人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：圆锥曲线中点弦、垂直平分线.docx

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1、圆锥曲线中点弦垂直平分线知识讲解一、弦的垂直平分线问题1.垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设、是直线与曲线的两个交点，为坐标原点，1）则，2） 若,则2.弦中点问题：除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.1）设椭圆或双曲线方程： 上两点，的中点为，则3）掌握抛物线上两点连线的斜率公式3.设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点,弦中点为，将点坐标代入圆锥曲线方程，作差后

2、，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法具体有：1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.二、中点弦常考题型1.设,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为的,其它点不要随便设为.为弦的中点.设直线方程为,不要设为,因为在椭圆标准方程中会出现.联立直线与椭圆方程消去,得,即设,则中的高次项是可消去的. (由求分子是可消去的)故中点的坐标为定点设为，则故，2.以为邻边的平行四边形的顶点在椭圆

3、上易知点坐标 注意: 不能把代入方程中求,因为点不在直线上.由求分子是可消去的.故在椭圆上.则两边同时乘以得3.弦的垂直平分线交轴分别为点中点的坐标为垂直平分线方程为令,得到点坐标为令,得到点坐标为经典例题一选择题（共3小题）1若椭圆mx2+ny2=1与y=1x交于A、B两点，过原点与线段AB中点连线的斜率为2，则mn的值等于（）A2B22C3D33【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），由题意可得y1+y2x1+x2=y0x0=2，y2-y1x2-x1=-1（1）因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1，mx22+ny22=1两式相减可得m（x1x

4、2）（x1+x2）+n（y1y2）（y1+y2）=0（2）（1）（2）联立可得mn=2故选：A2阿基米德“平衡法”的中心思想是：要算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组微小单元来进行比较如图，已知抛物线y=14x2，直线l：x2y+4=0与抛物线交于A、C两点，弦AC的中点为D，过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy，交抛物线于点B，则抛物线弓形ABCD的面积与ABC的面积之比是（）A34B43C23D32【解答】解：联立&y=14x2&x-2y+4=0，得x22x8=0，解得：xA=2，xC=4则yA=1，yC=4又弦

5、AC的中点为D，xD=-2+42=1，则xB=1，yB=14|AC|=(4+2)2+(4-1)2=35B到直线l的距离d=|1×1-2×14+4|12+(-2)2=9105S=12×35×9105=274弓形ABCD的面积为：12(1+4)×6-2414x2dx=15-112x3|-24=15-11243+112(-2)3=9抛物线弓形ABCD的面积与ABC的面积之比是43故选：B3抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AFB=23，过线段AB的中点M作直线l的垂线，垂足为N，则|MN|AB|的最大值，是（）A

6、34B33C32D3【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos120°=a2+b2+ab，配方得，|AB|2=（a+b）2ab，又ab（a+b2）2，（a+b）2ab（a+b）214（a+b）2=34（a+b）2得到|AB|32（a+b）|MN|AB|1212(a+b)32(a+b)=33，即|MN|AB|的最大值为33故选：B二填空题（共3小题）4已知点（1，1）是椭圆x24+y22=1某条弦的中点，则此弦所

7、在的直线方程为：x+2y3=0【解答】解：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（1，1）为EF中点，x1+x2=2，y1+y2=2，把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆x24+y22=1，可得x124+y122=1，x224+y222=1两式相减，可得（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，2（x1x2）+4（y1y2）=0，k=y1-y2x1-x2=12以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y1=12（x1），整理，得x+2y3=0故答案为：x+2y3=05已知m，n，s，tR+，m+n=2，ms+nt=9，

8、其中m、n是常数，当s+t取最小值49时，m、n对应的点（m，n）是双曲线x24-y22=1一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为x2y+1=0【解答】解：由已知得s+t=19(s+t)(ms+nt)=19(m+n+mts+nst)19(m+n+2mn)=19(m+n)2，由于s+t的最小值是49，因此19(m+n)2=49，m+n=2，又m+n=2，所以m=n=1设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有x1+x22=y1+y22=1，即x1+x2=y1+y2=2又该两点在双曲线上，则有x124-y122=1，x224-y222=1，两式相减得(x1+

9、x2)(x1-x2)4-(y1+y2)(y1-y2)2=0，把代入得y1-y2x1-x2=12，即所求直线的斜率是12，所求直线的方程是y-1=12(x-1)，即x2y+1=0故答案为x2y+1=06椭圆E：x216+y24=1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为x+2y4=0【解答】解：设所求直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1216+y124=1，x2216+y224=1两式相减得(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)4=0又x1+x2=4，y1+y2=2，kAB=y1-y2x1-x2=-12因此所求直线方程为y1=1

10、2（x2），即x+2y4=0故答案为：x+2y4=0三解答题（共7小题）7已知抛物线C：y2=2px（p0）过点A（2，4），（）求抛物线C的方程，并求其准线l方程；（）若点B（1，2），直线l过点B且与抛物线C交于P、Q两点，若点B为PQ中点，求直线l的方程【解答】解：（ I）由抛物线C：y2=2px（p0）过点A（2，4），解得P=4抛物线C的方程为y2=8x，其准线l方程为x=2；（ II）显然，直线l的斜率不存在或直线l的斜率为0均不符合题意，（4分）故可设直线l的方程为y2=k（x1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知：y12=8x1，y22=8x2，y12y22=8

11、x18x2，k=y1-y2x1-x2=8y1+y2=2所以，直线l的方程为2xy=0 （12分）8在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）经过点（2，2），离心率为22（）求E的方程；（）过E的左焦点F且斜率不为0的直线l与E相交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC与直线x=4相交于点D，若ADF为等腰直角三角形，求l的方程【解答】解：（）依题意，得e=ca=22，a2=b2+c2，4a2+2b2=1，解得b=c=2，a=22，所以E的方程为x28+y24=1；（）易得F（2，0），可设直线l的方程为x=ky2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组

12、x=ky2和x2+2y2=8，消去x，整理得（k2+2）y24ky4=0，由韦达定理，得y1+y2=4k2+k2，y1y2=42+k2，所以y1+y22=2k2+k2，x1+x22=k(y1+y2)22=42+k2，即C（42+k2，2k2+k2），所以直线OC的方程为y=k2x，令x=4，得y=2k，即D（4，2k），所以直线DF的斜率为2k-0-4+2=k，所以直线DF与l恒保持垂直关系，故若ADF为等腰直角三角形，只需|AF|=|DF|，即4+4k2=(x1+2)2+y12=(1+k2)y12，解得y1=±2，又x128+y124=1，所以x1=0，所以k=±1，从而

13、直线l的方程为：xy+2=0或x+y+2=09过椭圆x216+y24=1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程【解答】解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）M（2，1）为AB的中点x1+x2=4，y1+y2=2又A、B两点在椭圆上，则x12+4y12=16，x22+4y22=16两式相减得(x12-x22)+4(y12-y22)=0于是（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0y1-y2x1-x2=-x1+x24(y1+y2)=-44×2=-12，即kAB=-12，故所求直线的方程为y-1=-12(x-2)，即x+2y

14、4=010已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点（I）求点M的轨迹C的方程；（）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|【解答】解：（I）由题意得，F1（1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4|F1F2|，（2分）点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，（4分）其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴

15、b=3，椭圆方程为：x24+y23=1 （5分）（）当直线l 与x轴垂直时，B1（1，32），B2（1，32），又F1（1，0），此时B1F1B2F10，所以以B1B2为直径的圆不经过F1不满足条件（6分）当直线l 不与x轴垂直时，设L：y=k（x1）由&y=k(x-1)&x24+y23=1即（3+4k2）x28k2x+4k212=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则：x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以B1F1B2F1=0，又F1（1，0）所以（1x1）（1x2）

16、+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=97，（8分）由&y2=4x&y=k(x-1)得k2x2（2k2+4）x+k2=0因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k0，设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4=2k2+4k2=2+4k2，x3x4=1所以|A1A2|=x3+x4+p=2+4k2+2=649（12分）11已知直线y=12x与抛物线y2=2px（p0）交于O，A两点（F为抛物线的焦点，O为坐标原点），若|AF|=17，求OA的垂直平分线的方程【解答】解：由题意可得：F（0.5p，0），由y=x2，得：x

17、=2y，可得：y2=2px=2p2y，可得：y=4p，x=8p，可得：A（8p，4p），（4p0）2+（8p0.5p）2=AF2=172，72.25p2=172，p0，可解得：p=2，OA的垂直平分线的方程是：y4p=2（x2p），即y4=2（x8）化简后一般式为：2x+y20=012已知抛物线C：y=mx2（m0），焦点为F，直线2xy+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，求抛物线的方程【解答】解：联立方程&y=mx2&2x-y+2=0，消去y得mx22x2=0，依题意，有=（2）24

18、5;m×（2）0，解得m12，设A（x1，mx12），B（x2，mx22），则&x1+x2=2m&x1x2=-2m，（*）P是线段AB的中点，P（x1+x22，mx12+mx222），即P（1m，yP），Q（1m，1m）得QA=（x11m，mx121m），QB=（x21m，mx221m），若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QAQB=0，即（x11m）（x21m）+（x121m）（mx221m）=0，结合（*）化简得4m26m+4=0，即2m23m2=0，m=2或m=12，而2（12，+），12（12，+）m=2抛物线的方程y=2x213已知抛物线y

19、2=2px（p0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（1）求抛物线方程；（2）过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标【解答】解：（1）抛物线y2=2px的准线x=p2，于是，4+p2=5，p=2抛物线方程为y2=4x（2）点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2）又F（1，0），kFA=43又MNFA，kMN=34，则FA的方程为y=43（x1），MN的方程为y2=34x，解方程组&y-2=-34x&y=43(x-1)得 &x=85&y=45N(85，45)