2022届高三数学一轮复习（原卷版）第7讲　高效演练分层突破 (4).doc

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1、 基础题组练 1在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A，C 两点之间的距离为( ) A 6 km B 2 km C 3 km D2 km 解析：选 A如图，在ABC 中，由已知可得ACB45，所以ACsin 602sin 45， 所以 AC2 232 6(km) 2 如图， 测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高AB 等于( ) A5 6 B15 3 C5 2 D15 6 解析：选 D在BCD 中，CBD18015301

2、35. 由正弦定理得BCsin 3030sin 135， 所以 BC15 2. 在 RtABC 中， ABBCtanACB15 2 315 6. 3一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是( ) A10 2海里 B10 3海里 C20 3海里 D20 2海里 解析：选 A如图所示，易知，在ABC 中，AB20，CAB30，ACB45， 根据正弦定理得BCsin 30ABsin 45， 解得 BC1

3、0 2(海里) 4如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( ) A240( 31) m B180( 21) m C120( 31) m D30( 31) m 解析：选 C因为 tan 15tan(6045 )tan 60tan 451tan 60tan 452 3，所以 BC60tan 6060tan 15120( 31)(m) 5.如图， 某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB， C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD 已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2

4、 分钟，从 D 沿着DC走到C用了3分钟 若此人步行的速度为每分钟50米， 则该扇形的半径的长度为( ) A50 5米 B50 7米 C50 11米 D50 19米 解析：选 B设该扇形的半径为 r 米，连接 CO. 由题意，得 CD150(米)，OD100(米)，CDO60， 在CDO 中，CD2OD22CD OD cos 60OC2， 即 15021002215010012r2， 解得 r50 7. 6海上有 A，B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，那么 B 岛和 C 岛间的距离是_ n mile.

5、 解析：如图，在ABC 中，AB10，A60，B75，C45， 由正弦定理，得ABsin CBCsin A， 所以 BCAB sin Asin C10sin 60sin 455 6(n mile) 答案：5 6 7一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75，距灯塔 68 海里的 M处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则此船航行的速度为_海里/小时 解析：如图，由题意知MPN7545120，PNM45. 在PMN 中，MNsin 120PMsin 45， 所以 MN68322234 6(海里) 又由 M 到 N 所用的时间为 14104(小时)， 所以此船的航

6、行速度 v34 6417 62(海里/小时) 答案：17 62 8如图，在ABC 中，已知 M 为边 BC 上一点，BC4BM，AMC3，AM2，AMC 的面积为 3 3，则 CM_；cosBAC_ 解析：因为在AMC 中，AMC3，AM2，AMC 的面积为 3 3，则有 3 312AM CM sinAMC122CM32，解得 CM6. 因为BC4BM，所以 BM2，BC8，因为AMBAMC23，所以由余弦定理可得 AB AM2BM22AM BM cosBMA 2222222122 3， AC AM2CM22AM CM cosAMC 2262226122 7， 所以 cosBACAB2AC2B

7、C22ABAC12286422 32 7217. 答案：6 217 9在平面四边形 ABCD 中，ADC90 ，A45 ，AB2，BD5. (1)求 cosADB； (2)若 DC2 2，求 BC 解：(1)在ABD 中，由正弦定理得BDsinAABsinADB.由题设知，5sin 452sinADB， 所以 sinADB25.由题设知，ADB90， 所以 cosADB1225235. (2)由题设及(1)知， cosBDCsinADB25. 在BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22 BD DC cosBDC 258252 22525.所以 BC5. 10在ABC 中，a，b，c 分别

8、是角 A，B，C 的对边，(2ac) cos Bbcos C0. (1)求角 B 的大小； (2)设函数 f(x)2sin xcos xcos B32cos 2x，求函数 f(x)的最大值及当 f(x)取得最大值时x 的值 解：(1)因为(2ac)cos Bbcos C0， 所以 2acos Bccos Bbcos C0， 由正弦定理得 2sin Acos Bsin CcosBcos Csin B0， 即 2sin Acos Bsin(CB)0， 又 CBA，所以 sin(CB)sin A 所以 sin A(2cos B1)0. 在ABC 中，sin A0， 所以 cos B12，又 B(0，

9、)，所以 B3. (2)因为 B3，所以 f(x)12sin 2x32cos 2xsin2x3， 令 2x32k2(kZ)，得 xk512(kZ)， 即当 xk512(kZ)时，f(x)取得最大值 1. 综合题组练 1(2020 安徽宣城二模)在ABC 中，角 A，B，C 成等差数列且对边分别为 a，b，c，若BA BC20，b7，则ABC 的内切圆的半径为( ) A 3 B7 33 C2 D3 解析：选 A因为角 A，B，C 成等差数列，所以 2BAC，又 ABC，所以 B3. 因为BA BCaccos B20，所以 ac40.所以 SABC12acsin B10 3. 由余弦定理得 cos

10、 B（ac）22acb22ac （ac）280498012， 所以 ac13， 设ABC 的内切圆的半径为 r，则 SABC12(abc)r10r，所以 10 310r，解得 r 3，故选 A 2如图所示，一座建筑物 AB 的高为(3010 3)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔 CD在它们之间的地面上的点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD 的高为( ) A30 m B60 m C30 3 m D40 3 m 解析：选 B在 RtABM 中，AMABsinAMB3010 3sin 153

11、010 36 2420 6(m)过点 A 作 ANCD 于点 N， 如图所示 易知MANAMB15， 所以MAC301545.又AMC1801560105，所以ACM30.在AMC 中，由正弦定理得MCsin 4520 6sin 30，解得 MC40 3(m)在 RtCMD 中，CD40 3sin 6060(m)，故通信塔 CD 的高为 60 m. 3(创新型)(2020 河北衡水三模)在等腰ABC 中，BAC120，AD 为边 BC 上的高，点 E 满足AD3AE，若 ABm，则 BE 的长为_ 解析：因为ABC 是等腰三角形，BAC120，ADBC，所以ABC30，BAD60，又因为 AB

12、m，所以 AD12 m，由AD3 AE，得 AE16m，在ABE 中，ABm，AE16m，BAE60， 所以由余弦定理，得 BE2AB2AE22AB AE cosBAEm2136m22m16mcos 603136m2，所以 BE316m. 答案：316m 4已知ABC 中，AC 2，BC 6，ABC 的面积为32，若线段 BA 的延长线上存在点 D，使BDC4，则 CD_ 解析：因为 AC 2，BC 6，ABC 的面积为3212AC BC sinACB12 2 6sinACB， 所以 sinACB12， 所以ACB6或56， 若ACB56，BDC4456，与三角形内角和定理矛盾，所以ACB6，

13、所以在ABC 中，由余弦定理可得 AB AC2BC22AC BC cosACB 262 2 632 2， 所以 ABAC，所以B6， 所以在BCD 中，由正弦定理可得 CDBC sinBsinBDC61222 3. 答案： 3 5(应用型)如图所示，经过村庄 A 有两条夹角 60的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄 A)，要求PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)? 解：设AMN， 在AMN 中，MNsin 60AMsin（120）. 因为 MN2， 所以 AM4 33sin(120) 在APM 中，cosAMPcos(60) AP2AM2MP22AM MP cosAMP 163sin2(120)4224 33sin(120) cos(60)163sin2(60)16 33sin(60) cos(60)4 831cos(2120)8 33sin(2120)4 83 3sin(2120)cos(2120)203 203163sin(2150)，(0，120) 当且仅当 2150270， 即 60时， AP2取得最大值 12， 即 AP 取得最大值 2 3.所以设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小