专题09 平面向量 9.1线性运算、基本定理和坐标运算 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）.docx

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1、专题九 平面向量讲义9.1 线性运算、基本定理和坐标运算知识梳理.线性运算、基本定理和坐标运算一向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量（没有方向上的规定）(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量二向量的线性运算（一）加法：求两个向量和的运算1.三角形法则：首尾连，连首尾2.平行四边形法则：起点相同连对角3.运算律交换律：结合律：()()（

2、2） 减法：共起点，连终点，指向被减（三）数乘：求实数与向量的积的运算1.数乘意义：| |，当>0时，与的方向相同；当<0时，与的方向相反；当0时，02.运算律（1）()()（2）()（3）()3向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.4平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数1，2，使12.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底三平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y

3、2)，a(x1，y1)，|a|. (2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.题型一. 线性运算1（2018新课标）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（）A34AB14ACB14AB34ACC34AB+14ACD14AB+34AC【解答】解：在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，EB=ABAE=AB12AD =AB12×12（AB+AC）=34AB14AC，故

4、选：A2（2015新课标）设D为ABC所在平面内一点，BC=3CD，则（）AAD=13AB+43ACBAD=13AB43ACCAD=43AB+13ACDAD=43AB13AC【解答】解：BC=3CD；ACAB=3(ADAC)；AD=13AB+43AC故选：A3（2014新课标）设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB+FC=（）AADB12ADCBCD12BC【解答】解：D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，EB+FC=（EF+FB）+（FE+EC）=FB+EC=12（AB+AC）=AD，故选：A4已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA12OB3OC=0

5、，则（）AOA=12AB+3ACBOA=12AB+3ACCOA=12AB3ACDOA=12AB3AC【解答】解：因为点O满足16OA12OB3OC=0，故OA+12OA12OB+3OA3OC=0；即：OA+12BA+3CA=0OA=12AB+3AC；故选：A题型二. 共线向量基本定理1设a，b是不共线的两个平面向量，已知AB=a2b，BC=3a+kb(kR)，若A，B，C三点共线，则k（）A2B2C6D6【解答】解：根据题意，若A，B，C三点共线，则ABBC，又由AB=a2b，BC=3a+kb(kR)，则有k2=31，解可得k6；故选：D2已知P是ABC所在平面内的一点，若CBPB=PA，其中

6、R，则点P一定在（）AAC边所在的直线上BBC边所在的直线上CAB边所在的直线上DABC的内部【解答】解：CBPB=PA又，PB=PC+CBCB(PC+CB)=PA即，PC=PACP=PACPPAP点在AC边所在直线上故选：A3在ABC中，AB=c，AC=b若点D满足CD=2DB，则AD=（）A23b+13cB13b+23cC23b13cD13b23c【解答】解：CD=2DB，CD=23CB，AD=AC+CD=AC+23CB=AC+23(ABAC)=23AB+13AC，又由AB=c，AC=b故AD=13b+23c，故选：B4ABC内一点O满足OA+2OB+3OC=0，直线AO交BC于点D，则（

7、）A2DB+3DC=0B3DB+2DC=0COA5OD=0D5OA+OD=0【解答】解：ABC内一点O满足OA+2OB+3OC=0，直线AO交BC于点D，15OA+25OB+35OC=0，令OE=25OB+35OC，则15OA+OD=0，B，C，E三点共线，A，O，E三点共线，D，E重合OA+5OD=0，2DB+3DC=2OB2OD+3OC3OD=OA5OD=0故选：A题型三. 三点共线定理1（2007全国卷）在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=13CA+CB，则（）A23B13C13D23【解答】解：在ABC中，已知D是AB边上一点AD=2DB，CD=13CA+CB，CD

8、=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CBCA)=13CA+23CB，=23，故选：A2（2010大纲版）ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若CB=a，CA=b，|a|1，|b|2，则CD=（）A13a+23bB23a+13bC35a+45bD45a+35b【解答】解：CD为角平分线，BDAD=BCAC=12，AB=CBCA=ab，AD=23AB=23a23b，CD=CA+AD=b+23a23b=23a+13b故选：B3（2008广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若AC=a，BD=b，则AF=（）A14a+12bB23a

9、+13bC12a+14bD13a+23b【解答】解：由题意可得DEFBEA，DEEB=DFAB=13，再由ABCD可得 DFDC=13，DFFC=12作FG平行BD交AC于点G，FGDO=CGCO=23，GF=23OD=13BD=13bAG=AO+OG=AO+13OC=12AC+16AC=23AC=23a，AF=AG+GF=23a+13b，故选：B4（2009安徽）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动若OC=xOA+yOB，其中x，yR，则x+y的最大值是2【解答】解：【方法一】建立如图所示的坐标系，则A（1，

10、0），B（cos120°，sin120°），即B（12，32）设AOC，则OC=（cos，sin）OC=xOA+yOB=（x，0）+（y2，32y）（cos，sin）；则xy2=cos32y=sin.，解得x=sin3+cosy=2sin3，x+y=3sin+cos2sin（+30°）0°120°30°+30°150°x+y有最大值2，当60°时取最大值2【解法二】OC=xOA+yOB，OC2=x2+y2+2xyOAOB=x2+y2+2xycos120°x2+y2xy，x2+y2xy1，（x+y

11、）23xy1，（x+y）213xy3(x+y2)2，14（x+y）21，解得x+y2故答案为：25（2017新课标）在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若AP=AB+AD，则+的最大值为（）A3B22C5D2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，BC2，CD1，BD=22+12=512BCCD=12BDr，r=25，圆的方程为（x1）2+（y2）2=45，设点P的坐标为（255cos+1，255sin

12、+2），AP=AB+AD，（255cos+1，255sin+2）（1，0）+（0，2）（，2），255cos+1，255sin+22，+=255cos+55sin+2sin（+）+2，其中tan2，1sin（+）1，1+3，故+的最大值为3，故选：A6（2006湖南）如图，OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP=xOA+yOB，则x的取值范围是（，0）；当x=12时，y的取值范围是(12，32)【解答】解：如图，OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP=xOA+yOB，由向量加法的平行四边形法则，OP

13、为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，x的取值范围是（，0）；当x=12时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=12OB，CE=32OB，y的取值范围是（12，32）故答案为：（，0）；（12，32）题型四. 坐标运算1已知向量a=（3，2），b=（x，y1）且ab，若x，y均为正数，则3x+2y的最小值是（）A24B8C83D53【解答】解：ab，2x3（y1）0，化简得2x+3y3，3x+2y=（3x+2y）×13（2x+3y）=13（6+9yx+4xy+6）13（12+29yx4xy）8，当且仅当2x3y=32时，等号成立；3x+2y

14、的最小值是8故选：B2已知A（3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在第二象限内，|OC|=22，且AOC=4，设OC=OA+OB(R)，则的值为（）A1B23C12D23【解答】解：由已知设C（x，y），则有y22×sin4=2，x22cos4=2，即C（2，2），又OC=OA+OB(R)，由向量相等的充要条件得：23，即=23，故选：D3如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点，若AC=xDE+yAP（xy0），则以下说法正确的是： （请将所有正确的命题序号填上）若点E和A重合，点P和B重合，则x1，y1；若点E是线段AB的中点，则点

15、P是圆弧DB的中点；若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y3；若点E与B重合，点P为DB上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分【解答】解：以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，如图，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），AC=（1，1）因为AC=xDE+yAP（xy0），所以，对于，若点E和A重合，点P和B重合，则E（0，0），P（1，0），DE=（0，1），AP=（1，0），AC=xDE+yAP（1，1）x（0，1）+y（1，0），即y=1x=1，故正确；则x1，y1；对于，若点E是线段AB的中点，则E（12，0

16、），DE=（12，1）；若点P是圆弧DB的中点，则P（cos45°，sin45°），即P（22，22），AP=（22，22），AC=xDE+yAP（1，1）x（12，1）+y（22，22），即12x+22y=1x+22y=1，此方程组无解，故错误；对于，若点E和B重合，则E（1，0），DE=（1，1）；又点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则P（cos60°，sin60°），即P（12，32），AP=（12，32），AC=xDE+yAP（1，1）x（1，1）+y（12，32），即x+12y=1x+32y=1，解得x=23y=232，则x+y=3，故错误；对于

17、，若点E与B重合，则E（1，0），DE=（1，1）；又点P（a，b）为DB上任一点，则AP=（a，b）（0a1，0b1，a2+b21），AC=xDE+yAP（1，1）x（1，1）+y（a，b），即x+ya=1x+yb=1，由a2+b21得：(1x)2y2+(1+x)2y2=1，整理得：y22x21，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分，故正确综上所述，说法正确的是，故答案为：课后作业. 线性运算、基本定理和坐标运算1在平行四边形ABCD中，E为AB中点，BD交CE于F，则AF=（）A23AB+13ADB34AB+14ADC12AB+14ADD23AB+12AD【解答】解如图，平行四边形ABC

18、D中，E为AB中点，DFFB=DCBE=2，DF=23DB，AF=AD+DF=AD+23DB =AD+23(ABAD) =23AB+13AD，故选：A2设xR，向量a=（x，1），b=（1，2），且ab，则|a+b|（）A52B102C5D5【解答】解：根据题意，向量a=（x，1），b=（1，2），若ab，则2x1，解可得x=12，则a=（12，1），故a+b=（12，1），则|a+b|=14+1=52，故选：A3已知O是ABC所在平面内一点，且满足|OBOC|=|OB+OC2OA|，若|AB|2，|AC|=3，则ABC的外接圆的面积为74【解答】解：已知等式|OBOC|OB+OC2OA|OB

19、OA+OCOA|，变形得：|CB|AB+AC|，CB=ABAC，|AB+AC|ABAC|，两边平方，整理得：ABAC=0，即A=2，|AB|c2，|AC|b=3，a=22+(3)2=7，由正弦定理asinA=2R，得到R=a2sinA=72，则ABC的外接圆的面积为R2=74故答案为：744在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC与不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，m0，n0，则1m+4n的最小值为（）A2B4C92D9【解答】解：点O是BC的中点，AO=12(AB+AC)又AB=mAM，AC=nAN，m0，n0AO=m2AM+n2ANM、O、N三点共线，m

20、2+n2=1故1m+4n=(1m+4n)(m2+n2)=52+n2m+2mn52+2n2m2mn=92当且仅当n2m=2mn，即m=23，n=43时取到等号，故1m+4n的最小值为：92故选：C5如图，正方形ABCD中，E为线段CD的中点，若BD=AE+BE，则+1【解答】解：依题意，ED=12BA=12(BEAE)，则BD=BE+ED=BE+12BE12AE=12AE+32BE，故+=12+32=1故答案为：16已知D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，且BD2AD，AE2EC，点P是线段DE上的任意一点，若AP=xAB+yAC，则xy的最大值为（）A136B118C112D19【解答】解：如图所示，AD=13AB，AE=23AC点P是线段DE上的任意一点，存在实数k使得AP=kAD+(1k)AE=k13AB+2(1k)3AC，与AP=xAB+yAC比较可得：x=13ky=2(1k)3，2x+y=23，2322xy，化为xy118，当且仅当2xy=13时取等号故选：B