2022届高三数学一轮复习（原卷版）第九章 9.9范围、最值、定点、定值问题-教师版.docx

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1、 第1课时进门测题型一范围问题例1已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c,0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc或xc.因为点M在第一象

2、限，可得M的坐标为.由|FM| .解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即直线FP的方程为yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立，消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t ，解得x1或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m ，得m.当x(1,0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m ，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围

3、；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围已知椭圆C：1(a>b>0)与双曲线y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围解(1)双曲线的离心率为，椭圆的离心率e.又直线xy20经

4、过椭圆的右顶点，右顶点为(2,0)，即a2，c，b1，椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，则x1x2，x1x2，于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故·k2m20.由m0得k2，解得k±.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)>0，得0<m2<2，显然m21(否则x1x20，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜

5、率不存在，与已知矛盾)设原点O到直线的距离为d，则SOMN|MN|d···|x1x2|m|.故由m的取值范围可得OMN面积的取值范围为(0,1)题型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值例2过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是()A2 B. C4 D2答案C解析设直线AB的倾斜角为，可得|AF|，|BF|，则|AF|·|BF|×4.命题点2数形结合利用几何性质求最值例3在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，

6、则实数c的最大值为_答案解析双曲线x2y21的渐近线为x±y0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.设直线PM、QM的斜率分别为k、k，证明为定值；求直线AB的斜率的最小值(1)解设椭圆的半焦距为c.由题意知2a4,2c2.所以a2

7、，b.所以椭圆C的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)(x00，y00)由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，2m)所以直线PM的斜率k.直线QM的斜率k.此时3.所以为定值3.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线PA的方程为ykxm.直线QB的方程为y3kxm.联立整理得(2k21)x24mkx2m240，由x0x1，可得x1，所以y1kx1mm.同理x2，y2m.所以x2x1，y2y1mm，所以kAB，由m0，x00，可知k0，所以6k2，当且仅当k时取“”因为P(x0,2m)在椭圆1上，所以x0，故此时，即m，符合题意所以直线AB的斜率的最小值为.思维升华处理圆锥曲线最

8、值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解已知圆(xa)2(y1r)2r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设P为直线l：xy20上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值解(

9、1)依题意，由圆过定点F可知轨迹C的方程为x24y.(2)抛物线C的方程为x24y，即yx2，求导得yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0的两组解所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|·|B

10、F|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，由一元二次方程根与系数的关系可得y1y2x2y0，y1y2y，所以|AF|·|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y02，所以yx2y012y2y052(y0)2，所以当y0时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.作业检查无第2课时阶段训练题型一定点问题例1已知椭圆1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且

11、满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点(1)解设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.椭圆的方程为y21.(2)证明由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)>0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt

12、)21，由题意mt<0，mt1，满足，得直线l方程为xty1，过定点(1,0)，即Q为定点思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BFx轴，|BF|.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：xty是椭圆C的一条切线，点M(，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定

13、点坐标解(1)由题意设椭圆方程为1(a>b>0)，焦点F(c,0)，因为，将点B(c，)的坐标代入方程得1.由结合a2b2c2，得a，b1.故所求椭圆方程为y21.(2)由得(2t2)y22ty220.因为l为切线，所以(2t)24(t22)(22)0，即t2220.设圆与x轴的交点为T(x0,0)，则(x0，y1)，(x0，y2)因为MN为圆的直径，故·x2y1y20.当t0时，不符合题意，故t0.因为y1，y2，所以y1y2，代入结合得·，要使上式为零，当且仅当x1，解得x0±1.所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(1,0)与(1,0)，即椭圆的两

14、个焦点题型二定值问题例2椭圆有两顶点A(1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：·为定值(1)解椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，由已知得b1，c1，a，椭圆的方程为x21.当直线l的斜率不存在时，|CD|2，与题意不符；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1，C(x1，y1)，D(x2，y2)联立化简得(k22)x22kx10, 则x1x2，x1·x2.|CD|·，解得

15、k±.直线l的方程为xy10或xy10.(2)证明当直线l的斜率不存在时，与题意不符当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1(k0，k±1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，点P的坐标为(，0)由(1)知x1x2，x1x2，且直线AC的方程为y(x1)，直线BD的方程为y(x1)，将两直线方程联立，消去y，得.1<x1<1，1<x2<1，与异号，()2·()2，y1y2k2x1x2k(x1x2)1k2()k()1，与y1y2异号，与同号，解得xk，故点Q的坐标为(k，y0)，·(，0)·(k，y0)1，故

16、83;为定值思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值

17、？请说明理由解(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线点Q在线段FP的垂直平分线上，|PQ|QF|，又|PQ|是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x>0)(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径r|MA|，则|TS|22，点M在曲线C上，x0，|TS|22是定值题型三探索性问题例3 如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两

18、点是否存在常数，使得··为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点P的坐标为(0,1)，且·1，于是解得a2，b，所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(2k21)x24kx20，其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，从而，··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以当1时，23，此时··3

19、为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时，····213.故存在常数1，使得··为定值3.思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法已知A(1,2)，B(，1)是抛物线y2ax(a>0)上的两个点，过点A，B引抛物线的两条弦AE，BF.(1)求实数a的值；(2)若直

20、线AE与BF的斜率互为相反数，且A，B两点在直线EF的两侧，直线EF的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由解(1)把点A(1,2)代入抛物线方程得a4.(2)直线EF的斜率是定值，理由如下：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线AE：yk(x1)2，则直线BF：yk(x)1，联立方程组消去y，得k2x2(4k2k24)x(2k)20，x1，y1k(x11)2，E(，)，联立方程组消去y，得k2x2(k22k4)x(1k)20，x2，x2，y2k(x2)1，得F(，)故kEF4.典例椭圆C：1(a>b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的

21、直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k20，证明为定值，并求出这个定值思想方法指导对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值规范解答解(1)由于c2a2b

22、2，将xc代入椭圆方程1，得y±.由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.4分(2)设P(x0，y0)(y00)，又F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为：y0x(x0)yy00，：y0x(x0)yy00.由题意知 .由于点P在椭圆上，所以y1.所以.8分因为<m<，2<x0<2，可得，所以mx0，因此<m<.10分(3)设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0)联立得整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.12分由题意0，即(4x)k

23、22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0，故k.由(2)知，所以·8，因此为定值，这个定值为8.15分第3课时阶段重难点梳理1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有>0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；<0直线与圆锥曲线相离(2)若a0，b0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位

24、置关系是平行或重合2圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x2x1|y2y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线. (3)过双曲线外

25、不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线重点题型训练1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,4答案C解析Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k2·4k264(1k2)0，解得1k1.2已知P为双曲线C

26、：1上的点，点M满足|1，且·0，则当|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A. B. C4 D5答案B解析由·0，得OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x±3y0，所求的距离d，故选B.3已知F1，F2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2答案C解析由P是双曲线

27、左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2c，所以e3.又e>1，所以1<e3.故选C.4若点O和点F分别为椭圆1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最小值为_答案6解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，依题意得左焦点F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，·x(x1)y2x2x·2.3x3，x，2，2，6·212，即6·12.故最小值为6.5已知M是抛物线x24y

28、上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)2(y5)21上，则|MA|MF|的最小值是_答案5解析依题意，由点M向抛物线x24y的准线l：y1引垂线，垂足为M1，则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形(图略)可知|MA|MM1|的最小值等于圆心C(1,5)到y1的距离再减去圆C的半径，即615，因此|MA|MF|的最小值是5.6已知椭圆C1：1与双曲线C2：1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为_答案(，1)解析椭圆C1：1，am2，bn，cm2n，e1.双曲线C2：1，am，bn，cmn，由条件知m2nmn，则n1，e1.由m>0得m2>2，<，>，1&

29、gt;，即e>，而0<e1<1，<e1<1.7已知抛物线y24x，焦点为F，过点(2,0)且斜率为正数的直线交抛物线于A，B两点，且·11.(1)求直线AB的方程；(2)设点C是抛物线 (不含A，B两点)上的动点，求ABC面积的最大值解(1)设直线AB为xmy2(m>0)，A(，y1)，B(，y2)，F(1,0)，联立消x，得y24my80，则则·(1，y1)·(1，y2)(1)(1)y1y21y1y241811，得m21，又因为m>0，故m1，即直线AB的方程为xy2，即xy20.(2)设C(，y0)，联立解得y1,22

30、±2，故22<y0<22，点C到直线AB的距离为d，当y02时，dmax，此时|AB|×4，故SABCmax|AB|dmax6.8已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解(1)设双曲线C的方程为1(a>0，b>0)由已知得a，c2，又a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m2>3

31、k21且k2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1x2，x0，y0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0)整理得3k24m1，将代入，得m24m>0，m<0或m>4.又3k24m1>0(k0)，即m>.m的取值范围是(4，)9已知椭圆C1：1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程；(2)设点P在抛物线C2：yx2h(hR)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值解(1)由题意，得从而因此，所求的

32、椭圆C1的方程为x21.(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y.直线MN的方程为y2txt2h.将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2(2txt2h)240，即4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以式中的116t42(h2)t2h24>0.设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3.设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4.由题意，得x3x4，即t2(1h)t10.由式中的2(1h)240，得h1或h3.当h3时，h2<0,4h2<0，则不等式不成立，所以h1.当h

33、1时，代入方程得t1，将h1，t1代入不等式，检验成立所以，h的最小值为1.作业布置1已知抛物线x24y的焦点为F，A，B是抛物线上的两个动点，且(>0)过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：·为定值；(2)设ABM的面积为S，求S的最小值(1)证明设直线AB的方程为ykx1，与抛物线x24y联立得x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因此x1x24k，x1x24，由直线AMyx，直线BMyx得M(，)，即M(2k，1)，所以·(2k，2)·(x2x1，)(2k，2)·(4，4k)0.(2)解|AB|4(k21)

34、，点M到直线AB的距离为d2，所以S·4(k21)·24，所以S的最小值为4.2椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点(1)求椭圆E的标准方程；(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值(1)解因为e，所以ca，a2b2(a)2.又椭圆过点(，)，所以1.由，解得a26，b24，所以椭圆E的标准方程为1.(2)证明设直线l：ykx1，联立得(3k22)x26kx90.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，易知B(0，2)，故k

35、BC·kBD··k2k23k·(3k22)2.所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值3设直线l与抛物线x22y交于A，B两点，与椭圆1交于C，D两点，直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，k3，k4.若OAOB.(1)是否存在实数t，满足k1k2t(k3k4)，并说明理由；(2)求OCD面积的最大值解设直线l的方程为ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)联立得x22kx2b0，则x1x22k，x1x22b，14k28b>0.因为OAOB，所以x1x2y1y20，得b2.

36、联立得(34k2)x216kx40，所以x3x4，x3x4，由2192k248>0得k2>.(1)存在实数t.因为k1k2k，k3k46k，所以，即t.(2)根据弦长公式|CD|x3x4|得|CD|4··，根据点O到直线CD的距离公式得d，所以SOCD|CD|·d4·，设t>0，则SOCD，所以当t2，即k±时，SOCD有最大值.4已知椭圆C：1(a>b>0)与双曲线1(1<v<4)有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y22x于P，Q两点，且.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C

37、上，是否存在点R(m，n)使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点M，N，且OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的OMN的面积；若不存在，请说明理由解(1)1<v<4，双曲线的焦点在x轴上，设焦点F(±c,0)，则c24vv13，由椭圆C与双曲线共焦点，知a2b23，设直线l的方程为xtya，代入y22x，可得y22ty2a0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y22t，y1y22a，x1x2y1y2a22a0，a2，b1，椭圆C的方程为y21.(2)在MON中，SOMN·|OM|·|ON|·sinMONs

38、inMON.当MON90°时，sinMON有最大值，此时点O到直线l的距离为d，m2n22.又m24n24，联立解得m2，n2，此时点R的坐标为或，MON的面积为.*5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x324y204(1)求C1，C2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同的两点M，N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)设抛物线C2：y22px(p0)，则有2p(x0)，据此验证四个点知(3，2)，(4,4)在C2上，易求得C2的标准方程为y24x.设椭圆C1：1(a>b>0)，把点(2,0)，(，)代入得解得所以C1的标准方程为y21.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k21，由，即·0，得x1x2y1y20.(*)将代入(*)式，得0，解得k±2，所以存在直线l满足条件，且直线l的方程为2xy20或2xy20.37