通用版2020版高考数学大一轮复习第23讲正弦定理和余弦定理学案理新人教A版20190313367_20210103224753.docx

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1、第23讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA=2R(其中R是ABC的外接圆的半径) a2=, b2=, c2= 定理的变形a=2Rsin A,b=,c=,abc=   cos A=, cos B=, cos C= 2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin A<a<baba>b解的个数    3.三角形面积公式(1)S=12ah(h表示边a上的高);

2、(2)S=12bcsin A=12acsin B=12absin C;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在ABC中,A+B+C=;变形:A+B2=2-C2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin A+B2=cos C2;(4)cos A+B2=sin C2.3.三角形中的射影定理在ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.题组一常识题1.教材改编 在ABC中,B=45°,C=60°,

3、c=2,则最短边的边长等于. 2.教材改编 在ABC中,已知a=5,b=23,C=30°,则c=. 3.教材改编 在ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于. 4.教材改编 在ABC中,已知a=32,b=23,cos C=13,则ABC的面积为. 题组二常错题索引:在ABC中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错.5.在ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为;若sin A>sin B,则A,B的关系为. 6.在AB

4、C中,若A=60°,a=43,b=42,则B等于. 7.在ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=,ABC的面积等于. 8.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若ccos A=b,则ABC为三角形. 探究点一利用正弦、余弦定理解三角形例1 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,且b2+c2=3+bc.(1)求角A的大小;(2)求bsin C的最大值.   总结反思 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定

5、理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.变式题 (1)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanAtanB=2cb,则C=()A.6B.4C.4或34D.3(2)2018·衡水中学月考 已知ABC满足BC·AC=22,若C=34,sinAsinB=12cos(A+B),则AB=. 

6、探究点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2 已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形   总结反思 判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.变式题 在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若tanAtanB=a2

7、b2,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形或等腰三角形探究点三与三角形面积有关的问题例3 2018·洛阳三模 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且bsin B+(c-b)sin C=asin A.(1)求角A的大小;(2)若sin Bsin C=38,且ABC的面积为23,求a.    总结反思 (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表

8、示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,也可结合基本不等式求解.变式题 2018·黄冈中学月考 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.(1)求ABC的面积;(2)若cos Bcos C=14,求ABC的周长.   第23讲正弦定理和余弦定理考试说明 1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.【课前双基巩固】知识聚焦1.bsinBcsinCb2+c2-2bccos Ac2+a2-2accos Ba2+b2-2abcos

9、 C2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin Cb2+c2-a22bca2+c2-b22caa2+b2-c22ab2.一解两解一解一解对点演练1.263解析 易知A=75°,角B最小,所以边b最短.由正弦定理bsinB=csinC,得bsin45°=2sin60°,解得b=263.2.7解析 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=52+(23)2-2×5×23cos 30°=7,所以c=7.3.60°解析 因为cos C=a2+b2-c22ab=12,所以C=60°.4.43解析 因为sin

10、 C=1-cos2C=223,所以ABC的面积S=12absin C=43.5.A=BA>B解析 根据正弦定理知,在ABC中有sin A=sin Ba=bA=B,sin A>sin Ba>bA>B.6.45°解析 由正弦定理知asinA=bsinB,则sin B=bsinAa=42×3243=22.又a>b,所以A>B,所以B为锐角,故B=45°.7.7332解析 易知c=4+9-2×2×3×12=7,ABC的面积等于12×2×3×32=332.8.直角解析 ccos

11、A=b,由正弦定理得sin Ccos A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,整理得sin Acos C=0,sin A0,cos C=0,即C=90°,则ABC为直角三角形. 【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)由余弦定理可得出;(2)用正弦定理将bsin C表示为关于C的三角函数,再结合C的取值范围求最大值.解:(1)由a=3,b2+c2=3+bc,得b2+c2-a22bc=3+bc-a22bc=12,即cos A=12,又A(0,),A=3.(2)由正弦定理,得b=asinAsin B=2sin B,bsin C=2sin Csin B=2

12、sin Csin23-C=2sin C12sinC+32cosC=sin2C+3sin Ccos C=32sin 2C-12cos 2C+12=sin2C-6+12.0<C<23,-6<2C-6<76,当sin2C-6=1,即C=3时,bsin C取得最大值32.变式题(1)B(2)10解析 (1)由1+tanAtanB=2cb得1+sinAcosBcosAsinB=2sinCsinB,整理得sin Bcos A+sin Acos B=2sin Ccos A,所以sin(A+B)=sin C=2sin Ccos A,所以cos A=12.又因为A(0,),所以sin A

13、=32.由正弦定理asinA=csinC,得sin C=csinAa=22,所以C=4.故选B.(2)由正弦定理可得sinAsinB=BCAC,因为A+B+C=,所以cos(A+B)=-cos C,则由已知条件可知BCAC=-12cosC=22,又BC·AC=22,可得BC=2,AC=2,由余弦定理得AB=BC2+AC2-2·BC·AC·cosC=2+4-2×2×2×-22=10.例2思路点拨 由b2+c2=a2+bc及余弦定理可得A=3,由sin B·sin C=sin2A及正弦定理可得bc=a2,结合b2+c2

14、=a2+bc可得b=c.C解析 在ABC中,b2+c2=a2+bc,cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.又A(0,),A=3. sin B·sin C=sin2A,bc=a2.又由b2+c2=a2+bc,得(b-c)2=a2-bc=0,b=c,ABC的形状是等边三角形.故选C.变式题D解析 由条件可得sinAa2cosA=sinBb2cosB,由正弦定理可得aa2cosA=bb2cosB,整理可得acos A=bcos B,所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=-2B,所以A=B或A+B=2,所以ABC是

15、等腰三角形或直角三角形.例3思路点拨 (1)利用已知条件,结合正弦定理以及余弦定理即可求出角A的大小;(2)利用正弦定理以及三角形的面积公式求解a.解:(1)由bsin B+(c-b)sin C=asin A及正弦定理得b2+(c-b)c=a2,即b2+c2-bc=a2,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,又A(0,),A=3.(2)由正弦定理asinA=bsinB=csinC,可得b=asinBsinA,c=asinCsinA,SABC=12bcsin A=12·asinBsinA·asinCsinA·sin A=a2sinBsinC2sinA

16、=23,又sin Bsin C=38,sin A=32,38a2=23,a=4.变式题解:(1)由a2-bc=(b-c)2可得b2+c2-a2=bc,cos A=12,又A(0°,180°),sin A=32,SABC=12bcsin A=34.(2)cos A=-cos(B+C)=12,sin Bsin C-cos Bcos C=12,又cos Bcos C=14,sin Bsin C=34.由正弦定理得asinA2=bcsinBsinC=43,a=1,b2+c2-a2=(b+c)2-2bc-1=(b+c)2-3.又b2+c2-a2=1,b+c=2,ABC的周长为a+b+

17、c=1+2=3.【备选理由】 例1考查了利用正弦、余弦定理解三角形;例2考查了利用二倍角公式、余弦定理以及勾股定理判断三角形的形状;例3考查了求三角形的面积的最大值;例4考查了与三角形面积有关的问题,涉及三角形的中线以及利用基本不等式求解边的最值等问题.例1配合例1使用 2018·莆田六中月考 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a).(1)求角B的大小;(2)若c=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,且BM=13BC,ANBM=23,求AM的值.解:(1)c(sin C-sin A)=(sin A+s

18、in B)(b-a),由正弦定理得c2-ca=b2-a2,a2+c2-b2=ca,cos B=a2+c2-b22ca=12,又0<B<,B=3.(2)设BM=x,则BN=2x,AN=23x,又B=3,AB=8,在ABN中,由余弦定理得12x2=64+4x2-2×8×2xcos3,解得x=2(负值舍去),即BM=2,在ABM中,由余弦定理得AM=AB2+BM2-2·AB·BM·cos3=82+22-2×8×2×12=52=213.例2配合例2使用 已知在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且c

19、os2A2=12+b2c,则ABC为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形解析 Bcos2A2=12+b2c,1+cosA2=12+b2c,即cos A=bc,b2+c2-a22bc=bc,则c2=a2+b2,故ABC为直角三角形,故选B.例3配合例3使用 2018·三明一中月考 如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=1,CB=2,ACD为正三角形,则BCD的面积的最大值为. 答案 1+3解析 在ABC中,设ABC=,ACB=,由余弦定理可知AC2=12+22-2×1×2cos =5-4cos .ACD为正三角形,CD2=5-4

20、cos ,由正弦定理得1sin=ACsin,AC·sin =sin ,CD·sin =sin .(CD·cos )2=CD2(1-sin2)=CD2-sin2=5-4cos -sin2=(2-cos )2,<BAC,为锐角,CD·cos =2-cos ,SBCD=12×2·CDsin3+=CDsin3+=32CD·cos +12CD·sin =32×(2-cos )+12sin =3+sin-3,当=56时,BCD的面积最大,最大值为1+3.例4配合例3使用 2018·三明一中月考 已知A

21、BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,且ABC的面积为12c(asin A+bsin B-csin C).(1)求角C的大小;(2)若D为AB的中点,且c=2,求CD的最大值.解:(1)依题意得,12absin C=12c(asin A+bsin B-csin C),由正弦定理得,abc=c(a2+b2-c2),即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得,cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,又因为C(0,),所以C=3.(2)在ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosADC,即b2=1+CD2-2CDcosADC,在BCD中,BC2=BD2+CD2-2BD·CDcosBDC,即a2=1+CD2-2CDcosBDC.因为ADC+BDC=,所以cosADC=-cosBDC,所以CD2=12(a2+b2)-1.由(1)及c=2得,a2+b2-4=ab12(a2+b2),当且仅当a=b=2时,等号成立,所以12(a2+b2)4,所以CD2=12(a2+b2)-13,即CD3,所以CD的最大值为3.10