2022届高三数学一轮复习（原卷版）第4讲　第2课时　利用导数研究不等式的恒成立问题.doc

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1、 第 2 课时 利用导数研究不等式的恒成立问题 考点一 分离参数法(综合型) (2020 湖北武汉质检)已知 f(x)xln x，g(x)x3ax2x2. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若对任意 x(0，)，2f(x)g(x)2 恒成立，求实数 a 的取值范围 【解】 (1)因为函数 f(x)xln x 的定义域为(0，)，所以 f(x)ln x1.令 f(x)0，得 ln x10，解得 0 x0，得 ln x10，解得 x1e，所以 f(x)的单调递增区间是1e， .综上，f(x)的单调递减区间是0，1e，单调递增区间是1e， . (2)因为 g(x)3x22ax1， 由题意得

2、2xln x3x22ax1 恒成立 因为 x0， 所以 aln x32x12x在 x(0，)上恒成立设 h(x)ln x32x12x(x0)，则 h(x)1x3212x2（x1）（3x1）2x2.令 h(x)0，得 x11，x213(舍) 当 x 变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，) h(x) 0 h(x) 极大值 所以当 x1 时，h(x)取得极大值，也是最大值，且 h(x)maxh(1)2，所以若 ah(x)在 x(0，)上恒成立，则 ah(x)max2，即 a2，故实数 a 的取值范围是2，) (1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数

3、法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下， 可以根据不等式的性质将参数分离出来， 得到一个一端是参数， 另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题 (2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关 通过分离参数法，先转化为 f(a)g(x)(或 f(a)g(x)对xD 恒成立，再转化为 f(a)g(x)max(或 f(a)g(x)min) 求最值关 求函数 g(x)在区间 D 上的最大值(或最小值)问题 (2020 石家庄质量检测)已知函数 f(x)axex(a1)(2x1) (1)若 a1，求函数 f(x)的图象在点(0，f(0)处的切

4、线方程； (2)当 x0 时，函数 f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)若 a1，则 f(x)xex2(2x1) 即 f(x)xexex4， 则 f(0)3，f(0)2， 所以所求切线方程为 3xy20. (2)由 f(1)0，得 a1e10， 则 f(x)0 对任意的 x0 恒成立可转化为aa12x1xex对任意的 x0 恒成立 设函数 F(x)2x1xex(x0)， 则 F(x)（2x1）（x1）x2ex. 当 0 x0； 当 x1 时，F(x)0，a1) (1)求函数 f(x)的极小值； (2)若存在 x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e 是自然对数的

5、底数)，求实数 a 的取值范围 解：(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a. 因为当 a1 时，ln a0，函数 y(ax1)ln a 在 R 上是增函数， 当 0a1 时，ln a1 或 0a0 的解集为(0，)，f(x)0)， 因为 g(a)11a22a11a20， 所以 g(a)a1a2ln a 在(0，)上是增函数 而 g(1)0，故当 a1 时，g(a)0， 即 f(1)f(1)； 当 0a1 时，g(a)0，即 f(1)1 时，f(1)f(0)e1， 即 aln ae1. 由函数 yaln a 在(1，)上是增函数，解得 ae； 当 0a1 时，f(1)f(0

6、)e1，即1aln ae1， 由函数 y1aln a 在(0，1)上是减函数，解得 00 可得 x(1，)，由 g(x)1 时，f(x)0； (2)讨论 g(x)的单调性； (3)若不等式 f(x)1 时，s(x)0，所以 s(x)在(1，)上单调递增，又 s(1)0，所以 s(x)0， 从而当 x1 时，f(x)0. (2)g(x)2ax1x2ax21x(x0)， 当 a0 时，g(x)0 时，由 g(x)0 得 x12a . 当 x0，12a时，g(x)0，g(x)单调递增 (3)由(1)知，当 x1 时，f(x)0. 当 a0，x1 时，g(x)a(x21)ln x0， 故当 f(x)0

7、. 当 0a1， g(x)在1，12a上单调递减，g12a0，所以此时 f(x)1 时，h(x)2ax1x1x2e1xx1x1x21xx32x1x2x22x1x20， 因此，h(x)在区间(1，)上单调递增， 又 h(1)0， 所以当 x1 时，h(x)g(x)f(x)0， 即 f(x)x2，有 mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，求实数m 的取值范围 解：(1)因为 F(x)f(x)g(x)xex12x2x， 所以 F(x)(x1)(ex1)， 令 F(x)0，解得 x1， 令 F(x)0，解得 xx2，有 mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立， 所以 mf(x1)g(x1)mf(x2)g(x2)恒成立 令 h(x)mf(x)g(x)mxex12x2x，x1，)， 即只需证 h(x)在1，)上单调递增即可 故 h(x)(x1)(mex1)0 在1，)上恒成立， 故 m1ex，而1exe，故 me， 即实数 m 的取值范围是e，)