人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：三角函数的图像及性质.docx

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1、三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域： 3）值域：4）单调性：（）增函数 （）减函数5）奇偶性：奇函数6）最小正周期：7）对称性：对称轴；对称中心2.余弦函数图像和性质1）图像2）定义域： 3）值域：4）单调性：（）增函数 （）减函数5）奇偶性：偶函数6）最小正周期：7）对称性：对称轴；对称中心3.正切函数图像和性质1）定义域： 2）值域：3）单调性：在（）增函数4）奇偶性：奇函数5）最小正周期：6）对称性：对称中心二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数的图像可以看做将函数的图像上的所有的点向左（当时）或向右（当时

2、）平移个单位而得到2）周期变换：函数（且）的图像可以看做是把的图像上所有的点的横坐标缩短为（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到3）振幅变换：函数（且）的图像可以看做是将的图像上所有的点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）而得到经典例题一选择题（共15小题）1已知函数f（x）=2cos2xsin2x+2，则（）Af（x）的最小正周期为，最大值为3Bf（x）的最小正周期为，最大值为4Cf（x）的最小正周期为2，最大值为3Df（x）的最小正周期为2，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2xsin2x+2，=2cos2xsin2x+2sin2x+2cos2

3、x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=3cos2x+12+1，=3cos2x2+52，故函数的最小正周期为，函数的最大值为32+52=4，故选：B2已知函数f（x）=cos（x-3）（0）且f（23）=f（56），若f（x）在区间（23，56）上有最大值，无最小值，则的最大值为（）A49B289C529D1009【解答】解：函数f（x）=cos（x-3）（0）且f（23）=f（56），直线x=12×（23+56）=34为f（x）=cos（x3）（0）的一条对称轴，343=k，kZ，=43k+49，kZ，又0，且f（x）在区间（23，56）上有最大值，无最小值，T562

4、3=6，即26，12，当k=8时，=323+49=1009为最大值故选：D3已知函数f(x)=2sin(x+)(0，|2)的最小正周期为4，其图象关于直线x=23对称给出下面四个结论：函数f（x）在区间0，43上先增后减；将函数f（x）的图象向右平移6个单位后得到的图象关于原点对称；点(-3，0)是函数f（x）图象的一个对称中心；函数f（x）在，2上的最大值为1其中正确的是（）ABCD【解答】解：函数f(x)=2sin(x+)(0，|2)的最小正周期为4，可得2=4=12其图象关于直线x=23对称即12×23+=2+k，可得：=k+6，kZ|2=6f（x）的解析式为f（x）=2sin

5、（12x+6）；对于：令2k-212x+62k+2，kZ可得：4k-43x4k+230，23是单调递增，令2k+212x+62k+32，kZ可得：4k+23x176+4k23，176是单调递减，函数f（x）在区间0，43上先增后减；对于：将函数f（x）的图象向右平移6个单位后得到：y=2sin（12(x-6)+6）=2sin（12x6）没有关于原点对称；对于：令x=3，可得f（-3）=2sin（-12×3+6）=0，点(-3，0)是函数f（x）图象的一个对称中心；对于：由x，2上，12x+623，76，所以当x=时取得最大值为：3正确的是：故选：C4已知函数f（x）=Atan（x+）

6、（0，|2）的部分图象如图所示，下列关于函数g（x）=Acos（x+）（xR）的表述正确的是（）A函数g（x）的图象关于点（4，0）对称B函数g（x）在-8，38递减C函数g（x）的图象关于直线x=8对称D函数h（x）=cos2x的图象上所有点向左平移4个单位得到函数g（x）的图象【解答】解：根据函数f（x）=Atan（x+）（0，|2）的部分图象知，最小正周期为T=2×（388）=2，=T=2；又8+=2+k，kZ，=4+k，kZ；=4，f（0）=Atan4=A=1，函数g（x）=cos（2x+4）；x=4时，g（4）=cos（2+4）=220，g（x）的图象不关于点（4，0）对称

7、，A错误；x8，38时，2x+40，g（x）在-8，38上单调递减，B正确；x=8时，g（8）=cos（4+4）=0，g（x）的图象不关于直线x=8对称，C错误；h（x）=cos2x的图象上所有点向左平移4个单位，得h（x+4）=cos2（x+4）=cos（2x+2）的图象，不是函数g（x）的图象，D错误故选：B5在平面直角坐标系xOy中，函数y=2sin(x-6)的图象（）A关于直线x=6对称B关于点(6，0)对称C关于直线x=-6对称D关于点(-6，0)对称【解答】解：利用排除法和代入法求解，当x=6时，y=2sin（6-6）=0，故选：B6函数f（x）=sin（x3），则f（x）的图象的

8、对称轴方程为（）Ax=56+k，kZBx=56+2k，kZCx=6+2k，kZDx=3+k，kZ【解答】解：函数f（x）=sin（x3），则f（x）的图象的对称轴方程：x3=2+k，可得：x=56+k，kZ故选：A7设函数y=6cosx与y=5tanx的图象在y轴右侧的第一个交点为A，过点A作y轴的平行线交函数y=sin2x的图象于点B，则线段AB的长度为（）A5B352C1459D25【解答】解：作出对应的图象如图，则线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=5sinxcosx，化为6sin2x+5sinx6=0，解得sinx=23则cosx=1-

9、(23)2=53，则B点的纵坐标y=sin2x=2sinxcosx=2×23×53=459，A点的纵坐标y=6cosx=6×53=25，即线段AB的长为25459=1459，故选：C8函数y=sin（x+）与y=cos（x+）（其中0，|2）在x0，522的图象恰有三个不同的交点P，M，N，PMN为直角三角形，则的取值范围是（）A4，4B（2，4C4，2）D0，4【解答】解：图象恰有三个不同的交点P，M，N，PMN为直角三角形，可知直角三角形PMN的高为2，且是等腰直角三角形，可得斜边长为22，即周期T=222=22，那么=2x0，522上，x+，52+上，根据正

10、余弦函数的图象性质，可得：-344，且9452+134又，|2），-44故选：A9sin（2x+3）13=0在区间（0，）内的所有零点之和为（）A6B3C76D43【解答】解：y=sin（2x+3）的周期为：，对称轴为：x=712sin（2x+3）13=0在区间（0，）内的所有零点只有2个，关于x=712对称，sin（2x+3）13=0在区间（2，）内的所有零点之和为：76故选：C10已知函数f（x）=sin（x+）+3cos(x+)(0，|2)的最小正周期为，且f(3-x)=f(x)，则（）Af（x）在(0，2)上单调递减Bf（x）在(6，23)上单调递增Cf（x）在(0，2)上单调递增Df

11、（x）在(6，23)上单调递减【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+3cos(x+)=2sin（x+3）f（x）的最小正周期为，即2=2，则2sin（2x+3）又f(3-x)=f(x)，可知对称轴x=6，2sin（2×6+3）=±2即23+=2+kkZ-22可得：=-6则f（x）=2sin（2x+6）求解单调递减区间：令2+2k2x+632+2k可得：k+6xk+23故选：D11如图，已知函数f（x）=3cos（x+）（0，20）的部分图象与x轴的一个交点为A（6，0），与y轴的交点为B（0，32），那么函数f（x）图象上的弧线AB与两坐标所围成图形的面积为（）A34B

12、32C334D3【解答】解：如图，根据函数f（x）=3cos（x+）（0，20）的部分图象与y轴的交点为B（0，32），可得 3cos=32，cos=32，=6根据函数的图象x轴的一个交点为A（6，0），结合五点法作图可得（6）6=2，=2，函数f（x）=3cos（2x6）弧线AB与两坐标所围成图形的面积为-60 3cos（2x6）dx=32sin（2x6）|-60=44（32）=34，故选：A12函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，|2）的图象如图所示，为了得到g(x)=cos(2x-2)的图象，只需将f（x）的图象（）A向左平移3个长度单位B向右平移3个长度单位C向左平移6个长度单位

13、D向右平移6个长度单位【解答】解：由函数图象可得：A的值为1，周期T=4×（7123）=，=2T=2=2，又函数的图象的第二个点是（3，0），2×3+=，于是=3，则f（x）=sin（2x+3）=sin2（x+6），g（x）=cos（2x2）=sin2x，为了得到g（x）=cos（2x2）的图象，只需将f（x）的图象向右平移6个单位即可故选：D13已知曲线E：y=sin（2x+） （0，0）的一条对称轴为x=512曲线C的方程为y=cosx，以下哪个坐标变换可以将曲线C变换成曲线E（）A将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移6个单位B向左平移12个单位，再

14、把所得曲线的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C将横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移12个单位D向左平移3个单位，再把所得曲线的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变【解答】解：曲线E：y=sin（2x+） （0，0）的一条对称轴为x=512则：2512+=k+2，解得：=k-3，当k=1时，=23，所以：y=sin（2x+23），曲线C的方程为y=cosx将横坐标变为原来的12倍，得到y=cos2x，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移12个单位得到：y=sin（2x+23）故选：C14已知函数f（x）=4sin2（x28）+2sin（x4）2（0）的图象关于点（34，0）对称，

15、且f（x）在区间（0，23）上单调，则的值为（）A2B103C23D38【解答】解：f（x）=4sin2（x28）+2sin（x4）2=22cos（x4）+2sin（x4）2=2sin（x4）2cos（x4）=22sin（x44）=22sin（x2）=22cosx，f（x）的图象关于点（34，0）对称，34=2+2k，得=23+83k，kZ，f（x）在区间（0，23）上单调，T223，即2223，则032，则当k=0时，=23，故选：C15将函数f(x)=sin(2x+3)的图象向右平移6个单位，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（）Ag（x）的周期为Bg(6)=32Cx=3是g(x

16、)的一条对称轴Dg（x）为奇函数【解答】解：函数f(x)=sin(2x+3)的图象向右平移6个单位，得到函数g（x）=sin（2x3+3）=sin2x的图象，所以：对于A：函数的最小正周期为T=22=，对于B：，对于D：g（x）=g（x）故函数为奇函数当x=3时，g（3）=32不是对称轴故选：C二填空题（共10小题）16若曲线y=3sin2x+cos2x关于直线x=t（t）对称，则t的最小值为76【解答】解：曲线y=3sin2x+cos2x=2（32sin2x+12cos2x）=2sin（2x+6），令2x+6=k+2，kZ，求得x=k2+6，故函数的图象的对称轴为x=k2+6，kZ再根据函数

17、的图象还关于直线x=t（t）对称，令k=2，可得t的最小值为76，故答案为：7617如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=sin（x+）（0，0）的图象与x轴的焦点A，B，C满足OA+OC=2OB，则=34【解答】解：设函数y=sin（x+）（0，0）的图象与x轴的焦点A（x1，0），B（x3，0），C（x2，0），故：x1+x2=-2x3x2+x3=2x1，得：x3=3x1，又：x1+x2=2（2x1x2），所以：x2=5x1，T=，则：=2T=4x1，f（x）=sin（4x1+），由于：f（x1）=0，所以：sin(4+)=0，解得：=34故答案为：3418函数f(x)=1-3sin(2

18、x+6)的值域为2，4【解答】解：函数f(x)=1-3sin(2x+6)，33sin（2x+6）32f（x）4故答案为2，419先将函数f（x）=sinx的图象上的各点向左平移6个单位，再将各点的横坐标变为原来的1倍（其中N*），得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间6，4上单调递增，则的最大值为9【解答】解：函数f（x）=sinx的图象上的各点向左平移6个单位，得y=sin（x+6）的图象；再将函数图象各点的横坐标变为原来的1倍（其中N*），得y=sin（x+6）的图象，函数g（x）=sin（x+6），若g（x）在区间6，4上单调递增，则&6+62k-2&4+62k+2，解

19、得12k48k+43，kZ；由12k48k+43，解得k43；当k=1时，8，283，正整数的最大值为9故答案为：920函数f（x）=sin（x+6）+sinxsin（x+6）sinx的最小正周期为，最大值为12【解答】解：函数f（x）=sin（x+6）+sinxsin（x+6）sinx=sin2(x+6)sin2x=1-cos(2x+3)21-cos2x2=cos(2x+3)2+cos2x2=12cos2x-32sin2x2+cos2x2=14cos2x+34sin2x=12（12cos2x+32sin2x）=12cos（2x3）故它的最小正周期为22=，最大值为12，故答案为：；1221已

20、知函数f(x)=2sin2x+2cos2(x-6)，xR，则函数y=f（x）的一个对称中心为（12，2）【解答】解：函数f(x)=2sin2x+2cos2(x-6)=21-cos2x2+21+cos(2x-3)2=2+cos（2x3）cos2x=2+12cos2x+32sin2xcos2x=2+32sin2x12cos2x=2+sin（2x6），xR，令2x6=k，求得 x=k2+12，kZ，则函数y=f（x）的对称中心为（k2+12，2），kZ，故答案为：（12，2）22已知函数f（x）=sin（2x+） （其中是实数），若f（x）|f（12）|对xR恒成立，且f（2）f（0），则f（x）的

21、单调递减区间是k-512，k+12，kZ【解答】解：由题意，f（x）|f（12）|对xR恒成立，可得x=12时函数f（x）的对称轴即6+=2+k，可得=k+3kZ令k=1，可得=43，那么f（2）=sin（+43）=sin3f（0）=sin（43），故得f（x）的其中一个解析式为：f（x）=sin（2x+43）令2+2k2x+4332+2k，得：k-512xk+12，f（x）的单调递减区间是k-512，k+12，kZ，故答案为：k-512，k+12，kZ23已知函数f（x）=sinx-3cosx（0），若=3，则方程f（x）=1在（0，）的实数根个数是3【解答】解：函数f（x）=sinx-3c

22、osx（0）=2sin（x3），=3时，f（x）=2sin（3x3）；令f（x）=1，得2sin（3x3）=1，sin（3x3）=12，解得3x3=2k6或3x3=2k+76，kZ；即x=2k3+18或x=2k3+2，kZ；当k=0时，x=18，x=2；当k=1时，x=1318；方程f（x）=1在（0，）的实数根有3个故答案为：324已知a=201xdx，函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|2）的部分图象如图所示，则函数f（x+4）+a图象的对称中心可以是（k2512，1），k【解答】解：由图象值A=2，周期T=4×（312）=4×312=，即2=，则=2，则f（x

23、）=2sin（2x+），f（12）=2sin（2×12+）=2，sin（6+）=1，即6+=2k+2，则=2k+3，|2，当k=0时，=3，则f（x）=2sin（2x+3），a=201xdx=2×12x2|01=1，则y=f（x+4）+a=f（x+4）+1=2sin2（x+4）+3+1=2sin（2x+56）+1，由2x+56=k得x=k2512，kZ，即函数的对称中心为（k2512，1），kZ，故答案为：（k2512，1），kZ25设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（

24、x）图象的对称中心研究函数f(x)=2x+3cos(2x)-3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(12018)+f(22018)+f(40342018)+f(40352018)的值为4035【解答】解：函数f(x)=2x+3cos(2x)-3，f（1）=23=1，当x1+x2=2时，f（x1）+f（x2）=2x1+2x2+3cos（2x1）+3cos（2x2）6=2×2+06=2，f（x）的对称中心为（1，1），f(12018)+f(22018)+f(40342018)+f(40352018)=f（12018）+f（40352018）+f（22018）+f（4034

25、2018）+f（20182018）=2×（2017）1=4035故答案为：4035三解答题（共9小题）26已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x，xR（1）若函数f（x）在区间a，16上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x14，4，求点Q的坐标【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+sin2x=12sin2x12cos2x+12=22sin（2x4）+12令-22x-42，得-8a38上是单调递增；函数f（x）在区间a，16上递增，-8a16即实数a的取值范围是-8，16）；（2）函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称

26、，且x14，4，则2x4-34，4Q在函数图象上，且是一个零点可得2x4=0，即x=8点Q的坐标为（8，12）27已知函数f(x)=2sinxcosx-23cos2x+3（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若x3，1124，且锐角ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，ABC的外接圆半径是342，求ABC的面积【解答】解：（1）函数f(x)=2sinxcosx-23cos2x+3=sin2x3cos2x，=2sin（2x3），令：-2+2k2x-32k+2（kZ），解得：-12+kxk+512（kZ），故函数的单调递增区间为：-12+k，k+512（kZ）（2）由于：3x1124，

27、故：32x-3712，所以：3f(x)2，锐角ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，ABC的外接圆半径是342，所以：令b=2，c=3，则利用正弦定理：解得：sinB=223，sinC=63，故：cosB=13，cosC=33则：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=63所以：SABC=12bcsinA=228已知f（x）=3sin（x+3）cosx（）写出f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值；（）已知 a、b、c 分别为ABC的内角A、B、C的对边，b=53，cosA=35且 f（B）=1，求边a的长【解答】解：f（x）=3sin（x+3）cosx

28、=3sinxcos3+3cosxsin3cosx=32sinx+12cosx=sin（x+6）；（）f（x）的最小正周期T=2=2，当x+6=2+2k，kZ，即x=23+2k，kZ时，f（x）取得最小值1；（）ABC中，b=53，cosA=35，sinA=1-cos2A=45；又 f（B）=1，sin（B+6）=1，B+6=2，解得B=3，asinA=bsinB，a45=53sin3，解得a=829已知函数f（x）=sinx（cosx+3sinx)（）求f（x）的最小正周期；（）若关于x的方程f（x）=t在区间0，2内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围【解答】解：（）f(x)=12sin

29、2x+32(1-cos2x)，=sin(2x-3)+32所以f（x）的最小正周期为T=22=（）因为x0，2，所以2x-3-3，23因为y=sinZ在-3，2上是增函数，在2，23上是减函数，所以f（x）在0，3上是增函数，在3，2上是减函数又因为f（0）=0，f(3)=1+32，f(2)=3，所以要使得关于x的方程f（x）=t在区间0，2内有两个不相等的实数解，只需满足3t1+3230已知函数f（x）=3sinxcosx+3cos2x（）求函数f（x）的最小正周期；（）把函数y=f（x）的图象向下平移32个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在4，3的值域【解答】解：（）函数

30、f（x）=3sinxcosx+3cos2x=32sin2x+31+cos2x2=3（32sin2x+12cos2x）+32=3sin（2x+6）+32，故函数f（x）的最小正周期为22=（）把函数y=f（x）的图象向下平移32个单位长度，得到g（x）=3sin（2x+6）的图象，x4，3，2x+63，56，故当2x+4=3时，函数g（x）取得最小值为 3（32）=32；当2x+4=2时，函数g（x）取得最大值为 3，故函数y=g（x）在4，3的值域为32，331函数f（x）=3sin（x+）（0，|2）的部分图象如图所示，其中x0是函数f（x）的一个零点（I）写出，及x0的值；（）求函数f（x

31、）在区间-2，0上的最大值和最小值【解答】解：（）由图可知周期T=，故=2，由图象过（0，32）32=3sinsin=12-22，=6，故得f（x）=3sin（2x+6），令f（x）=3sin（2x+6）=0，即2x+6=k，可得x0=1112故得：=2，=6，x0=1112（）由（）可知，f(x)=3sin(2x+6)因为x-2，0，所以2x+6-56，6，当2x+6=-2，即 x=-3时，f（x）的最小值为3当2x+6=6，即 x=0时，f（x）的最大值为3232已知函数f(x)=3sinxcosx-12cos(2x-3)（）求函数f（x）图象的对称轴方程；（）将函数f（x）图象向右平移4

32、个单位，所得图象对应的函数为g（x）当x0，2时，求函数g（x）的值域【解答】解：（）f(x)=3sinxcosx-12cos(2x-3)=34sin2x-14cos2x=12sin(2x-6)令2x-6=2+k，kZ，解得x=3+k2函数f（x）图象的对称轴方程为x=3+k2，kZ；（）把f（x）=12sin(2x-6)的图象向右平移4个单位，可得g(x)=12sin(2x-23)x0，2，2x-23-23，3，sin(2x-23)-1，32，g(x)=12sin(2x-23)-12，34，即当x0，2时，函数g（x）的值域为-12，3433如图，在ABC中，tanA=7，ABC的平分线BD

33、交AC于点D，设CBD=，其中是直线2x4y+5=0的倾斜角（1）求C的大小；（2）若f（x）=sinCsinx2cosCsin2x2，x0，2，求f（x）的最小值及取得最小值时的x的值【解答】解：（1）由题可知：CBD=，其中是直线2x4y+5=0的倾斜角可得tan=12，ABC的平分线BD交AC于点D，可得tanABC=tan2=2tan1+tan2=43，由tanA=7，那么tanC=tan（B+A）=tanB+tanA1-tanAtanB=1，0CC=4（2）由（1）可知C=4可得f（x）=sinCsinx2cosCsin2x2=22sinx2sin2x2=22sinx+22cosx2

34、2=sin（x+4）-22，x0，2，x+44，34所以当x+4=4或34，即当x=0或x=2时，f（x）取得最小值为sin（4）-22=034如图是函数f(x)=Asin(x+)(A0，0，|2)在一个周期内的图象已知点P（6，0），Q（2，3）是图象上的最低点，R是图象上的最高点（1）求函数f（x）的解析式；（2）记RPO=，QPO=（，均为锐角），求tan（2+）的值【解答】解：（1）根据函数f(x)=Asin(x+)(A0，0，|2)在一个周期内的图象，以及点P（6，0），Q（2，3）是图象上的最低点，R是图象上的最高点，可得A=3，142=2（6），=8再根据五点法作图可得8×（6）+=，=4，f（x）=3sin（8x4）（2）点R的横坐标为6+3T4=6+3×4=6，求得R（6，3），根据RPO=，QPO=（，均为锐角），可得tan=312=14，tan=34，tan2=2tan1-tan2=815，tan（2+）=tan2+tan1-tan2tan=815+341-815×34=7736