2022届高三数学一轮复习（原卷版）考点11 函数的奇偶性与周期性（原卷版）.docx

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1、考点11 函数的奇偶性与周期性【命题解读】关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】 1、 奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f

2、(x)0)，则称f(x)为偶函数2、 奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)_0_(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)f(x)(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反3、 周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(

3、x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期4、函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则一定有f(0)0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性5、函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a>0)(2)若f(xa)，则T2a(a>0)(3)若f(xa)，则T2a(a>0)6、函数图象的对称性(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象

4、关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称1、下列函数为奇函数的是A B C D2、若函数为奇函数，则=(A) (B) (C) (D)13、设是定义在上的奇函数，当时，则=A3 B1 C1 D34、设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是A是偶函数 B|是奇函数C|是奇函数 D|是奇函数5、（2019·福建莆田一中模拟）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，1上是

5、减函数，则有()Af<f<fBf<f<fCf<f<fDf<f<f6、(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，下列说法正确的是()A函数f(x)是以2为周期的周期函数B函数f(x)是以4为周期的周期函数C函数f(x2)为偶函数D函数f(x3)为偶函数7、(2018江苏)函数满足，且在区间上，则的值为 考向一奇偶性的定义与判断例1、判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)变式1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1)；(3)f(x).（4）f(x)变式

6、2、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(x)与f(x)的关系结合定义作出判断2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(x)f(x)(f(x)f(x)对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)

7、f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性考向二 函数的周期性及应用例2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，则_.变式1、已知函数f（x）满足f（0）2，且对任意xR都满足f（x+3）f（x），则f（2019）的值为（）A2019B2C0D2变式2、 定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x<1时，f(x)(x2)2；当1x<3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 019)_变式3、设是定义在上的周期为2的函数，当时，则 变式4、设f(x)是定义在R

8、上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)，当x0，2时，f(x)2xx2(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2，4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 016)方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)即可，且周期为T(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用(4)除f(xT)f(x)(T0)之外，其它一些隐含周期的条件：，等考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用例3、（

9、2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是_变式1、（2020·河南高三月考（理）已知是偶函数，在上单调递减，则的解集是（ ）ABCD变式2、（2017江苏）已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数 的取值范围是 变式3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，下列命题正确的是（ ）AB函数在定义域上是周期为的函数C直线与函数的图象有个交点D函数的值域为变式4、（多选题）（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）A函数是周期函数B函数的

10、图象关于点对称C函数为上的偶函数D函数为上的单调函数方法总结：1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(x)f(x)或f(x)f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视1、（2020全国文10）设函数，则（ ）A是奇函数，且在单调递增B是奇函数，且

11、在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是偶函数，且在单调递减2、（2020山东8）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）A B C D3、(2018全国卷)已知是定义域为的奇函数，满足若，则AB0C2D503、(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R当x<0时， ；当 时，；当 时，则f(6)= A2 B1 C0 D24、（多选题）（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）ABCD5、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（ ）AB 在区间上是增函数C若方程恰有3个实根，则D若函数在上有6个零点，则的取值范围是6、（2017新课标）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则= 7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为_