，2kx6，x0，且该食品在 4 的保鲜时间是 16 小时 该食品在 8 的保鲜时间是_小时； 已知甲在某日上

13、午 10 时购买了该食品并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日 13 时，甲所购买的食品_保鲜时间(填“过了”或“没过”) 解析：因为食品在 4 的保鲜时间是 16 小时，所以 24k616，解得 k12. 所以 t(8)2464. 由图象可知在 11 时之前，温度已经超过了 10 ，此时该食品的保鲜期少于 212小时而食品在 11 时之前已放了一段时间，所以到 13 时，该食品已过保鲜期 答案：4 过了 4一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为 yaebt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一

14、半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一 解析：当 t0 时，ya； 当 t8 时，yae8b12a，故 e8b12. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 yaebt18a，ebt18(e8b)3e24b，则 t24，所以再经过 16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一 答案：16 5某旅游景点预计 2019 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位：万人)与 x 的关系近似为 p(x)12x(x1) (392x)(xN*，且 x12)已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位：元)与 x 的近似关系是 q(x)352x，xN*，且1x6，16

15、0 x，xN* 且7x12. (1)写出 2019 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位：万人)与 x 的函数关系式； (2)试问 2019 年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 解：(1)当 x1 时，f(1)p(1)37，当 2x12，且 xN*时，f(x)p(x)p(x1)12x(x1)(392x)12x(x1)(412x)3x240 x，经验证 x1 时也满足此式 所以 f(x)3x240 x(xN*，且 1x12) (2)第 x(xN*)个月的旅游消费总额为 g(x) （3x240 x）（352x），xN*，且1x6，480 x6 400，xN*，且7x12

16、. 当 1x6，且 xN*时，g(x)18x2370 x1 400， 令 g(x)0，解得 x5 或 x1409(舍去) 当 1x5 时，g(x)0，当 5x6 时，g(x)80 时，y5，不满足条件；故该函数模型不符合公司要求 (b)对于函数模型()ylog2x2，它在10，100上是增函数，满足条件， x100 时，ymaxlog210022log255，即 f(x)5 恒成立满足条件， 设 h(x)log2x215x，则 h(x)log2ex15， 又 x10，100，所以11001x110， 所以 h(x)log2e1015210150， 所以 h(x)在10，100上是递减的， 因此 h(x)h(10)log21040， 即 f(x)x5恒成立，满足条件， 故该函数模型符合公司要求 综上所述，函数模型()ylog2x2 符合公司要求