人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：函数的性质.docx

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1、函数的性质知识讲解一、函数的奇偶性1.定义奇函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个都有，则这个函数叫做奇函数偶函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个都有，则这个函数叫做偶函数2.判断函数奇偶的方法1）定义法：先求函数的定义域，若函数的定义域部关于原点对称，则此函数不具有奇、偶性；若函数定义域关于原点对称；在判断与关系；若，则是偶函数；若，则是奇函数2）图像法：函数图像关于轴对称函数是偶函数函数图像关于原点对称函数是奇函数3.性质1）若奇函数的定义域包含，则2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性3）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上

2、：奇奇奇， 偶偶偶，奇奇偶(例如是偶函数)，偶偶偶，奇偶奇（例如是奇函数）4.奇偶性的等价条件条件：对于定义域内的任意一个是偶函数函数图像关于轴对称是奇函数函数图像关于原点对称推广：是偶函数关于对称关于对称是奇函数关于成中心对称是周期函数（）的周期函数二、函数的单调性1.定义：设函数的定义域为，区间，如果取区间中任意两个值，改变量 ，则当时，就称函数在区间上是增函数则当时，就称函数在区间上是增函数2.讨论函数单调性：必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单 调区间是其定义域的子区间； 3.判断函数的单调性的方法有：1）定义法2）利用已知函数的单调性；3）利用函数

3、的导数判断函数的单调性；4）复合函数的单调性结论：“同增异减”；5）奇函数在其对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调性6）在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数7）当时候与的单调性相同，当时候与的单调性相反8）如果是单调函数且，则和数的单调性是相反的，如果是单调函数且，和的单调性是相反的注意：单调性区间不能写成并集，可以写成和不能根据的单调性和的单调性来判断判断 与成积单调性三、函数的对称性1.一个函数的对称问题：1）关于轴对称：；2）关于原点对称：；3）关于直线对称：或；4）关于点对称：或2.互

4、两个函数的互对称：函数与的图像关于直线对称四、函数的周期性1.判断函数是否是周期函数：方法：一是对定义域中任意的恒有；二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集2.具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数），1）函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为2）函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数3）函数的图象关于两点，都对称，则函数是以为周期的周期函数4）函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数经典例题一选择题（共11小题）1已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x0时，f（x）=x22x，则当x

5、0时，f（x）的解析式是（）Af（x）=x（x+2）Bf（x）=x（x2）Cf（x）=x（x2）Df（x）=x（x+2）【解答】解：任取x0则x0，x0时，f（x）=x22x，f（x）=x2+2x，又函数y=f（x）在R上为奇函数f（x）=f（x）由得x0时，f（x）=x（x+2）故选：A2若f（x）是定义在R上的偶函数，在（，0上是减函数，且f（2）=0，则使得f（log2x）0的x的取值范围是（）A（0，4）B（4，+）C（0，14）（4，+）D（14，4）【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，在（，0上是减函数，在0，+）上是增函数，f（log2x）=f（|log2x|），则不等式等

6、价于f（|log2x|）f（2），|log2x|22log2x214x4故选：D3已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D50【解答】解：f（x）是奇函数，且f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，则f（x+2）=f（x），则f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2

7、+02+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C4下列函数满足f（x）+f（x）=0的是（）Af(x)=xBf（x）=ln|x|Cf(x)=1x-1Df（x）=xcosx【解答】解：f（x）+f（x）=0；f（x）=f（x）；Af（x）=-xf（x）；Bf（x）=ln|x|=f（x）；C.f(-x)=1-x-1-f(x)；Df（x）=xcos（x）=xcosx=f（x）故选：D5定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当x0，1时，f（x）=2x+1，设函数g（

8、x）=（12）|x1|（1x3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）A2B4C6D8【解答】解：f（x+1）=f（x），f（x+2）=f（x+1）=f（x），f（x）的周期为2f（1x）=f（x1）=f（x+1），故f（x）的图象关于直线x=1对称又g（x）=（12）|x1|（1x3）的图象关于直线x=1对称，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（1，3）上共有4个交点，所有交点的横坐标之和为1×2×2=4故选：B6已知函数f(x)=lgx4-x，则（）Af（x）在（0，4）单调递减Bf（x）在（0，2）单调递减，在（2，4）单调递增

9、Cy=f（x）的图象关于点（2，0）对称Dy=f（x）的图象关于直线x=2对称【解答】解：由x4-x0得：x（0，4），令t=x4-x=14x-4，故t=x4-x在（0，4）上为增函数，故函数f(x)=lgx4-x在（0，4）单调递增，故排除A，B，D，由f(x)=lgx4-x，故f（4x）=f（x），即y=f（x）的图象关于点（2，0）对称故选：C7设函数f（x）=ax2+bx+c，其中a是正数，对于任意实数x，等式f（1x）=f（1+x）恒成立，则当xR时，f（2x）与f（3x）的大小关系为（）Af（3x）f（2x）Bf（3x）f（2x）Cf（3x）f（2x）Df（3x）f（2x）【解答】

10、解：由函数f（x）=ax2+bx+c（a0）对于任意的xR有f（1x）=f（1+x）可得函数关于x=1对称由a0可得函数在（，1单调递减，在1，+）单调递增当x0时，3x2x1，f（3x）f（2x）当x=0时，3x=2x=1，f（3x）=f（2x）当x0时，3x2x1，f（3x）f（2x）综上可得，f（3x）f（2x）故选：C8函数f(x)=1x-x的图象关于（）Ay轴对称B坐标原点对称C直线y=x对称D直线y=x对称【解答】解：函数f(x)=1x-x的定义域为x|x0，且xR，由f（x）=1-x+x=f（x），可得f（x）为奇函数，则函数f(x)=1x-x的图象关于坐标原点对称故选：B9已知

11、f（x）=x3+x，xR，若当02时，f（msin）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，1）B（，1）C（，12）D（0，1）【解答】解：f（x）的定义域为R，且f（x）=f（x）；f（x）为奇函数，且f（x）在R上为增函数；由f（msin）+f（1m）0得，f（msin）f（m1）；msinm1；m（1sin）1；=2时，mR；02时，m11-sin；11-sin的最小值为1；m1；实数m的取值范围是（，1）故选：B10已知函数f（x）=x3+x+10，实数x1，x2，x3满足x1+x20，x2+x30，x3+x10，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A一定大于30

12、B一定小于30C等于30D大于30、小于30都有可能【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）10=x3+x，则有g（x）=（x）3+（x）=（x3+x）=g（x），函数g（x）为奇函数，又由g（x）=x3+x，则g（x）=3x2+10，则g（x）在R上为增函数，若x1+x20，则x1x2，则有g（x1）g（x2）=g（x2），即有g（x1）+g（x2）0，则有f（x1）10+f（x2）100，变形可得f（x1）+f（x2）20，同理可得：f（x2）+f（x3）20，f（x1）+f（x3）20，三个式子相加，可得f（x1）+f（x2）+f（x3）30；故选：B11奇函数f（x）满足f（x+2）

13、=f（x），当x（0，1）时，f（x）=3x+12，则f（log354）=（）A2B76C76D2【解答】解：f（x+2）+2=f（x+2）=f（x），f（x）是以4为周期的奇函数，又f(log354)=f(log381×23)=f(4+log323)=f(log323)=f(-log332)=-f(log332)，0log3321，f(log332)=3log332+12=32+12=2，f（log354）=2，故选：A二填空题（共5小题）12奇函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，f（3）=2，则f（1）=2【解答】解：奇函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，f（3）=2，可

14、得f（x）+f（2x）=0，即有f（3）+f（1）=0，则f（1）=2，可得f（1）=f（1）=2，故答案为：213已知f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（x）+f（x）=0，当0x2时，f（x）=2x1，则f（21）+f（16）=1【解答】解：由f（x）+f（x）=0，知f（x）是定义在R上的奇函数，又f（x+4）=f（x），且当0x2时，f（x）=2x1，f（21）+f（16）=f（1）+f（0）=f（1）=（1211）=1故答案为：114若函数f（x）=x3+x，若f（a2）+f（a2）0，则实数a的取值范围是（，21，+）【解答】解：f（x）为奇函数，且在R上单调递增；由f（a2

15、）+f（a2）0得：f（a2）f（2a）；a22a；解得a2，或a1；实数a的取值范围为（，21，+）故答案为：（，21，+）15已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+）上单调递增，且f（1）=2，则不等式f（x1）+20在（0，+）的解集为（1，2【解答】解：因为f（x）是在R上的奇函数，f（1）=2，所以f（1）=f（1）=2，因为f（x）在（0，+）上单调递增，且f（x1）+20为：f（x1）2=f（1），所以0x11，解得1x2，所以不等式f（x1）+20在（0，+）的解集为（1，2，故答案为：（1，216若函数f(x)=a-22x-1(aR)是奇函数，则a=1，函数f（x）的值域为

16、（，1）（1，+）【解答】解：函数f(x)=a-22x-1(aR)是奇函数，可得f（x）+f（x）=a22x-1+a22-x-1=2a（22x-1+22x1-2x）=2a+2=0，解得a=1，则y=f（x）=122x-1，可得12x=21+y，即有2x=y-1y+10，解得y1或y1，可得值域为（，1）（1，+），故答案为：1，（，1）（1，+），三解答题（共2小题）17已知奇函数f（x），在x0时的图象是如图所示的抛物线的一部分，（1）请补全函数f（x）的图象；（2）求函数f（x）的表达式；（3）写出函数f（x）的单调区间【解答】解：（1）由奇函数的图象关于原点对称，可得函数位于y轴左侧的部

17、分，如图所示：（2）当x0时，设f（x）=a（x1）21，又f（0）=0，得a=1，即f（x）=（x1）21；当x0时，x0，则f（x）=f（x）=（x1）21=（x+1）2+1，（3）根据函数图象可知：函数f（x）的单调递增区间是：（，1，1，+）；函数f（x）的单调递减区间是：1，118定义在实数集R上的偶函数f（x）在0，+）上是单调递增函数（1）试判断并证明f（x）在（，0）上的单调性；（2）若f（1）f（x1），求x的取值范围【解答】解：（1）根据题意，f（x）在（，0）是单调减函数，设x1x20，则x1x20，f（x）在（0，+）是单调增函数f（x1）f（x2），又f（x）是偶函数，f（x1）f（x2）f（x）在（，0）是单调减函数；（2）若f（1）f（x1），则f（1）f（|x1|），则有|x1|1，解可得：x0或x2，即x的取值范围是（，0）（2，+）