人教A版2020届高考数学一轮复习讲义:幂函数与二次函数.docx
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1、幂函数与二次函数知识讲解一、幂函数1.幂函数的定义定义:一般地,函数叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)2.幂函数的图象幂函数1)当时的图象见下图;2)当时的图象见下图:3.由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质: 有下列性质:1)时:图象都通过点,;在第一象限内,函数值随的增大而增大,即在上是增函数2)时:图象都通过点;在第一象限内,函数值随的增大而减小,即在上是减函数;在第一象限内,图象向上与轴无限地接近,向右与轴无限地接近3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点;4)任何幂函数图象都不经过第四象限;5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点二、二次函
2、数1.定义:函数叫做二次函数2.表现形式一般式:顶点式:,其中为抛物线的顶点坐标两根式:3.二次函数的性质1)开口方向: 2)对称轴:(或)3)顶点坐标:(或)4)最值: 时有最小值(或)(如图1); 时有最大值(或)(如图2);5)单调性:二次函数()的变化情况(增减性) 如图1所示,当时,对称轴左侧,随着的增大而减小,在对称轴的右侧,随的增大而增大; 如图2所示,当时,对称轴左侧,随着的增大而增大,在对称轴的右侧,随的增大而减小;6)与坐标轴的交点: 与轴的交点:(0,C); 与轴的交点:使方程(或)成立的值4.二次函数图象与系数的关系1)决定抛物线的开口方向当时,抛物线开口向上;当时,抛
3、物线开口向下反之亦然决定抛物线的开口大小:越大,抛物线开口越小;越小,抛物线开口越大注意:几条抛物线的解析式中,若相等,则其形状相同,即若相等,则开口及形状相同,若互为相反数,则形状相同、开口相反2)和共同决定抛物线对称轴的位置(抛物线的对称轴:)当时,抛物线的对称轴为轴;当、同号时,对称轴在轴的左侧;当、异号时,对称轴在轴的右侧3)的大小决定抛物线与轴交点的位置(抛物线与轴的交点坐标为)当时,抛物线与轴的交点为原点;当时,交点在轴的正半轴;当时,交点在轴的负半轴经典例题一选择题(共11小题)1已知点(a,18)在幂函数f(x)=(a1)xb的图象上,则函数f(x)是()A定义域内的减函数B奇
4、函数C偶函数D定义域内的增函数【解答】解:点(a,18)在幂函数f(x)=(a1)xb的图象上,a1=1,解得a=2;故2b=18,解得b=3,f(x)=x3;函数f(x)是定义域上的奇函数,且在每一个区间内是减函数故选:B2如果幂函数f(x)=x的图象经过点(3,19),则=()A2B2C-12D12【解答】解:幂函数f(x)=x的图象经过点(3,19),则3=19,解得=2故选:A3函数y=x32的图象是()ABCD【解答】解:函数y=x32的定义域是0,+),排除选项A和B,又321,曲线应该是下凸型递增抛物线故选:C4若三个幂函数y=xa,y=xb,y=xc在同一坐标系中的图象如图所示
5、,则a,b,c的大小关系是()AcbaBcabCabcDacb【解答】解:y=xa,单调递增,且当x1时,在直线y=x的上方,a1,y=xb,单调递增,且当x1时,在直线y=x的下方,0b1,y=xc,单调递减,且当x1时,在直线y=x的下方,c0;abc故选:C5若幂函数f(x)的图象经过点(4,12),则f(14)的值是()A4B3C2D1【解答】解:设幂函数f(x)=x,其图象过点(4,12),4=12,解得=12;f(x)=x-12,f(14)=(14)-12=2故选:C6已知函数f(x)=x2m定义在区间3m,m2m上的奇函数,则下面成立的是()Af(m)f(0)Bf(m)=f(0)
6、Cf(m)f(0)Df(m)与f(0)大小不确定【解答】解:函数f(x)=x2m定义在区间3m,m2m上的奇函数,定义域关于原点对称,即3m+m2m=0,且m2m(3m)0,m22m3=0且m2+30,即m=1或m=3当m=1时,区间2,2,f(x)=x2m=x3为奇函数,满足条件,且此时函数单调递增,满足f(m)f(0)当m=3时,区间为6,6,f(x)=x2m=x1为奇函数,满足条件,但此时f(0)无意义,故m=3不成立,综上m=3,则f(m)f(0)综上:选A故选:A7若幂函数f(x)的图象经过点(3,19),则log2f(2)=()A4B4C2D2【解答】解:设幂函数f(x)=x,幂函
7、数f(x)的图象经过点(3,19),f(3)=3=19=32则=2,即f(x)=x2,则log2f(2)=log222=2,故选:D8已知幂函数f(x)=(m2m5)x2m+3在(0,+)上减函数,则m等于()A3B4C2D2或3【解答】解:幂函数f(x)=(m2m5)x2m+3在(0,+)上是减函数,&m2-m-5=1&2m+30,解得&m=3或m=-2&m-32,即m=2故选:C9幂函数y=x|m1|与y=x3m-m2在(0,+)上都是单调递增函数,则满足条件的整数m的值为()A0B1和2C2D0和3【解答】解:幂函数y=x|m1|与y=x3m-m2在(0,
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