人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：不等关系与不等式.docx

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1、不等关系与不等式知识讲解一、不等式的性质1.对称性：；2.传递性：；3.加法法则（同向不等式可加性）：；推论：.4.乘法法则：若，则推论1: ；来源:Zxxk.Com推论2：；推理3：；推理4：.二、含有绝对值的不等式1.绝对值的几何意义意义：设是一个实数，在数轴上|表示实数对应的点与原点的距离；|-|表示实数对应的点与实数对应的点之间的距离.2.关于绝对值的几个结论定理：对任意实数和，有推论： 1.；2.3. .不等式>0=0<0|<的解集-<<|>的解集>或<-R注意：1） 关于定理，可以把、看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两

2、边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”.2） 绝对值不等式|或|c|c|，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值3.绝对值不等式的解法1）含绝对值的不等式|<与|>的解集2）和型不等式的解法先去绝对值符号，化为不等式组：；.解关于的不等式.3）不等式的解法将不等式两边平方，去绝对值：；解不等式：.4）含有两个绝对值符号的不等式解法一般有三种解法，分别是“零点划分法”、“利用绝对值的几何意义法”和“利

3、用函数图象法”此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用“零点划分法”一般步骤：令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n1个区间；在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；这些不等式解集的并集就是原不等式的解集三、平均值不等式的定理定理1 对任意实数，有（当且仅时，取“=”号）.定理2 对任意两个正数，有（当且仅时，取“=”号）.定理3 对任意三个正数，有（当且仅时，取“=”号）.定理4 对任意三个正数，有（当且仅时，取“=”号）.推广 对于n个正数，有（当且仅当时取“=”号

4、）.其中，、 叫作这n个正数的算术平均值和几何平均值， 因此这个结论也可以阐述为n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.四、不等式的证明1.比较法1）求差比较法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.；.2）求商比较法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.；.注意：比较法通常是进行因式分解或进行配方，利用非负数的性质来进行判断若代数式、均为负数，也可以用求商比较法.2.综合法和分析法1）综合法概念：一般地，从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这种

5、思维方法叫做综合法2）分析法概念：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法注意：综合法的基本思路：执因索果；分析法的基本思路：执果索因.它们是思维方向互逆的两种推理方法.3.放缩法概念：通过缩小（或放大）分式的分母（或分子），或通过放大（或缩小）被减式（或减式）来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法.注意：放缩法的要求较高，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中去寻找4.几何法概念：通过构造几何图形，利用

6、几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法.5.反证法概念：反证法是间接证明的一种基本方法一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法的基本思路：假设矛盾肯定5、 不等式的应用应用步骤：先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大或最小值；写出正确答案.典型例题一选择题（共15

7、小题）1已知a+b0，则（）A2a（12）bB2a（12）bC2a2bD2a2b【解答】解：构造函数f（x）=2x，f（x）是增函数，a+b0ab即f（a）f（b）则2a2b故选：B2对于c0，当非零实数a，b满足a22ab+2b2c=0，且使a+b最大时，则3a-4b+5c的最小值为（）A-14B14C12D-13【解答】解：a22ab+2b2c=0，c=（ab）2+b2，由柯西不等式得，（ab）2+b2（1+4）（a+b）2，故当a+b最大时，有ab=b2，a=32b，c=54b2，3a4b+5c=4b22b=4（1b14）214当b=4时，取得最小值为14故选：A3若正数a，b满足1a+

8、1b=1，1a-1+9b-1的最小值为（）A1B6C9D16【解答】解：正数a，b满足1a+1b=1，a1，且b1；1a+1b=1变形为a+bab=1，ab=a+b，abab=0，（a1）（b1）=1，a1=1b-1；a10，1a-1+9b-1=1a-1+9（a1）21a-19(a-1)=6，当且仅当1a-1=9（a1），即a=1±13时取“=”（由于a1，故取a=43），1a-1+9b-1的最小值为6；故选：B4已知抛物线y=ax2+2xa1（aR），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m0，n0）上，则1m+1n的最小值为（）A4B12C24D36【解答】解

9、：抛物线y=ax2+2xa1（aR），恒过第三象限上一定点A，A（1，3），m+n=13，又1m+1n=3(m+n)m+3(m+n)n=6+3(nm+mn)6+6nmmn=12，当且仅当m=n时等号成立故选：B5设a，b是不相等的两个正数，且blnaalnb=ab，给出下列结论：a+bab1；a+b2；1a+1b2其中所有正确结论的序号是（）ABCD【解答】解：由blnaalnb=ab，得blna+b=alnb+a，即1+lnaa=1+lnbb，设f（x）=1+lnxx，x0，则f（x）=lnxx2=，由f（x）0得lnx0，得lnx0，得0x1，由f（x）0得lnx0，得lnx0，得x1，即

10、当x=1时，函数f（x）取得极大值，则1+lnaa=1+lnbb，等价为f（a）=f（b），则a，b一个大于1，一个小于1，不妨设0a1，b1则a+bab1等价为（a1）（1b）0，0a1，b1（a1）（1b）0，则a+bab1成立，故正确，由即1+lnaa=1+lnbb，得lna+lnb+2a+b=lna-lnba-b，由对数平均不等式得lna+lnb+2a+b=lna-lnba-b2a+b，即lna+lnb0，即lnab0，则ab1，由均值不等式得a+b2，故正确，令g（x）=xlnx+x，则g（x）=lnx，则由g（x）0得lnx0，得lnx0，得0x1，此时g（x）为增函数，由g（x）

11、0得lnx0，得lnx0，得x1，此时g（x）为减函数，再令h（x）=g（x）g（2x），0x1，则h（x）=g（x）+g（2x）=lnxlm（2x）=lnx（2x）0，则h（x）=g（x）g（2x），在0x1上为增函数，则h（x）=g（x）g（2x）h（1）=0，来源:学&科&网则g（x）g（2x），即g（1a）g（21a），g（1a）=1a1aln1a=1a+1alna=1+lnaa=1+lnbb，g（1a）=g（1b）则g（1b）=g（1a）g（21a），g（x）在0x1上为增函数，1b21a，即1a+1b2故正确，故选：D6若直线2mxny2=0（m0，n0）过点（1，

12、2），则1m+2n最小值（）A2B6C12D3+22【解答】解：直线2mxny2=0（m0，n0）过点（1，2），2m+2n2=0，即m+n=1，来源:Zxxk.Com1m+2n=（1m+2n）（m+n）=3+nm+2mn3+22，当且仅当nm=2mn，即n=2m时取等号，来源:Z。xx。k.Com1m+2n的最小值为3+22，故选：D7已知x0，y0且x+y=4，若不等式1x+4ym恒成立，则m的取值范围是（）Am|m94Bm|m94Cm|m94Dm|m94【解答】解：x0，y0且x+y=4，则：x4+y4=1，那么（1x+4y）（x4+y4）=14+1+xy+y4x54+2xyy4x=94

13、，当且仅当2x=y=83时取等号1x+4y的最小值为94要使不等式1x+4ym恒成立，m94故选：D8若正实数x，y满足（2xy1）2=（5y+2）（y2），则x+12y的最大值为（）A-1+322B-1+332C1+332D-1-322【解答】解：由（2xy1）2=（5y+2）（y2），可得（2xy1）2=9y2（2y+2）2，即（2xy1）2+（2y+2）2=9y2得：(2x-1y)2+(2+2y)2=9，得：(2x-1y)2+(2+2y)2(2x-1y+2+2y)22=(2x+1y+2)22即(2x+1y+2)218得2x+1y32-2那么：x+12y32-22x+12y的最大值为322

14、-1故选：A9若a，b，c均为实数，且ab0，则下列不等式成立的是（）Aa+cb+cBacbcCa2b2D-a-b【解答】解：对于A，由ab0，可得a+cb+c，故正确；对于B，c的符号不定，则ac，bc大小关系不定，故错；对于C，由ab0，可得a2b2，故错；对于D，由ab0，可得ab-a-b，故错；故选：A10若不等式|x1|+|x+m|4的解集非空，则实数m的取值范围是（）A5，3B3，5C5，3D3，5【解答】解：不等式|x1|+|x+m|4的解集非空，|x1|+|x+m|1+m|，|1+m|4，4m+14，求得5m3，故选：C11已知两个正数a，b满足3a+2b=1，则3a+2b的最

15、小值是（）A23B24C25D26【解答】解：根据题意，正数a，b满足3a+2b=1，则3a+2b=（3a+2b）（3a+2b）=13+（6ab+6ab）13+26ab×6ba=25；即3a+2b的最小值是25；故选：C12P为ABC边BC上的点，满足3AP=mAB+nAC，则1m+2n的最小值为（）A223+1B23C2D22+3【解答】解：P为ABC边BC上的点，满足3AP=mAB+nAC，m3+n3=1（m，n0）则1m+2n=13（m+n）(1m+2n)=13(3+nm+2mn)13(3+2nm2mn)=13(3+22)，当且仅当n=2m=632时取等号故选：A13已知x0，

16、y0，x+2y=1，若不等式2x+1ym2+2m成立，则实数m的取值范围是（）Am4或m2Bm2或m4C2m4D4m2【解答】解：x0，y0，x+2y=1，2x+1y=（x+2y）（2x+1y）=4yx+xy+44+24=8（当4yx=xy，即x=2y=12时，取等号)不等式2x+1ym2+2m成立，m2+2m8，求得4m2故选：D14如果ab0，cd0，那么一定有（）AcadbBcadbCcbdaDcbda【解答】解：根据题意，若ab0，则有ab0，则1b1a0，来源:学科网又由cd0，则有cbda，即cbda，故选：D15已知数列an的通项公式an=n+156n（nN*），则数列an的最小

17、项是（）Aa12Ba13Ca12或a13D不存在【解答】解：令f（x）=x+156x（x1），f（x）=1156x2=(x+156)(x-156)x2，当x156=239时，f（x）0，函数f（x）单调递增；当0x156=239时，f（x）0，函数f（x）单调递减数列an的最小项是a12=25与a13=25中的最小值，因此数列an的最小项是a12或a13故选：C二解答题（共8小题）16设函数f（x）=5|x+a|x2|（1）当a=1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5|x+1|x2|=&2x+4，x-1&2，

18、-1x2&-2x+6，x2当x1时，f（x）=2x+40，解得2x1，来源:学科网当1x2时，f（x）=20恒成立，即1x2，当x2时，f（x）=2x+60，解得2x3，综上所述不等式f（x）0的解集为2，3，（2）f（x）1，5|x+a|x2|1，|x+a|+|x2|4，|x+a|+|x2|=|x+a|+|2x|x+a+2x|=|a+2|，|a+2|4，解得a6或a2，故a的取值范围（，62，+）17已知函数f（x）=|3x1|+|3x+k|，g（x）=x+4（）当k=3时，求不等式f（x）4的解集；（）设k1，且当xk3，13）时，都有f（x）g（x），求k的取值范围【解答】解：（

19、I）当k=3时，f（x）=&-6x+4，x13&2，13x1&6x-4，x1，故不等式f（x）4可化为：&x1&6x-44或&13x1&24或&x13&-6x+44，解得：x0或x43，所求解集为：x|x0或x43（II）当xk3，13）时，由k1有：3x10，3x+k0f（x）=1+k，不等式f（x）g（x）可变形为：1+kx+4，故kx+3对x-k3，13)恒成立，即k-k3+3，解得k94，而k1，故-1k94来源:Zxxk.Comk的取值范围是：(-1，9418已知f（x）=2|x2|+|x+1|（1）求不等式f（

20、x）6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm3【解答】解：（1）不等式2|x2|+|x+1|6等价于不等式组&x-1&-3x+36或&-1x2&-x+56或&x2&3x-36，或1x2或23所以不等式2|x2|+|x+1|6的解集为（1，3）；（2）证明：因为m+n+p=3，所以（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，因为m，n，p为正实数，所以由基本不等式m2+n22mn（当且仅当m=n时等号成立），同理m2+p22mp，p2+n22pn，所以m2+n2+p2mn+mp+np，

21、所以（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=93mn+3mp+3np，所以mn+mp+np3来源:学|科|网19已知函数f（x）=|x1|2|x+1|的最大值为k（1）求k的值；（2）若a，b，cR，a2+c22+b2=k，求b（a+c）的最大值【解答】解：（1）由于f(x)=&-x-3，x1&-3x-1，-1x1&x+3，x-1，当x1时，函数的最大值为14=4，来源:学,科,网Z,X,X,K当1x1时，f（x）f（1）=31=2，当x1时，f（x）max=f（1）=1+3=2，所以k=f（x）max=f（1）=2 （2）由已知a2+c22+b2=

22、2，有（a2+b2）+（b2+c2）=4，来源:学科网ZXXK因为a2+b22ab（当a=b取等号），b2+c22bc（当b=c取等号），所以（a2+b2）+（b2+c2）=42（ab+bc），即ab+bc2，故b（a+c）max=220已知函数f（x）=|x2|（）若g（x）=f（x）f（1+x），求g（x）的最大值m；（）在（）的条件下，对任意的正实数a、b满足a+b=m，求证：a3+b3（a2+b2）2【解答】解：（）g（x）=|x2|x1|=&-1，x2&-2x+3，1x2&1，x1，故g（x）的最大值是1，故m=1；（）证明：由（）a+b=1，故14ab0，由

23、a3+b3（a2+b2）2=（a+b）（a2ab+b2）（a+b）22ab2=a2+2ab+b23ab（12ab）2=13ab4a2b2+4ab1，=ab（14ab）0，故原不等式成立21已知函数f（x）=|x4|+|x1|3（1）求不等式f（x）2的解集；（2）若直线y=kx2与函数f（x）的图象有公共点，求k的取值范围【解答】解：（1）由f（x）2，得&x1&2-2x2或&1x4&02或&x4&2x-82，解得0x5，故不等式f（x）2的解集为0，5（2）f（x）=|x4|+|x1|3=&2-2x，x1&0，1x4&2

24、x-8，x4，作出函数f（x）的图象，如图所示，直线y=kx2过定点C（0，2），当此直线经过点B（4，0）时，k=12；当此直线与直线AD平行时，k=2故由图可知，k(-，-2)12，+)22已知函数f（x）=|x+2|x2|+m（mR）（）若m=2，求不等式f（x）0的解集；（）若m=4，证明f（x）0【解答】解：（）若m=2，f（x）=|x+2|x2|+2当x2时，f（x）=2，不合题意；当2x2时，f（x）=2x+2，由f（x）0可解得x1，所以1x2；当x2时，f（x）=60，恒成立，所以x2所以不等式f（x）0的解集为1，+）（）证明：若m=4，则f(x)=|x+2|-|x-2|+

25、4=&0，x-2&2x+4，-2x2&8，x2.所以f（x）023已知f（x）=|x+3|+|x1|，g（x）=x2+2mx（）求不等式f（x）4的解集；（）若对任意的x1，x2，f（x1）g（x2）恒成立，求m的取值范围【解答】解：（）法一：不等式f（x）4，即|x+3|+|x1|4可得&x1&x+3+x-14，或&-3x1&x+3+1-x4或&x-3&-3-x+1-x4（3分）解得x3或x1，所以不等式的解集为x|x3或x1（5分）法二：|x+3|+|x1|x+3（x1）|=4，（2分）当且仅当（x+3）（x1）0即3x1时等号成立（4分）所以不等式的解集为x|x3或x1（5分）（）依题意可知f（x）ming（x）max（6分）由（）知f（x）min=4，g（x）=x2+2mx=（xm）2+m2所以g(x)max=m2（8分）由m24的m的取值范围是2m2（10分）