通用版2020版高考数学大一轮复习第21讲两角和与差的正弦学案理新人教A版20190313363.docx

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1、第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(±):sin(±)=. (2)公式C(±):cos(±)= . (3)公式T(±):tan(±)=. 常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan ±tan =tan(±)(1tan tan ).2.二倍角余弦公式的变形:sin2=1-cos22,cos2=1+cos22.3.一般地,函数f()=asin +bcos (a,b为常数)可以化为f()=a2+b2sin(+)其中tan=ba或f()=a2+

2、b2cos(-)其中tan=ab.题组一常识题1.教材改编 sin 75°的值为. 2.教材改编 已知cos =-35,2,则sin+3的值是. 3.教材改编 cos 65°cos 115°-cos 25°sin 115°=. 4.教材改编 已知tan =13,tan =-2,则tan(-)的值为. 题组二常错题索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知tan54+=17,2,则cos 的值是. 6.化简:12sin x-

3、32cos x=. 7.计算:1-tan15°1+tan15°=. 8.若+=34,则1+tan(-)(1-tan )的值为. 探究点一两角和与差的三角函数公式例1 (1)2018·湘潭模拟 若sin(2-)=16,sin(2+)=12,则sin 2cos =()A.23B.13C.16D.112(2)2018·晋城一模 已知cos+6=3cos ,tan =33,则tan(+)=.     总结反思 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用,的三角函数表示

4、77;的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.变式题 (1)2018·佛山质检 已知cos =17,0,2,则cos-3=()A.-1114B.3314C.5314D.1314(2)2018·唐山三模 已知tan+6=1,则tan-6=()A.2-3B.2+3C.-2-3D.-2+3探究点二两角和与差公式的逆用与变形例2 (1)2018·烟台一模 已知cosx-6=33,则cos x+cosx-3=()A.-1B.1C.233D.3(2)已知sin +cos =13,sin -cos =12,则sin

5、(-)=.     总结反思 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan ±tan =tan(±)(1tan tan );(2) asin +bcos =a2+b2sin(+)tan =ba.变式题 (1)2018·河南中原名校联考 22cos 375°+22sin 375°的值为()A.32B.12C.-32D.-12(2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)=. 探究点三角的变

6、换问题例3 (1)已知-3,0,cos+6-sin =435,则sin+12的值是()A.-235B.-210C.235D.-45(2)2018·莆田二模 已知sin =255,sin(-)=-1010,均为锐角,则=()A.512B.3C.4D.6   总结反思 常见的角变换:2±2=24±,2=(+)+(-),=+2+-2,3+=2-6-等.变式题 (1)2018·榆林模拟 若0<<4,-2<<0,cos4+=13,cos4-2=33,则cos+2=()A.539B.-33C.7327D.-69(

7、2)已知2<<<34,cos(-)=1213,sin(+)=-35,则sin 2=()A.5665B.-5665C.1665D.-1665第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切考试说明 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.【课前双基巩固】知识聚焦(1)sin cos ±cos sin (2)cos cos sin sin (3)tan±tan1tantan对点演练1.6+24解析 sin 7

8、5°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24.2.4-3310解析 cos =-35,2,sin =45,sin+3=sin cos3+cos sin3=45×12+-35×32=4-3310.3.-1解析 原式=cos 65°cos 115°-sin 65°sin 115°=cos(65°+115°)=cos 180°=-1.4.7解析

9、 tan(-)=tan-tan1+tantan=7.5.-45解析 因为tan54+=tan4+=17,所以1+tan1-tan=17,所以tan =-34,又2,所以cos =-432+(-4)2=-45.6.sinx-3解析 12sin x-32cos x=cos3sin x-sin3cos x=sinx-3.7.33解析 1-tan15°1+tan15°=tan45°-tan15°1+tan45°tan15°=tan(45°-15°)=tan 30°=33.8.2解析 因为+=34,所以tan(+)

10、=-1,即tan+tan1-tantan=-1,整理得(1-tan )(1-tan )=2,所以1+tan(-)(1-tan )=(1-tan )(1-tan )=2.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)利用两角和与差的正弦公式展开已知条件,进而求解;(2)先利用已知条件求出tan ,再根据两角和的正切公式求解.(1)B(2)-33解析 (1)由sin(2-)=16,sin(2+)=12,可得sin 2cos -cos 2sin =16, sin 2cos +cos 2sin =12,由+得2sin 2cos =23,所以sin 2cos =13.故选B.(2)cos+6=32cos -12s

11、in =3cos ,-sin =3cos ,故tan =-3,tan(+)=tan+tan1-tantan=-3+331+3×33=-2332=-33.变式题(1)D(2)D解析 (1)cos =17,0,2,sin =1-cos2=1-172=437,cos-3=cos cos3+sin sin3=17×12+437×32=1314.故选D.(2)由题意知,tan-6=tan+6-3=tan+6-tan31+tan+6tan3=1-31+3=-2+3.故选D.例2思路点拨 (1)首先利用两角差的余弦公式展开cosx-3,整理后再逆用两角差的余弦公式即可;(2)将

12、两个条件等式分别平方相加即可.(1)B(2)-5972解析 (1)由题可知,cos x+cosx-3=cos x+cos xcos3+sin xsin3=32cos x+32sin x=332cosx+12sinx=3cosx-6=3×33=1.故选B.(2)sin +cos =13,sin -cos =12,(sin +cos )2=19,(sin -cos )2=14,即sin2+2sin cos +cos2=19,sin2-2sin cos +cos2=14,由+得sin2+2sin cos +cos2+sin2-2sin cos +cos2=(sin2+cos2)+(cos2

13、+sin2)+2(sin cos -sin cos )=1+1+2sin(-)=2+2sin(-)=1336,则sin(-)=-5972.变式题(1)A(2)4解析 (1)22cos 375°+22sin 375°=22cos 15°+22sin 15°=cos(45°-15°)=cos 30°=32.故选A.(2)(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan(20°+25

14、76;)(1-tan 20°tan 25°)+tan 20°tan 25°=2,同理可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,所以原式=4.例3思路点拨 (1)对条件整理可得cos+3=45,又+12=+3-4,利用两角差的正弦公式求解;(2)根据角的变换得=+(-),利用已知条件先求出sin 的值,再求角. (1)B(2)C解析 (1)由cos+6-sin =435,得cos cos6-sin sin6-sin =435,即32cos -32sin =435,12cos -32sin =45,即cos+3=45.-3,0

15、,+30,3,sin+3=1-cos2+3=35,sin+12=sin+3-4=22sin+3-22cos+3=22×35-45=-210,故选B.(2)因为sin =255,sin(-)=-1010,且,均为锐角,所以cos =55,cos(-)=31010,所以sin =sin+(-)=sin cos(-)+cos sin(-)=255×31010+55×-1010=25250=22,所以=4.故选C.变式题(1)A(2)B解析 (1)由题可知,0<4+<2,4<4-2<2,所以sin4+=223,sin4-2=63,所以cos+2=c

16、os4+-4-2=cos4+cos4-2+sin4+sin4-2=13×33+223×63=539.故选A.(2)因为2<<<34,所以0<-<4,<+<32,由cos(-)=1213,得sin(-)=513,由sin(+)=-35,得cos(+)=-45,则sin 2=sin(-)+(+)=sin(-)cos(+)+cos(-)sin(+)=513×-45+1213×-35=-5665,故选B.【备选理由】 例1考查两角差的正切公式、基本不等式、正切函数的单调性,考查综合分析与运算的能力;例2主要考查三角函数中

17、的恒等变换的应用,熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键;例3考查两角和与差的正弦公式的运用,关键是角的配凑,然后化简求值.例1配合例1使用 2018·南充模拟 若tan =3tan 0<<<2,则-的最大值为. 答案 6解析 tan =3tan 0<<<2,tan >0,tan(-)=tan-tan1+tantan=2tan1+3tan2=21tan+3tan.tan >0,1tan+3tan 21tan·3tan=23,tan(-)33,当且仅当3tan2=1,即tan =33时取等号,此时=6,tan =3

18、tan ,即tan =3,=3.又0<<<2,0<-<2,0<tan(-)33,又y=tan x在0,2上单调递增,当tan(-)取得最大值时,-的值最大,当=3,=6时,-的值最大,-的最大值为3-6=6.例2配合例3使用 2018·安徽皖江八校联考 2cos55°-3sin5°cos5°的值为. 答案 1解析 2cos55°-3sin5°cos5°=2cos(60°-5°)-3sin5°cos5°=cos5°+3sin5°-3sin5°cos5°=1.例3配合例3使用 2018·安阳模拟 已知m=tan(+)tan(-+),若sin 2(+)=3sin 2,则m=()A.12B.34C.32D.2解析 Dsin 2(+)=3sin 2,sin(+)+(+-)=3sin(+)-(+-),sin(+)cos(+-)+cos(+)sin(+-)=3sin(+)cos(+-)-3cos(+)sin(+-),-2sin(+)cos(+-)=-4cos(+)sin(+-),即sin(+)cos(+-)cos(+)sin(+-)=tan(+)tan(-+)=2,m=2.故选D.9