人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：函数零点.docx

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1、函数零点知识讲解一、函数的零点1.零点的定义：对于函数，使的实数叫做函数的零点2.函数零点的等价关系函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3.零点存在性判定定理定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且，则函在区间内有零点，即存在，使得，这个c就是方程的根4.对函数零点存在的判断中，必须强调：1）在上连续；2）；3）在内存在零点这是零点存在的一个充分条件，但不是必要条件注意：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标

2、5. 二次函数零点的判定判别式函数（）的图像方程（）的根两个不相等的实根没有实根函数（）的零点没有零点不等式（）的解集不等式（）的解集或6.一元二次方程根的分布（下面对进行讨论）根的分布图像充要条件根的分布在内有且只有一根图像充要条件或且经典例题一选择题（共11小题）1函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点的个数为（）A0B1C2D3来源:Z#xx#k.Com【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+）内的零点即是方程|x2|lnx=0的根令y1=|x2|，y2=lnx（x0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点

3、，故方程有两个根，即对应函数有两个零点故选：C2函数f（x）=2x+7的零点为（）A7B72C7D-72【解答】解：令 f（x）=2x+7=0，可得x=72，故函数f（x）=2x+7的零点为72，故答案为72，故选：D3方程2x=2x的根所在区间是（）A（1，0）B（2，3）C（1，2）D（0，1）【解答】解：令f（x）=2x+x2，则f（0）=12=10，f（1）=2+12=10，f（0）f（1）0，函数f（x）在区间（0，1）上必有零点，又2x0，ln20，f（x）=2xln2+10，函数f（x）在R上单调递增，至多有一个零点综上可知：函数f（x）=2x+x2在R有且只有一个零点x0，且x

4、0（0，1）即方程2x=2x的根所在区间是（0，1）故选：D4若f（x）为奇函数，且x0是函数y=f（x）ex的一个零点，在下列函数中，x0一定是其零点的函数是（）Ay=f（x）ex1By=f（x）ex+1Cy=f（x）ex1Dy=f（x）ex+1【解答】解：f（x）是奇函数，f（x）=f（x）且x0是y=f（x）ex的一个零点，f（x0）ex0=0，f（x0）=ex0，把x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）ex01=ex0ex010，故A错误；B、y=f（x0）ex0+1=（ex0）2+10，故B错误；C、y=ex0f（x0）1=ex0ex010，故C不正确；D、y=ex0f（x0）

5、+1=ex0ex0+1=0，故D正确故选：D5函数f（x）=2x23x+1的零点个数是（）A0B1C2D3【解答】解：函数f（x）=2x23x+1的零点个数即方程2x23x+1=0的解的个数，=92×4=10；故方程有两个不同的根，即函数有两个零点，故选：C6函数f（x）=log2（x1）的零点是（）A（1，0）B（2，0）C1D2【解答】解：令log2（x1）=0解得：x=2所以函数的零点为：2故选：D7设f（x）=ax+4，若f（1）=2，则a的值（）A2B2C3D3【解答】解：f（1）=a+4=2，a=2，故选：B8若函数f（x）=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是（

6、）Aa1Ba1Ca1Da1【解答】解：函数f（x）=x2+2x+a没有零点，=44a0，解得 a1，故选：B9函数f（x）=lnx+2x1零点的个数为（）A4B3C2D1【解答】解：在同一坐标系内分别作出函数y=lnx与y=12x的图象，易知两函数图象有且只有一个交点，即函数y=lnx1+2x只有一个零点故选：D10已知f（x）=x2ex，若函数g（x）=f2（x）kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A（，2）（2，+）B（2，4e2+e24）C（8e2，2）D（4e2+e24，+）【解答】解：f（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，令f（x）=0，解得x=0或x=2，

7、当x2或x0时，f（x）0，当2x0时，f（x）0，f（x）在（，2）上单调递增，在（2，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，当x=2时，函数f（x）取得极大值f（2）=4e2，当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t，则当t=0或t4e2时，关于x的方程f（x）=t只有1解；当t=4e2时，关于x的方程f（x）=t有2解；当0t4e2时，关于x的方程f（x）=t有3解g（x）=f2（x）kf（x）+1恰有四个零点，关于t的方程t2kt+1=0在（0，4e2）上有1解，在（4e2，+）0上有1解，显然t=0不是方程t2kt+1=0的解，关

8、于t的方程t2kt+1=0在（0，4e2）和（4e2，+）上各有1解，16e4-4ke2+10，解得k4e2+e24故选：D11若函数f（x）=2xa2a在（，1上存在零点，则正实数a的取值范围是（）A（0，1B0，1C（0，2D0，2【解答】解：在（，1上2x（0，2函数f（x）=2xa2a在（，1上存在零点，可得0a2+a2，解得a（0，1故选：A二填空题（共5小题）12函数f（x）=cos（3x+6）在0，的零点个数为3【解答】解：f（x）=cos（3x+6）=0，3x+6=2+k，kZ，x=9+13k，kZ，当k=0时，x=9，当k=1时，x=49，当k=2时，x=79，当k=3时，x

9、=109，x0，x=9，或x=49，或x=79，故零点的个数为3，故答案为：313若a3，则函数f（x）=x2ax+1在区间（0，2）上恰好有1 个零点【解答】解：当a3时，由于次二次函数f（x）=x2ax+1，可得f（0）=10，f（2）=52a0，即f（0）f（2）0，故函数f（x）=x2ax+1在区间（0，2）上恰好有一个零点，故答案为：114已知函数f(x)=&-x2-2x，xm&x-4，xm当m=0时，函数f（x）的零点个数为3；如果函数f（x）恰有两个零点，那么实数m的取值范围为2，0）4，+）【解答】解：令x22x=0可得x=2或x=0，令x4=0得x=4当m=0

10、时，f（x）有3个零点若m2，则f（x）在（，m上无零点，在（m，+）上有1个零点x=4，不符合题意；若2m0，则f（x）在（，m上有1个零点x=2，在（m，+）上有1个零点x=4，符合题意；若0m4，则f（x）在（，m上有2个零点x=2，x=0，在（m，+）上有1个零点x=4，不符合题意；若m4，则f（x）在（，m上有2个零点x=2，x=0，在（m，+）上无零点，符合题意；2m0或m4故答案为：3，2，0）4，+）来源:学.科.网Z.X.X.K15已知f(x)=&2x，x0&2-xex，x0，若函数y=f（x）m有三个零点，则实数m的取值范围是（2，2+1e【解答】解：由f（

11、x）=2xex（x0），可得f（x）=exxex=ex（x+1）当x（，1）时，f（x）0，当x（1，0）时，f（x）0f（x）=2xex在（，1）上为增函数，在（1，0）上为减函数作出函数f(x)=&2x，x0&2-xex，x0的图象如图，由图可知，要使函数y=f（x）m有三个零点，则实数m的取值范围是（2，2+1e故答案为：（2，2+1e16已知函数f（x）=&x2-2ax-a+1，x0&ln(-x)，x0，g（x）=x2+12a若函数y=f（g（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（-1+52，1）（1，+）【解答】解：g（x）为偶函数，gmin（x）=g

12、（0）=12a来源:Z§xx§k.Com当x0时，令f（x）=0得x=1；当x0时，令f（x）=0得x22axa+1=0，=4a24（1a）=4（a2+a1），（1）若0，即a2+a10，即-1-52a-1+52时，方程f（x）=0（x0）无解，由f（g（x）=0可得g（x）=1，又g（x）为偶函数，故而f（g（x）=0最多只有2解，不符合题意；（2）若=0即a=-1-52或a=-1+52时，方程f（x）=0（x0）的解为x=a=-1+52，而gmin（x）=12a=25，此时g（x）=1无解，g（x）=-1+52只有2解，不符合题意；（3）若0即a-1-52或a-1+52

13、时，方程f（x）=0（x0）的解为x1=aa2+a-1，x2=a+a2+a-1，若a-1-52，则x10，x20，且gmin（x）=12a0，此时f（g（x）=0无解，不符合题意；若-1+52a1，则x2x10，而112a250，g（x）=x1和g（x）=x2各有2解，故f（g（x）=0有4解，符合题意；若a=1，则x1=0，x2=2，gmin（x）=12a=1，此时g（x）=x1有2解，g（x）=x2有2解，g（x）=1有1解，此时f（g（x）=0有5解，不符合题意；若a1，则x20，x10，而gmin（x）=12a1，g（x）=x2有2解，g（x）=1有2解，故f（g（x）=0有4解，符合

14、题意综上，-1+52a1或a1故答案为：（-1+52，1）（1，+）三解答题（共2小题）17已知aR，函数f（x）=&1-1x，x0&(a-1)x+1，x0.来源:Z&xx&k.Com（1）求f（1）的值；（2）求函数f（x）的零点【解答】解：（1）当x0时，f（x）=11x，所以f（1）=111=0（2）当x0时，令f（x）=0，即11x=0，解得x=10所以1是函数f（x）的一个零点当x0时，令f（x）=0，即（a1）x+1=0（*）当a1时，由（*）得x=11-a0，所以11-a是函数f（x）的一个零点；当a=1时，方程（*）无解；当a1时，由（*）得x=

15、11-a0（不合题意，舍去）综上所述，当a1时，函数f（x）的零点是1和11-a；当a1时，函数f（x）的零点是118已知函数f（x）=2a4x2x1（I）当a=1时，求函数f（x）的零点；（）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围【解答】解：（）当a=1时，f（x）=24x2x1令f（x）=0，即2（2x）22x1=0，解得2x=1或2x=12（舍去）x=0，函数f（x）的零点为x=0；（）若f（x）有零点，则方程2a4x2x1=0有解，来源:学|科|网于是2a=2x+14x=（12）x+（14）x=（12）x+12214，（12）x0，2a1414=0，即a0实数a的取值范围：（0，+）