2022届高三数学一轮复习（原卷版）考点13 指数与对数的运算（解析版）.docx

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1、考点13 指数与对数的运算【命题解读】学生应指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；【基础知识回顾】 1根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0

2、，r，sQ3对数的概念如果abN(a>0且a1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数4对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；MnlogaM(2)对数的性质_N_；logaaN_N_(a>0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logaN (a，c均大于零且不等于1)；logab，推广logab·logbc·logcdlogad1、设a， b， c均为

3、不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是A B C D【答案】B【解析】，1 考察对数2个公式： ，对选项A：，显然与第二个公式不符，所以为假对选项B：，显然与第二个公式一致，所以为真对选项C：，显然与第一个公式不符，所以为假对选项D：，同样与第一个公式不符，所以为假所以选B2、=A B C 2 D 4【答案】D【解析】3、化简4a·b÷的结果为()ABC D6ab【答案】C【解析】原式6ab6ab1.4、(多选)已知aa13，在下列各选项中，其中正确的是()Aa2a27 Ba3a318Caa± Da2【答案】ABD【解析】在选项A中，因为aa13，所以a2a2

4、(aa1)22927，故A正确；在选项B中，因为aa13，所以a3a3(aa1)(a21a2)(aa1)·(aa1)233×618，故B正确；在选项C中，因为aa13，所以(aa)2aa125，且a0，所以aa，故C错误；在选项D中，因为a3a318，且a0，所以a3a3220，所以a2，故D正确5、的值是_【答案】1【解析】6、计算：log54log210(3)7log72_【答案】0【解析】原式log52log210(3)2log5(1032)log551.7、（2012北京）已知函数，若，则 【答案】2【解析】由，得，于是考向一指数幂的运算例1化简下列各式(其中各字母

5、均为正数)(1)0.00210(2)10(2)(a>0，b>0)(3) 0；(4)【解析】(1)原式50011010201.(2)原式a1b12.(3原式=110.(4)原式.变式1、计算下列各式的值：（）；（）【解析】（）原式；（）原式变式2、已知3，求的值【解析】设t，则，已知即t3.于是，t3·，而x2x2t42, 将t3，平方得 t229，于是t27.从而，原式.方法总结：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算

6、结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数考向二 对数的运算例1、（1）化简：_（2）化简：_（3）设2a5bm，且2，则m等于( )A. B. C. D. 【解析】（1）原式1（2）23·2log0548·8·2log248·8·2（3）D 由2a5bm得alog2m，blog5m，logm2logm5logm102，logm102，m210，m变式1、化简下列各式：(1)lg25lg2lglg(0.01)1；(2)(lg2)2lg2·lg50lg25；(3)计算(log32log92)·(log43log

7、83)；（4）2log32log3log383log55；【解析】(1)原式lglg.(2) 原式(lg2)2(1lg5)lg2lg52(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2.(3) (log32log92)·(log43log83)···.（4）2log32log3log383log55log322log3(32×25)log3233log3(22×32×25×23)3log3323231.变式2、(1)2log32log3log38；(2)(log2125log425log8

8、5)·(log52log254log1258)【解析】(1)原式2log325log3223log3231.(2)(方法1)原式log25·3log5213··log5213.(方法2)原式13.方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如：(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算考向三 指数是与对数式的综合例3(1)已知a

9、，b，c均为正数，且3a4b6c，求证： ；(2)若60a3，60b5，求的值【解析】(1)设3a4b6ck，则k>1.由对数定义得alog3k，blog4k，clog6k，则2logk3logk4logk9logk4logk36.又2logk6logk36，.(2)由alog603，blog605，得1b1log605log6012，于是1ab1log603log605log604，则有log124，1212log12412log1222.变式1、设2a5bm，且2，则m等于_.由2a5bm得alog2m，blog5m，logm2logm5logm10.2，logm102，m210，m

10、.方法总结：这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注：1. 根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法2. 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的对数的运算法则进行计算和化简，求得结果1、（2013浙江）已知为正实数，则A B C D【答案】D【解析】取特殊值即可，如取2、（2020全国文8）设，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由可得，有，故选B3、（2

11、017新课标）设为正数，且，则A      B     C     D【答案】D【解析】设，因为为正数，所以，则，所以，则，排除A、B；只需比较与，则，选D4、（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为则下列各数中与最接近的是（参考数据：048）A B  C D【答案】D【解析】设，两边取对数得，所以，即最接近，选D5、（2020全国理12）若，则（ ）ABCD【答案】B【思路导引】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案【解析】设，则为增函数，当时，此时，有；当时，此时，有，C、D错误，故选B6、 化简下列各式：(1)(0.064)2.50；(2)a·b2·÷.【解析】(1)原式1110.(2)原式ab3÷ab3÷(ab)a·b·.