2022届高三数学一轮复习（原卷版）第九章 9.6双曲线-教师版.docx

《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第九章 9.6双曲线-教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第九章 9.6双曲线-教师版.docx（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 双曲线知识梳理1双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a>0，b>0)1 (a>0，b>0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴 对称中

2、心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (c>a>0，c>b>0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn<0)例题解析题型一 基础【例1】判断下列结论是否正确(请在括号

3、中打“”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线(×)(2)方程1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线(×)(3)双曲线方程(m>0，n>0，0)的渐近线方程是0，即±0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()【例2】1、若双曲线1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B5C. D2答案A解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x

4、的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为()A. B2 C4 D8答案C解析设C：1.抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4，得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C的实轴长为4.3下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y±2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21答案C解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y±x，只有C符合，故选C.4设双曲线x21的左，右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_答案(2，8)解

5、析由已知a1，b，c2，则e2，设P(x，y)是双曲线上任一点，由对称性不妨设P在右支上，则1<x<2，|PF1|2x1，|PF2|2x1，又F1PF2为锐角，则|PF1|2|PF2|2>|F1F2|2，即(2x1)2(2x1)2>42，解得x>，所以<x<2，|PF1|PF2|4x(2，8).题型二双曲线的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程【例3】已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_答案x21(x1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外

6、切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)命题点2利用待定系数法求双曲线方程【例4】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(3,2)和Q(6，7)解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a

7、>0，b>0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn>0)解得双曲线的标准方程为1.命题点3利用定义解决焦点三角形问题【例5】已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2_.答案解析由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则cosF1PF2.【变式练习】1、

8、本例中若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260°”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，所以|PF1|·|PF2|8，所以|PF1|·|PF2|sin 60°2.2本例中若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“·0”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，由于·0，所以，所以在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|&#

9、183;|PF2|4，所以|PF1|·|PF2|2.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可【同步练习】(1)已知F1，F2为双曲线1

10、的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为()A.4 B.4C.2 D.2(2)设F1，F2分别为双曲线1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D3答案(1)C(2)B解析(1)由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|的最小值为|AP|AF1|2a2.故选C.(2)不妨设P为

11、双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1·r2ab，所以·ab，解得(负值舍去)，故e，故选B.题型三双曲线的几何性质【例6】(1)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cmn且e1e21 Dmn且e1e21(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_答

12、案(1)A(2)解析(1)由题意可得m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又e·e··11，e1·e21.(2)由题意，不妨设直线OA的方程为yx，直线OB的方程为yx.由得x22p ·x，x，y，A.设抛物线C2的焦点为F，则F，kAF.OAB的垂心为F，AFOB，kAF·kOB1，·1，.设C1的离心率为e，则e21.e. 思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k±满足关系式e21k2.【同步练习】1、已知F1，

13、F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B. C. D2答案A解析离心率e，由正弦定理得e.故选A.题型四直线与双曲线的综合问题【例7】已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线C2的方程为1(a>0，b>0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程为y21.(2)将y

14、kx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k2<1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·>2，得x1x2y1y2>2，>2，即>0，解得<k2<3，由得<k2<1.故k的取值范围为(1，)(，1)思维升华(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线

15、；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验【同步练习】1、设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B.C2 D3答案B解析设双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，直线l的方程为xc或xc.将其代入1，求得y2b2(1)，y±，|AB|.依题意，得4a，2，即e212，e.2、已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？解设点A(x1，y

16、1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)x0.由题意，得1，解得k2.当k2时，方程可化为2x24x30.16248<0，方程没有实数解不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点纠错心得(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件(2)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.课后练习1已知双曲线C：1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(

17、2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析依题意解得双曲线C的方程为1.2已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)答案A解析方程1表示双曲线，(m2n)·(3m2n)>0，解得m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c2×2|m|4，解得|m|1，1<n<3，故选A.3已知双曲线1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|5，则ABF

18、1的周长为()A16 B20 C21 D26答案D解析由双曲线1，知a4.由双曲线定义|AF1|AF2|BF1|BF2|2a8，|AF1|BF1|AF2|BF2|1621，ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|21526.故选D.4已知F1，F2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得()·0(其中O为坐标原点)，且|，则双曲线的离心率为()A.1 B.C. D.1答案D解析，()·()·()0，即220，|c，在MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得.|，可设|(>0)，|，得()

19、224c2，解得c，|c，|c，根据双曲线定义得2a|(1)c，双曲线的离心率e1.5已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近线分别交于A，B两点若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为()A. B1C2 D4答案C解析由题意，得双曲线的两条渐近线方程为y±x.设A(x1，x1)，B(x2，x2)，AB的中点为(，)，()2()22x1x22，SAOB|OA|·|OB|x1|·|x2|x1x22.6已知椭圆1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦

20、距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于()A. B1 C. D2答案B解析由ba1c1，得aca1c1，e1.由ba2c2，得caa2c2，e2.e1e2×1.7已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)·<0，(x0)(x0)y<0，即x3y<0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y<0，<y0<.故选A.8已知点F是双曲

21、线1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)答案B解析由题意易知点F的坐标为(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，ABE是锐角三角形，·>0，即·(ca，)·(ca，)>0，整理得3e22e>e4，e(e33e31)<0，e(e1)2(e2)<0，解得e(0,2)，又e>1，e(1,2)，故选B.9已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2x

22、y0，一个焦点为(，0)，则a_；b_.答案12解析由2xy0，得y2x，所以2.又c，a2b2c2，解得a1，b2.10已知点A，B分别是双曲线C：1(a>0，b>0)的左，右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且ABP是顶点为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为_答案x±y0解析如图所示，过点P作PCx轴，因为|AB|BP|2a，所以PBC60°，BCa，yP|PC|a，点P(2a，a)，将P(2a，a)代入1，得ab，所以其渐近线方程为x±y0.11已知双曲线1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2

23、，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_答案解析由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，得e，即e的最大值为.12已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF的周长最小时，该三角形的面积为_答案12解析设左焦点为F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF周长最小即为|AP|PF1|

24、最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为1，与x21联立，解得P点坐标为(2,2)，此时SAPF12.13中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解(1)由已知c，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，则解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2. 25 / 25 数形结合思想（教师版）