2022届高三数学一轮复习（原卷版）第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 教案.doc

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1、 1 第二节第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式同角三角函数的基本关系与诱导公式 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养 2把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：平方关系：sin2cos21(R R) (2)商数关系：商数关系

2、：tan sin cos k2，kZ . 2三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 组数组数 一一 二二 三三 四四 五五 六六 角角 2k(kZ Z) 2 2 正弦正弦 sin sin_ sin_ sin_ cos_ cos_ 余弦余弦 cos cos_ cos_ cos_ sin_ sin_ 正切正切 tan tan_ tan_ tan_ 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关键点练明一、关键点练明 1(平方关系平方关系)若若 sin 55，2，则，则 cos 等于等于( ) A.55 B55 C2 55 D.2 55 答案：答案：C 2(商数关系商数关系)已知已知 tan 2，则，则sin co

3、s sin cos 的值为的值为_ 答案：答案：3 3(诱导公式诱导公式)化简化简cos 2sin 52 sin()cos(2)的结果为的结果为_ 答案：答案：sin2 二、易错点练清二、易错点练清 1(忽视角所在的象限忽视角所在的象限)已知已知 是第二象限角，是第二象限角，sin 513，则，则 cos 等于等于( ) 2 A1213 B513 C.513 D.1213 答案：答案：A 2(忽视诱导公式变名、变号忽视诱导公式变名、变号的条件的条件)计算下列各式的值：计算下列各式的值： (1)sin 314_， (2)tan 263_. 答案答案：(1)22 (2) 3 3(忽视对忽视对 k

4、的讨论的讨论)已知已知 Asin k sin cos k cos (kZ Z)，则，则 A 的值构成的集合是的值构成的集合是_ 解析：解析：当当 k 为奇数时：为奇数时：Asin sin cos cos 2. 当当 k 为偶数时：为偶数时：Asin sin cos cos 2. 答案：答案：2,2 考点一考点一 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 考法考法(一一) 知弦求弦、切或知切求弦知弦求弦、切或知切求弦 例例 1 (1)设设 cos(80 )k，那么，那么 tan 100 等于等于( ) A.1k2k B1k2k C.k1k2 Dk1k2 (2)若若 sin 513，且，且 为

5、第四象限角，则为第四象限角，则 tan 的值等于的值等于( ) A.125 B125 C.512 D512 解析解析 (1)cos(80 )cos 80 k， sin 80 1cos280 1k2， tan 100 tan 80 1k2k.故选故选 B. (2)法一法一：因为：因为 为第四象限角，为第四象限角， 3 故故 cos 1sin2 1 51321213， 所以所以 tan sin cos 5131213512. 法二法二：因为：因为 是第四象限角，且是第四象限角，且 sin 513， 所以可在所以可在 的终边上取一点的终边上取一点 P(12，5)， 则则 tan yx512.故选故选

6、 D. 答案答案 (1)B (2)D 方法技巧方法技巧 知弦求弦知弦求弦 利用诱导公式及平方关系利用诱导公式及平方关系 sin2cos21 求解求解 知弦求切知弦求切 常通过平方关系，与对称式常通过平方关系，与对称式 sin cos ，sin cos 建立联系，注建立联系，注意意 tan sin cos 的灵活应用的灵活应用 知切求弦知切求弦 先利用商数关系得出先利用商数关系得出 sin tan cos 或或 cos sin tan ， 然后利用， 然后利用平方关系求解平方关系求解 考法考法(二二) 知切求知切求 f(sin 、cos )的值的值 例例 2 (1)已知已知 tan(3)3，则，

7、则3sin cos 2sin 3cos ( ) A.13 B.89 C.23 D2 (2)已知已知 02，sin 45，则，则sin22sin cos cos212sin2的值为的值为_ 解析解析 (1)tan(3)3，tan 3， 3sin cos 2sin 3cos 3tan 12tan 333123389.故选故选 B. (2)02，sin 45，cos 35，tan 43. sin22sin cos cos212sin2sin22sin cos 2cos2sin2tan22tan 2tan2 4322432 4321698321691624181640220. 4 答案答案 (1)B

8、(2)20 方法技巧方法技巧 “切弦互化切弦互化”的技巧的技巧 (1)弦化切：弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切切”的表达式，进行求值常见的的表达式，进行求值常见的结构有：结构有： sin ，cos 的二次齐次式的二次齐次式(如如 asin2bsin cos ccos2)的问题常采用的问题常采用“切切”代换法求代换法求解；解； sin ，cos 的齐次分式的齐次分式 如如asin bcos csin dcos 的问题常采用分式的基本性质进行变形的问题常采用分式的基本性质进行变形 (2)切化弦：切化弦：利用公式利用公式 tan sin cos ，

9、把式子中的切化成弦一般单独出现正切的时候，采用，把式子中的切化成弦一般单独出现正切的时候，采用此技巧此技巧 提醒提醒 知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号 考法考法(三三) sin cos 与与 sin cos 关系的应用关系的应用 例例 3 (1)已知已知 sin cos 38，且，且42，则，则 cos sin 的值为的值为( ) A.12 B12 C14 D12 (2)(多选多选)(2021 滨州模拟滨州模拟)已知已知 (0，)，sin cos 15，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是

10、( ) Asin 45 Bcos 35 Ctan 34 Dsin cos 75 解析解析 (1)sin cos 38， (cos sin )2cos22sin cos sin2 12sin cos 123814， 42，cos sin ， 即即 cos sin 0，cos sin 12. (2)由题意知由题意知 sin cos 15， (sin cos )212sin cos 125， 5 2sin cos 24250， 又又(0，)，20， sin cos 12sin cos 1 2425492575， sin 45，cos 35.tan 43，A、B、D 正确正确 答案答案 (1)D (2

11、)ABD 方法技巧方法技巧 正弦、余弦正弦、余弦“sin cos ，sin cos ”的应用的应用 sin cos 与与sin cos 通过平方关系联系到一起通过平方关系联系到一起， 即即(sin cos )21 2sin cos ， sin cos sin cos 212， sin cos 1 sin cos 22.因此在解题中已知因此在解题中已知 1 个可求另外个可求另外 2 个个 针对训练针对训练 1已知已知 (0，)，cos 35，则，则 tan ( ) A.34 B34 C.43 D43 解析：解析：选选 D cos 35且且 (0，)，sin 1cos245， tan sin co

12、s 43.故选故选 D. 2若若 tan 34，则，则 cos22sin 2 等于等于( ) A.6425 B.4825 C1 D.1625 解析：解析： 选选 A tan 34， 则， 则 cos22sin 2cos22sin 2cos2sin2cos24sin cos cos2sin214tan 1tan26425. 3已知已知 sin ，cos 是方程是方程 3x22xa0 的两个根，则实数的两个根，则实数 a 的值为的值为( ) A.56 B56 C.43 D.34 解析：解析：选选 B 由题可得，由题可得，sin cos 23，sin cos a3. 6 所以所以 sin2cos2(

13、sin cos )22sin cos 492a31，解得，解得 a56. 考点二考点二 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 典例典例 (1)设设 f()2sin cos cos 1sin2cos 32 sin2 2(12sin 0)，则，则 f 236_. (2)已知已知 cos 6 a，则，则 cos 56 sin 23 的值是的值是_ 解析解析 (1)因为因为 f() 2sin cos cos 1sin2sin cos22sin cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1tan ，所以，所以 f 2361tan 2361tan 461tan6 3. (2

14、)因为因为 cos 56 cos 6cos 6 a，sin 23 sin 2 6cos 6 a，所以所以 cos 56 sin 23 0. 答案答案 (1) 3 (2)0 方法技巧方法技巧 应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项 (1)已知角求值问题已知角求值问题关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”的应用的应用 (2)对给定的式子进行化简或求值问题对给定的式子进行化简或求值问题要

15、注意给定的角之间存在的特要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错函数名出错 针对训练针对训练 1sin 570 的值是的值是( ) A12 B.12 C.32 D32 解析：解析：选选 A sin 570 sin(720 150 )sin 150 12.故选故选 A. 2(2021 湖北八校联考湖北八校联考)已知已知 sin()13，则，则 tan 2 ( ) A2 2 B2 2 C.24 D 2 2 解析：解析

16、：选选 D sin()13，sin 13，tan 2 cos sin 2 2.故选故选 D. 7 3已知已知 f() sin 2 tan cos 214sin 72 cos 3 cos 2 . (1)化简化简 f()； (2)若若33，且，且 f()14，求，求 的取值范围的取值范围 解：解：(1)f() cos tan cos 214cos cos cos sin cos 214cos 2sin cos 4cos 12sin . (2)由已知得由已知得12sin 12， 2k62k76，kZ Z. 33，63. 故故 的取值范围为的取值范围为 6，3. 创新思维角度创新思维角度融会贯通学妙法

17、融会贯通学妙法 勾股数与同角三角函数基本关系勾股数与同角三角函数基本关系 同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，在三角函数求值中，出现频率较高同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，在三角函数求值中，出现频率较高的勾股数有以下几组：的勾股数有以下几组：(3,4，5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(1,1， 2)，(1， 3，2)，(1,2， 5)，(1,3， 10)等，熟悉它们之间的关系，能快速解决选填小题等，熟悉它们之间的关系，能快速解决选填小题 1已知已知 tan 34，sin 0，则，则 cos ( ) A.35 B35 C.45 D45

18、 解析：解析：选选 D 由由 tan 34，想到勾股数，想到勾股数(3,4,5)，结合，结合 sin 0，得，得 cos 45. 2已知已知 是第四象限角，是第四象限角，sin 1213，则，则 tan 等于等于( ) A513 B.513 C125 D.125 8 解析：解析：选选 C 由由 是第四象限角，且是第四象限角，且 sin 1213，所以，所以 tan 125. 3已知已知 cos 2 32，且，且|2，则，则 tan ( ) A33 B.33 C 3 D. 3 解析：解析：选选 C cos 2 sin 32，sin 32. 又又|2，20，tan 0，cos 0， 所以原式所以原

19、式sin cos .故选故选 A. 3已知已知 (0，)，且，且 cos 1517，则，则 sin 2 tan()( ) A.1517 B.1517 C817 D.817 解析：解析：选选 D sin 2 tan()cos tan sin ， 因为因为 (0，)，且，且 cos 1517，所以，所以 sin 1cos21 15172817， 即即 sin 2 tan()817.故选故选 D. 4已知已知 2sin cos 0，则，则 sin22sin cos 的值为的值为( ) A35 B125 C.35 D.125 解析：解析：选选 A 由已知由已知 2sin cos 0 得得 tan 12

20、，所以，所以 sin22sin cos sin22sin cos sin2cos2tan22tan tan2135.故选故选 A. 5(2021 潍坊一模潍坊一模)在平面坐标系在平面坐标系 xOy 中，点中，点 P( 3，1)，将向量，将向量 OP 绕点绕点 O 按逆时针方向旋按逆时针方向旋转转2后得到向量后得到向量OQ ，则点，则点 Q 的坐标是的坐标是( ) A( 2，1) B(1， 2) C( 3，1) D(1， 3) 11 解析：解析：选选 D 设以射线设以射线 OP 为终边的角为为终边的角为 ，以射线，以射线 OQ 为终边的角为为终边的角为 ，且，且 2， 由题意可得由题意可得 si

21、n 12，cos 32，结合三角函数的定义与诱导公式可得，结合三角函数的定义与诱导公式可得 xQ2cos 2cos 22sin 1，yQ2sin 2sin 22cos 3，即点，即点 Q 的坐标为的坐标为(1，3)故选故选 D. 6已知角已知角 的顶点为坐标原点，始边与的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且，且 cos 223，则，则|ab|( ) A.15 B.55 C.2 55 D1 解析：解析：选选 B 由由 cos 223，得，得 cos2sin223， cos2sin2cos2sin223，即，即1t

22、an21tan223，tan 55， 即即ba2155，|ab|55.故选故选 B. 7若若 sin ，cos 是方程是方程 4x22mxm0 的两根，则的两根，则 m 的值为的值为( ) A1 5 B1 5 C1 5 D1 5 解析：解析：选选 B 由题意知由题意知 sin cos m2，sin cos m4. (sin cos )212sin cos ，m241m2，解得，解得 m1 5，又，又 4m216m0， m0 或或 m4，m1 5. 8(多选多选)定义：角定义：角 与与 都是任意角，若满足都是任意角，若满足 2，则称，则称 与与 “广义互余广义互余”已知已知sin()14，下列角

23、，下列角 中，可能与角中，可能与角 “广义互余广义互余”的是的是( ) Asin 154 Bcos()14 Ctan 15 Dtan 155 解析：解析：选选 AC sin()sin 14，sin 14，cos 154，若若 2，则，则 2.sin sin 2 cos 可能成立，角可能成立，角 可能与角可能与角 “广义互余广义互余”，故，故 A 符合条件；符合条件； 12 若若 B 符合，则符合，则 cos()cos 2 sin 14，与，与 cos()14矛盾，故矛盾，故 B 不符合不符合条件；对于条件；对于 C，tan 15，即，即 sin 15cos ，又，又 sin2cos21，故，故

24、 sin 154，即，即C 符合条件；符合条件；tan 155，即，即 sin 155cos ，又，又 sin2cos21，故，故 sin 64，故，故 D不符合条件不符合条件 9在在ABC 中，若中，若 tan A23，则，则 sin A_. 解析：解析：因为因为 tan A230，所以，所以 A 为锐角，为锐角， 由由 tan Asin Acos A23以及以及 sin2Acos2A1， 可求得可求得 sin A2211. 答案：答案：2211 10已知已知 为第二象限角，则为第二象限角，则 cos 1tan2sin 11tan2_. 解析：解析：原式原式cos sin2cos2cos2s

25、in sin2cos2sin2 cos 1|cos |sin 1|sin |， 因为因为 是第二象限角，是第二象限角， 所以所以 sin 0，cos 0， 所以所以 cos 1|cos |sin 1|sin |110， 即原式等于即原式等于 0. 答案：答案：0 11已知已知 sin 2 cos 72 1225，且，且 04，则，则 sin _，cos _. 解析：解析：sin 2 cos 72 (cos ) (sin ) sin cos 1225. 04，0sin cos . 联立联立 sin cos 1225，sin2cos21，解得解得 sin 35，cos 45. 13 答案答案：35 45 12已知已知 cos sin 5 213， 0，4. (1)求求 sin cos 的值的值； (2)求求sin 22cos 4的值的值 解解：(1)cos sin 5 213， 0，4， 平方可得平方可得 12sin cos 50169，sin cos 119338. (2)sin cos sin cos 2 12sin cos 12 213， sin 22cos 4cos 2cos 4 cos sin cos sin 22 cos sin 2(cos sin )2413.